江西省南昌市2017届高三第一次模拟考试(理数)

1、江西省南昌市2017届高三第一次模拟测试数学（理科）本试卷共4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1 .本试卷分第i卷（选择题） 和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上.2 .回答第i卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：圆锥侧面积公式：s rl ,其中r为底面圆的半径，l为母线长。第i卷（选择题部分共60分）一、选择题：本大题

2、共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1 .已知全集 u r ,集合 a x y lg x,集合 b y y vx 1,那么 ai （cu b）（）a.b. （0,1c. （0,1）d. （1,）2 一， 一一一 一2,若复数z 五,其中i为虚数单位，则复数 z的虚部是（）1 i3a . -1b. ic. 1d. i3 .已知，均为第一象限的角，那么是sin sin 的（）a .充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件4 .设某中学的高中女生体重 y （单位：kg）与身高x （单位：cm）具有线性相关关系，根据一

3、组样本数据 原，yj （i 1,2,3，n ）,用最小二乘法近似得到回归直线方程为y 0.85x 85.71 ,则下列结论中不正确的是（） a . y与x具有正线性相关关系b.回归直线过样本的中心点 （x, y）c.若该中学某高中女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgd.若该中学某高中女生身高为160cm ,则可断定其体重必为50.29kg .5.若圆锥曲线c：22x my 1的离心率为2,-.3b. 一3c.d.6 .执行如图所示的程序框图，输出s的值为a . log2 10 1b. 2log23 1)9c.12d. 67 .已知函数 f(x) asin( x ) (a 0,0,0f

4、(31)8 . -19 . 110 2一）的周期为，若f （ ） 1,则222 一.8 .如图，在平面直角坐标系 xoy中，直线y 2x 1与圆x y 4相交于a, b两点，则cos aob =()、,5,599,101010109 .我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有()钱.b. 32c. 56d. 7010 .某空间几何体的三视图如图所示这个几何体的体积是()

5、(图中小正方形的边长为1),则32a .3211 .抛物线yb. 64 c. 1638x的焦点为f ,设a(x1,y1),d. 32afb的最大值为()b(x2, y2)是抛物线上的两个动点，若x x23b.4c.26|皿4 | ab ,则2d.312 .定义在r上的偶函数f(x)满足f(2 x)f(x),且当 x 1,2时，f(x) ln x x 1,若函数g(x) f (x) mx有7个零点，则实数m的取值范围为()a .c.1 ln 21 ln 21 ln 261 ln 2、填空题(本大题共ln 2 1 ln2 1(-,.)68b.d.ln 2 1 ln2 1(-,.)681 ln 2l

6、n 261-)第r卷(非选择题部分，共90分) 4小题，每小题5分，共20分)13 .在多项式(1 2x)6(1 y)5的展开式中，xy3项的系数为ur urr ur rn r ur14 .已知单位向量032的夹角为一，a 2e1 62，则a在e上的投影3是.15 .如图，直角梯形 abcd中，addc, adbc, bc 2cd2ad 2 ,若将直角梯形绕bc边旋转一周，则所得几何体的表面积为 16 .已知x2 y2 4,在这两个实数 x,y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

7、.）17 .（本小题满分12分）已知等差数列an的前n项和为sn ,且ai 1, s3 s4 s5.（i）求数列an的通项公式；（ii）令 bn （ 1）n1anani,求数列bn的前 2n 项和 t2n.18.（本小题满分12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）空气质量指数(0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在 2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本

8、，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（i）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（ii）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用x元，求x的分布列及数学期望.jl rt*oow ,一l-10.005oiqw hl , 1一1acesaooi i i；j| | （一 !r 0 50 lot） i jo 200 250 ?oc加 1ske3平面abcd ,底面abcd为等腰19 .（本小题满分12

9、分）如图，四棱锥p abcd中，平面pad梯形，abcd, ad dc bc 2, ab 4,pad为正三角形.（i）求证：bd 平面pad ；（ii）设ad的中点为 e,求平面peb与平面pdc所成二面角的平面角的余弦值 .2220 .(本小题满分12分)已知椭圆c:与5 1 (a b 0)的左、右顶 点分别为a、，”,左、右 a b1.焦点分别为fi,f2,离心率为一,点b(4,0) , f2为线段ab的中点.2(1)求椭圆c的方程；(2)若过点b且斜率不为0的直线l与椭圆c的交于m ,n两点，已知直线 a1m与a2m相交于点g，试判断点g是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，

10、请说明理由 .x221 .(本小题满分12分)已知函数f (x) (2x 4)e a(x 2) ( x 0, a r,e是自然对数的底数)(1)若f(x)是(0,)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；一1 一(2)当a (0,一)时，证明：函数 f (x)有最小值，并求函数 f(x)最小值的取值范围.2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 .(本小题满分10分)选彳% 4-4:坐标系与参数方程x a . 2t ，/一在平面直角坐标系xoy中，曲线g过点p(a,1),其参数方程为(t为参数，a r),y 12t以。为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，

11、曲线c2的极坐标方程为2cos 4cos 0.(1)求曲线c1的普通方程和曲线 c2的直角坐标方程；(2)已知曲线c1与曲线c2交于a,b两点，且|pa 2 pb ,求实数a的值.23 .(本小题满分10分)选彳4-5：不等式选讲已知函数 f(x) 2x a x 1 , a r.(1)若不等式f(x) 2 x 1有解，求实数a的取值范围；(2)当a 2时，函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.数学（理科）参考答案、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案ccddcbbdbada二、填空题：

12、本大题共4小题,每小题5分，满分20分.13. 120;14. 3 ;15. （3 夜）；16. 30三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.【解析】（i）设等差数列s3s4s5 可得 a|a2 a3a5 ,即 3a2a5,所以 3(1 d) 1 4d ,解得 d 2 .an 1 (n 1) 2 2n 1.（h）由（i）可得:n 1bn ( 1)(2n 1)(2n 1)(1)n1 (4n2 1).t2n(4 12 1) (4 22 1) (4 32 1) (4 42 1) l(1)2n 1 4 (2 n)2 14 12 22 32 42 l(2n 1)

13、2 (2n)24(1 2 3 4 l2n 1 2n)4 2n(2n 1)28n2 4n18.【解析】(i)由直方图可估算 2017年(以365天计算)全年空气质量优良的天数为 (0.1 0.2) 365 0.3 365 109.5 110 (天).60000 ,(n)由题可知，x 的所有可能取值为：0, 10000, 20000, 30000 , 40000 , 50000 ,4 364114 224则：p(x 0) (-), p(x 10000) c3 -(-)-512510 512521 24114210827p(x 20000) c32 (-)2 (-) c1 (-) (-)2 -105

14、1055001251 3 八1 1 八1 1 449p(x 30000) ()3 c3 c2 101010 5 100021 2 121 2 427p(x40000)c3(-)- c3 (-)-1010105 1000p(x50000)c；()2 色一1010 1000p(x 60000) (-1)3 4101000x的分布列为x0100002000030000400005000060000p6424274927311251251251000100010001000ex 0644827492731100002000030000400005000060000 -12525012510001000

15、100010009000（元）.19.【解析】（i）在等腰梯形 abcd中，过点如图所示：有 ae 1,de 3, bd 2 3d作de ab于点e在 abd 中，有 ab2 ad2 bd2 ,即 ad bd平面pad .又因为平面 pad 平面abcd且交线为ad，.二bd(ii) 由平面pad 平面abcd ,且pe ad ,得 pe 平面 abcd .pad为正三角形，e为ad的中点,如图所示，以d为坐标原点，da所在直线为x轴，db所在直线为y轴，过点d平行于pe所在直线为z轴，建立空间直角坐标系同理有uuupe由条件 ad dc bc 2 ,贝u ae de 1 , pe 察,bd

16、2曲.则 d(0,0,0) , e(1,0,0), b(0,2褥0) , p(1,0，v3).6 分在等腰梯形abcd中，过点c作bd的平行线交ad延长线于点f如图所示：则在 rt cdf 中，有 cf 33, df 1 ,c( 1,73,0).uuuuuur(另解:可不做辅助线，利用 ab 2dc求点c坐标)lult_uuurur cd (1,后0) , pd (1,0, j3),设平面 pdc 的法向量 n1 供，%,乙)ur lutn1 cd x13y10 b则ur ullt厂 ，取为 石，则y 1 , z 1 ,n1 pdx13z1 0ut -，面pdc的法向量r (6,1, 1)._

17、uuu_uu(0,0, 病，pb( 1,2曲曲)，设平面pbe的法向量n2(x2,y2,z2)ur uuu n2 pe ur uut n2 pb.3z20x2 2 3y23z2 0取y21,则x22石,z2 0, 面 pbe 的法向量 tu (273,1,0) . -10 分设平面peb与平面pdc所成二面角的平面角为cosltl lu cos n1 ,n23 2.3 13-i1 .12 17.6565即平面peb与平面pdc所成二面角的余弦值为 7/656520.【解析】(i )设点a(a,0), f2(c,0),由题意可知:，即 a 4 2c又因为椭圆的离心率1-_一，即a 2c 2联立方

18、程可得:所以椭圆c的方程为xl42,c 1 ,则 b之1.3(h)方法一：根据椭圆的对称性猜测点g是与y轴平行的直线xxo 上.假设当点m为椭圆的上顶点时，直线的方程为.3x 4y 4 30 ,此时点n (533则联立直线1amam：73x 2y 2事0和直线小：3v3x2 y 6有 0可得点g(1,羽3)2据此猜想点g在直线x 1上，下面对猜想给予证明:m (xi, yi), n(x2, y2),联立方程y2 x4k(x 4)v2 可得:工13一 .2、2 一 . 2(3 4k )x 32k x64 k2120,由韦达定理可得因为直线1alm ：yx2 一3弋(xx1 232k2，4 k22

19、)，xix2l a2n : y64k2 123 4 k2y2f (x 2), x2 2(*)联立两直线方程得x即 3k(x 4) (& 2)y1.tk(x22)4)将(*)代入上式可得4 (64 k23 4 k2y2x2(x1 ： 12)此式明显成立，原命题得证.所以点(x 2)(其中 22),即证 4x1x2小军163 4k2g在定直线上x为g点的横坐标)10(x1 x2) 16 0016k2 3x 1上.方法二：设m(x1,y) n(x2,y2),g(x3,y3),为公公两两不等,因为b, m,n三点共线，所以整理得：2x1x2 5(x1x2)v1x140y2x2 42v1(xi 4)22

20、y2(x24)2a,m,g三点共线,有:v3x32v1x 2a2,n,g三点共线,有:x3y32v2x22即证:3y1x1 2y2x2220k23(13 4 k2(x14)2将与两式相除得:23(1多4(x24)2x 2x3 2y2(x 2)y1(x2 2)x3 (x3 2y22 a2)2y12(x2 2)22x223(1 7)(x12)23(1 学i4 2)2(% 2)(/ 2)(x 2)(x2 2)即(上x32)(xi2)(x 2)(x2 2)x1x2 2(x1 x2) 4x1x2 2(x1 x2) 4x32 2j)m(x,yi), n(x2,y2).则 x1x232k23 4k2x1x2

21、-2_64k123 4k2i %x2) 4x1x212、1 4k23 4k25将 2x1x25(xix2)80即卒22(x1x2)40代入得:解得x 4 （舍去）或x3 1 ,所以点g在定直线x 1上. 方法三：显然l与x轴不垂直，设l的方程为y k（x 4）,y k(x 4)由 x2 v2得(3 4k2)x2 32k2x 64k2 12 0,0.y- 143设 m(xi,yi), n(x2,y2),g(x3,y3),用公区两两不等，由a,m,g三点共线，有：上x3 2 x 2由a,n,g三点共线，有：上上x3 2 x2 2与两式相除得：x3 2x3 2解得x3y2(x 2)k(x2 4)(x

22、2)y(x2 2)k(x 4)(x2 2)x1x2(x1x2)3(x1x2)8x1x23(x1 x2) (x1x2)84 （舍去）或必1,所以点g在定直线x 1上.21.【解析】（i）_xxf (x) 2e (2x 4)e 2a(x 2)x(2x 2)e 2a(x 2),依题意：当x 0时，函数f(x) 0恒成立，即(2x 2)e2a恒成立，x 2xxx2x(2x 2)e2xe (x 2) (2x 2)e(2x 2x 2)e o记 g(x) -,则 g(x) -4- 2- 0，x 2(x 2)(x 2)所以g(x)在(0,)上单调递增，所以g(x) g(0)1,所以2a 1,即a；2(ii)因为f(x) 2xex 2a 0 ,所以 y f(x)是(0,)上的增函数，又 f (0)4a 2 0, f (1) 6a 0 ,所以存在 t (0,1)使得 f (t)且当a1 . ,，一 一一2时t 0,所以t的取值氾围是（a3又当 x (0,t) , f (x) 0,当 x (t,)时,f(x) 0,所以当x t时，f