第三章：静定梁和静定刚架

1、第三章 静定梁和静定刚架 主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定梁内力图的作法。分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析问题转化为杆件的受力分析问题。1. 反力以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支梁、外伸梁）3-1 单跨静定梁三个支座反力 整体隔离体平衡方程求解隔离体受力图隔离体受力图a.全部联系（约束）全部联系（约束）要截断，以相应的约束力代替要截断，以相应的约束力代替b.全部所受的力全部所受的力要画全（荷载、约束力）要画全（荷载、约束力）c.未知力按正方向假设，已知力按实际方向画未知力按正方向假设，已知力按实际方向画（包括前面（包括前面步骤求出的

2、力）步骤求出的力） 未知力未知力结果符号结果符号即未知力符号（正，负）即未知力符号（正，负） M的方向的方向确定杆件的受拉面确定杆件的受拉面2. 内力 (1)截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力(a)ABF1FBmnKFAYFAXF2(b)F1AFNFSKFAXMFAY内力符号规定 ：（2）M、FS、FN图正负号规定FNFNFFFSFSFSFSMMMM 弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。 剪力FS：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正，反之为负。 轴力FN ：拉为正，压为负。剪力图和轴力图

3、可绘在杆轴的任意一侧，但必须标注正负号。sSdFq xdxdMFdxdMq xdx 22( )( ) （2）在q(x)常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。 （3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。 （1）在无荷区段q(x)，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。3.内力与外力间的微分关系及内力图形状判断l /2l /2ml /2l /2Pl q2P2Plm2ql2ql4Pl2m2m82ql 1、集中荷载作用点、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；下夹角亦向下

4、；Q 图有一突变，荷载向图有一突变，荷载向下突变亦向下。下突变亦向下。 2、集中力矩作用点、集中力矩作用点M图有一突变，力矩图有一突变，力矩为顺时针向下突变；为顺时针向下突变；Q 图没有变化。图没有变化。 3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；下曲线亦向下凸；Q 图为斜直线，荷载向图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜下直线由左向右下斜几种典型弯矩图和剪力图几种典型弯矩图和剪力图绘制内力图的一般步骤：（1）求反力：三个平衡方程）求反力：三个平衡方程（2）分段：不连续点（集中力及力偶作用点，均布荷载的起止）分段：不连续点（集中力及力偶作用点，均布荷

5、载的起止点）点）（3）定点：截面法求内力）定点：截面法求内力（4）连线：直线或曲线）连线：直线或曲线 画图示梁的剪力图和弯矩图。画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN.mq=6kN/mFAFB4m解：取整体解：取整体 ; 0Bm02461qmFAkNFA6 ; 0yF04 qFFBAkNFB18BAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18kN34m11Fs图图M图图B6kN18kN 3m5512kN.m24kN.m27kN.mFAFs2AkNFs62AC：MBFs4kNFkNFss181243CB：mkNMMCA.120左0.24BCMmkNM右MC左左F

6、s3MC右右AFA55Fs5M5FBqmkNM.275例例 画图示梁的剪力图和弯矩图。画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FAFB32m11解：取整体解：取整体 ; 0Am05226qFFBkNFB7 ; 0yF04 qFFFBAkNFA5Fs图图M图图2mB44 55DAC2mP=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs图图M图图2mB44 55D ; 03m023AFMmkNM.103FA33Fs3M3AP ; 0yF03sAFPFkNFs1 5kN1kN7kN 10kN.mAC2mP=6kNq=3kN/m6622 3FA=5

7、kNFB=7kN32m11Fs 图图M图图2mB44 55D ; 04m0244PFMAmkNM.84FA44Fs 4M4AP 5kN1kN7kN 10kN.m8kN.m例例 画图示梁的内力图。画图示梁的内力图。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：解：取整体，取整体，FAFC ; 0Am03696qFmFCkNFC5 . 6 ; 0yF06 qFFFCAkNFA5 . 24455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs 图图M图图(kN)(

8、kN.m),5 . 21kNFs,5 . 132kNFFss,5 . 34kNFs,365kNFFss2.533.5 ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 , 061 MM,.954mkNMM ; 03m02443mqFMAmkNM.43FA33Fs3M3Amq94ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 ; 02m02442qFMAmkNM.2

9、2FA22Fs2M7Aq9422.5m ; 07m025. 15 . 25 . 27qFMAmkNM.125. 37FA77Fs7Aq773.125M2 FAl /2l /2ml /2l /2Pl q2P2Plm2ql2ql4Pl2m2m82ql 1、集中荷载作用点、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；下夹角亦向下；Q 图有一突变，荷载向图有一突变，荷载向下突变亦向下。下突变亦向下。 2、集中力矩作用点、集中力矩作用点M图有一突变，力矩图有一突变，力矩为顺时针向下突变；为顺时针向下突变；Q 图没有变化。图没有变化。 3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M图为抛物线，

10、荷载向图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；下曲线亦向下凸；Q 图为斜直线，荷载向图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜下直线由左向右下斜几种典型弯矩图和剪力图几种典型弯矩图和剪力图3m3m4kN4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm（1）集中荷载作用下）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩图分段叠加法对直杆任何区段都适用。AYBYMAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBAYBYqMBMAMMMMMMBMAMAMBMMM任意直杆段适用 叠加法作M图（1）求控制截面值 外力不连续点（F,M作用点，q的起点

11、，终点等）（考虑全部荷载）（2）分段画弯矩图控制截面间无荷载连直线控制截面间有荷载(q、F)连虚线，再叠加标准M0图5绘制内力图的一般步骤绘制内力图的一般步骤（1）求反力（悬臂梁可不求）（2）分段外力不连续点：q端点，F、M作用点（3）定点求控制截面内力值（全部荷载）（4）连线按微分关系 连直线 曲线：连虚线，叠加简支梁M0图例例 用叠加法画图示梁的弯矩图。用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM 图图2m8kN.m解：解：将梁分为将梁分为AC ，BC两段。两段。先求支座反力。先求支座反力。FAFB ; 0Bm02468qmPFAkNFA6 ; 0yF

12、04qPFFBAkNFB6例例 用叠加法画图示梁的弯矩图。用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM 图图041 MMmkNM.162mkNql.44281812216kN.m4kN.m2m8kN.mmkNM.83mkNPl.44441414kN.m8kN.mFA=6kNFB=6kN作剪力图作剪力图kN17RAQA FFRQkN-8kN9kN17BF-7kN4kN4-8kN-kN17QEF点右侧截面的剪力BRQBF作弯矩图作弯矩图m)kN(717m)kN(231617m)kN(301627m)kN(268217m)kN(1711700RLFFECBGAM

13、MMMMMMCE段有均布荷载，利用叠加法作弯矩图，D截面的弯矩值为：)mkN(36230268442DM由数学计算：CE段Mmax=36.1kNm（2）作弯矩图）作弯矩图m)kN(717m)kN(231617m)kN(301627m)kN(268217m)kN(1711700RLFFECBGAMMMMMMM CE段有均布荷载，利用叠加法作弯矩图D截面的弯矩值为：)mkN(36230268442DM由数学计算：CE段Mmax=36.1kNm（2）作弯矩图）作弯矩图m)kN(717m)kN(231617m)kN(301627m)kN(268217m)kN(1711700RLFFECBGAMMMMM

14、MM例题例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。试绘制图示外伸梁的内力图。 解：解：（1 1）计算支座反力）计算支座反力 26.25kNV :0M33.75kNV :0M0H :0XABBAA02041075.3325.26Y校核：校核： （2 2）作弯矩图）作弯矩图 选择选择A、C、D、B、E为控制截为控制截面，计算出其弯矩值。面，计算出其弯矩值。（3 3）作剪力图）作剪力图 选择选择A、C、D、B、E为控制截面，计算出其剪力值。为控制截面，计算出其剪力值。60202.532.52510KN/m4m20KN30KN.m2mVB=33.75KNCBADEM (KN.m)Q (KN)2m3m2013.

15、7526.25VA=26.25kNHA=0*斜梁的内力计算斜梁的内力计算 计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于斜计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于斜梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的法向、切向投影。法向、切向投影。 工程中，斜梁和工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁受均布荷载时有两种表示方法：受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用）按水平方向

16、分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q 表示。表示。q 与 q间的转换关系：间的转换关系： cosqqdsqqdx 例题例题 试绘制图示斜梁内力图。试绘制图示斜梁内力图。 解： 000ABMMX )(6)(60qlVqlVHBAA 校核：0366qlqjqjY （1）求支座反力：）求支座反力：VAHACDql/3l/3l/3ABVB（2）AC段受力图：段受力图：（3）AD段受力图：段受力图：VAVAcosVAsinHAHAcosHAsinQCMCNCCHAcosVAVAcosVAs

17、inHAHAsinQCMCNCCDql2cos/3ql2/3ql2sin/31.定义 公路桥梁 3.2 3.2多跨静定梁多跨静定梁多跨静定梁：多跨静定梁：若干单跨梁用中间铰相联若干单跨梁用中间铰相联, ,并用若干支座与基并用若干支座与基础相联而组成的静定梁。础相联而组成的静定梁。A图13-1BCDABCD（a）（b）（c）企口ABCD房房屋屋建建筑筑结结构构中中的的木木檩檩条条 2.2.静定多跨梁的特点静定多跨梁的特点(1)(1)几何组成：几何组成：A图13-1BCDABCD（a）（b）（c）企口基本部分基本部分 基本部分基本部分 附属部分附属部分由基本部分及附属部分组成由基本部分及附属部分组

18、成层次图附属部分是支承在基本部分的，要分清构造层次图。附属部分是支承在基本部分的，要分清构造层次图。F1（2 2）受力分析）受力分析（b）（a）A图13-1BCDABCD（a）（b）（c）企口F1VBVCF2A图13-1BCDABCD（a）（b）（c）企口F2A图13-1BCDABCD（a）（b）（c）企口基本部分上的荷载不影响附属部分受力。基本部分上的荷载不影响附属部分受力。附属部分上的荷载影响基本部分受力。附属部分上的荷载影响基本部分受力。3.多跨静定梁基本组成形式a. 基本附属部分交互排列b. 基本附属部分依次排列多跨静定梁的计算原则多跨静定梁的计算原则计算的次序计算的次序与构造的次序相

19、反与构造的次序相反。内力图：内力图：将各单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。将各单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。对多跨静定梁对多跨静定梁进行受力进行受力分析分析: : 荷载在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力；荷载在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分。保证几何不变。组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分。保证几何不变。计算原则：先计算附属部分，后计算基本部分。保证方程求解。计算原则：先计算附属部分，后计算基本部

20、分。保证方程求解。例例3-2试作图示多跨静定梁的内力图。试作图示多跨静定梁的内力图。解：解：( (1) ) 多跨梁各部分的关系多跨梁各部分的关系: :( (2) ) 对各部分进行受力分析：对各部分进行受力分析：基本部分基本部分附属部分附属部分先附属，后基本先附属，后基本101810512由弯矩图斜率或杆段平衡条件得剪力图由弯矩图斜率或杆段平衡条件得剪力图2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH80k Nm2020404040k NC2025520502020k N/mFGH1020405585255040k NCABFGH20k N/m80k N

21、m构造关系图构造关系图205040401020405050205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH2555585M 图（图（k Nm）2540k N5558520k N/m251520354540例例3-33-3：图示多跨静定梁全长受均布荷载：图示多跨静定梁全长受均布荷载 q q，各跨，各跨长度均为长度均为l l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确定铰等，试确定铰 B B、E E 的位置。的位置。( (优化设计题）优化设计题）由由MC= M1，可求得，可求得x多跨简支梁多跨简支梁

22、 多跨静定梁与一系列简支梁相比，材料用量可减少，多跨静定梁与一系列简支梁相比，材料用量可减少，但构造要复杂些。但构造要复杂些。 = MC= 0.0858ql2例例3-4 作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。方法：方法：悬臂部分直接画；中间铰处的弯矩必定为零；无荷悬臂部分直接画；中间铰处的弯矩必定为零；无荷载区域弯矩为直线，剪力相同则弯矩斜率相同，叠加法载区域弯矩为直线，剪力相同则弯矩斜率相同，叠加法(BC(BC段段) )。由弯矩图到剪力图方法同前由弯矩图到剪力图方法同前如何如何求支座求支座C反力反力?注意注意: :支座支座C C左左, ,

23、右截面剪力方向右截面剪力方向 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。(a)(b)(c)(d)(e) 下图是常见的几种刚架：图（下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，）是多层多跨房屋，图（图（c）是具有部分铰结点的刚架。）是具有部分铰结点的刚架。刚架结构优点：刚架结构优点：（1）内部有效使用空间大；）内部有效使用空间大；（2）结构整

24、体性好、刚度大；）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。）内力分布均匀，受力合理。3.3 静定平面刚架平面刚架结构特点：静定刚架的计算方法 先求出支座反力先求出支座反力, ,然后采用截面法然后采用截面法, ,由平衡条件求出由平衡条件求出各杆端的内力各杆端的内力, ,就可画出内力（弯矩就可画出内力（弯矩, ,剪力和轴力）图。剪力和轴力）图。内力正负号的规定：内力正负号的规定： 轴力以拉力为正；轴力以拉力为正；弯矩不定义正负号，只将弯矩图画在受拉纤维的一侧。弯矩不定义正负号，只将弯矩图画在受拉纤维的一侧。剪力以对该截面有顺时针转动的趋势为正；剪力以对该截面有顺时针转动的趋势为正； 轴

25、力图与剪力图可画在杆件的任一侧轴力图与剪力图可画在杆件的任一侧, ,须注明正负号。须注明正负号。2. 刚架的支座反力刚架的支座反力图示三铰刚架有四个未知反力图示三铰刚架有四个未知反力整体平衡方程求整体平衡方程求FyA 和和FyB)(20)(2022lqfFMlqfFMyBAyAB利用右半边刚架作隔离体，则利用右半边刚架作隔离体，则)(430)(40qfFFqfFMxAxxBC图示刚架为多跨刚架图示刚架为多跨刚架刚架的组成次序为：刚架的组成次序为：先固定右边，再固定左边先固定右边，再固定左边计算反力的次序应为：计算反力的次序应为：先算左边，再算右边先算左边，再算右边考虑考虑GE部分部分)kN(3

26、0 xGEFM)kN(300)kN(20)kN(10yBAyABxAxFMFMFF再考虑整体平衡再考虑整体平衡例例3-5 试作图示静定刚架的内力图。试作图示静定刚架的内力图。 48 kN42 kN22 kN(单位：单位：kN*m)1261924814412刚结点力矩平衡条件刚结点力矩平衡条件由弯矩图由弯矩图=剪力图剪力图由剪力图由剪力图=轴力图轴力图刚结点投影平衡条件刚结点投影平衡条件例例3-5 作图示门式刚架的内力图。作图示门式刚架的内力图。解：解：（1）求支反力）求支反力)kN(384. 10)kN(384. 10)kN(5 . 40)kN(5 . 10 xBxAxxBCyAByBAFFF

27、FMFMFM（2） 作作M图，如图图，如图(a)。（3） 作作FQ图，取隔离体如图图，取隔离体如图(d)、(e)。 由隔离体平衡条件由隔离体平衡条件求杆端剪力，并作图求杆端剪力，并作图(b)。（4） 作作FN图，取隔离体如图图，取隔离体如图(f)、(g) 由结点平衡条件求由结点平衡条件求杆端轴力，并作图杆端轴力，并作图(c)。（5） 校核：取结点校核：取结点C验算平衡条件验算平衡条件显然满足！显然满足！例例3-7 3-7 试作图示刚架的弯矩图试作图示刚架的弯矩图附属附属部分部分基本基本部分部分3-4 少求或不求反力绘制弯矩图少求或不求反力绘制弯矩图 静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。 例

28、如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。 3. 刚结点处的力矩平衡条件。4. 用叠加法作弯矩图。5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。 以例说明如下作M图本课程最重要的基本功之一方法：1标准单跨梁：悬臂、简支例例 3 38 8 绘制刚架的弯矩图。绘制刚架的弯矩图。解：解：由刚架整体平衡条件 FX=0得 FBH=5kN ()此时不需再求竖向反力便可绘出弯矩图。有：有：MMA A=0 , M=0 , MECEC=0=0MMCECE=20kN=20kNmm（外）（外）MMCDCD=20kN=20kNmm（

29、外）（外）MMB B=0=0MMDBDB=30kN=30kNmm（外）（外）MMDCDC=40kN=40kNmm（外）（外）5kNE2020304075450例例 3 39 9 作刚架的弯矩图作刚架的弯矩图。 PaPaPaPaPaPa解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本”的顺序计算。这里，我们不求反力直接作弯矩图。这里，我们不求反力直接作弯矩图。 03-5 静定结构特性（1）静力解答唯一性）静力解答唯一性全部反力、内力可用平衡条件唯一确定全部反力、内力可用平衡条件唯一确定（2）非荷载因素（温度改变，支座位移等）非荷载因素（温度改变，支座位移等）不引起内力不引起内力（3）平衡力系的影响）平衡力系的影响 平衡力系组成的荷载平衡力系组成的荷载作用于静定结构的某一几何不变部分作用于静定结构的某一几何不变部分则只此部分受力，则只此部分受力，其余部分反力和内力均为零其余部分反力和内力均为零（图（图32