积分、叠加法求变形

1、6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 在在小变形小变形，是线性的；是线性的； 材料材料服从胡克定律服从胡克定律的情况下，的情况下，)()(xMxEI 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程弯矩弯矩)(xM与载荷之间的关系与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，对应于几种不同的载荷，是线性的；是线性的；弯矩可以叠加，弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置计算弯矩时，使用变形前的位置FFMEI qqMEI MEI qFMMxM)(设弯矩设弯矩 MqFqFMMEIEI )( qFEI)(qFEI qF挠曲线挠曲线分别满足各自

2、的近似微分方程分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加将两个微分方程叠加M分别计算出每一载荷单独引起的变形，分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形叠加原理。叠加原理。总的近似微分方程：总的近似微分方程：)( qFEI证明证明 梁的梁的变形微小变形微小, 且梁且梁在线弹性在线弹性范围内工作时范围内工作时, 梁在几项荷梁在几项荷载载(可以是集中力可以是集中力, 集中力偶或分布力集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转同时作用下的挠度和转角，分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠角，分别等于每一荷载单独作

3、用下该截面的挠度和转角的叠加加. 当每一项荷载所引起的挠度为同一方向当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿如均沿w轴方向轴方向), 其转角是在同一平面内其转角是在同一平面内(如均在如均在 xy 平面内平面内)时时,则叠加就是代数则叠加就是代数和和. 这就是叠加原理这就是叠加原理.121122(,)()()()nnnF FFFFF121122(,)()()()nnnw F FFw FwFwF1 1、载荷叠加、载荷叠加2 2、结构形式叠加（逐段刚化法）、结构形式叠加（逐段刚化法）例例1 1 按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。36P C

4、F awE I 24P AF aE I 4524qCqLwE I 33qAqaE I qF=+ABCaaFABqABq 叠加叠加2(34)12APAqAaFqaEI435246CPCqCwwwqaFaEIEI 36P CF awE I24P AF aE I4524qCqLwE I33qAqaE IF=+ABCaaFABqAB例例2 2 ：q、l、 EI，求求：yC , B C , B1、载荷分解、载荷分解,2431EIqlBEIqlC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC48343,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(322查表：单独载荷作用下查表

5、：单独载荷作用下321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql3841143、变形叠加、变形叠加例例3 3 wwwwww,631EIqlCEIqlC841w,6)2(32EIlqB2222lBBCEIlq8)2(422lB2cw21CCCEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874 将将梁的挠曲线分成几段梁的挠曲线分成几段;首先分别计算各段梁的变形在首先分别计算各段梁的变形在需求位移处需求位移处引起的位引起的位移（挠度和转角

6、）移（挠度和转角）;然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。例例3 3 ：ABalFC1）考虑）考虑AB段变形引起的截面的挠度段变形引起的截面的挠度(BC段看作刚体段看作刚体)外力向研究的段上简化外力向研究的段上简化ABalCFFaF F：作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。FaFa：使使ABAB梁产生变形。梁产生变形。B()3BFalE

7、I 1CaBC1aEIlFa3)()(32EIlFaABalCFFaFa引起梁的变形形状为引起梁的变形形状为段上凸；段上凸；2）考虑）考虑BC段变形引起段变形引起C截面的挠度截面的挠度a2Cw)(332EIFawC21CCC)(3332EIFaEIlFaABalFCAB段看作刚体段看作刚体FBCC截面的总挠度截面的总挠度刚度条件刚度条件（stiffness condition)刚度条件的应用刚度条件的应用maxmax ww是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角. w (1)(1)校核刚度校核刚度(2)(2)设计截面尺寸设计截面尺寸(3)(3)求许可载荷求许可载荷6.5 6.5 简单超静定

8、梁简单超静定梁1 1基本概念基本概念1.1.超静定梁超静定梁单凭静力平衡方程不能求出全单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁部支反力的梁 , , 称为超静定梁称为超静定梁FABABCFFRAFRBFRC2.“2.“多余多余”约束约束多于维持其静力平衡所必需的多于维持其静力平衡所必需的约束约束3.“3.“多余多余”反力反力“多余多余”相应的支座反力相应的支座反力4.4.超静定次数超静定次数超静定梁的超静定梁的 “ “多余多余” ” 约束的约束的数目就等于其超静定次数数目就等于其超静定次数. .n = 未知力的个数未知力的个数 - 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目FABABCFFRAFRBFR

9、C二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤1、把超静定梁在形式上转变为静定、把超静定梁在形式上转变为静定梁梁将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看多余约束多余约束,解解除多余约束代之以约束反力除多余约束代之以约束反力 RB.得到得到原超静定梁的基本静定系原超静定梁的基本静定系.2、列、列几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程超静定梁在多余约束处的约束条超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的件，梁的 变形协调条件变形协调条件ABql0BwqABRB根据变形协调条件得变形几何方程：根据变形协调条件得变形几何方程：变形几何方程为变形几何方程为BBBqBRwww0BBqBRww BqwBBRw3 3

10、、列、列物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系 查表得查表得qAB将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程4 4、建立补充方程、建立补充方程48BqqlwEI 33BBBRlRwEI BARBqABRB补充方程为补充方程为由该式解得由该式解得5 5、求解其它问题（反力、应力、变形等）、求解其它问题（反力、应力、变形等）43083BqllREIEI38BqlRqABqABBABqwBBRwRBRBRAmA求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力58AqlR218Aqlm代以与其相应的多余反力偶代以与其相应的多余反力偶 mA 得基本静定

11、系得基本静定系.变形相容条件为变形相容条件为请同学们自行完成请同学们自行完成 ！方法二方法二:取支座取支座 A 处阻止梁转动的约束处阻止梁转动的约束为多余约束为多余约束.0A ABqlABqlmA例例5 如图示结构，已知如图示结构，已知AB梁截面的惯性矩为梁截面的惯性矩为I，杆，杆BD的截面的截面积为积为A,二者材料相同，弹性模量为二者材料相同，弹性模量为E。试求。试求BD杆所受的拉力杆所受的拉力FN。FFFFFFABCDFFFFFFABCDlwwwBFBFBNEAlFlNawwCFCFBF 6-6 6-6 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施( )zM xwEI w)(xM E zI一、改善结构

12、、减少弯矩一、改善结构、减少弯矩、合理安排支座；、合理安排支座；、合理安排受力；、合理安排受力；、集中力分散；、集中力分散；、 w一般与跨度有关，一般与跨度有关，、增加约束：、增加约束：3l成正比，成正比，与与故可减小跨度；故可减小跨度；CdxEIxMw)( DCxdxdxEIxMw)(尾顶针、跟刀架或尾顶针、跟刀架或加装中间支架；加装中间支架；较长的传动轴采用三较长的传动轴采用三支撑；支撑；桥梁增加桥墩。桥梁增加桥墩。、增加约束：、增加约束：采用超静定结构采用超静定结构改变支座形式改变支座形式FF改变载荷类型改变载荷类型q=F/LFzI二、选择合理的截面形状二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，几乎不变，大部分分布在远离中性轴处， 工字形、槽钢等；工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形