任意角与弧度制

1、图图2 2图图1 1思考思考1：对于角的图形特点有如下两种认识：对于角的图形特点有如下两种认识：角是由平面内一点引出的两条射线所组成角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图的图形（如图1）；）；角是由平面内一条射线角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图成的图形（如图2）.你认为哪种认识更科学、你认为哪种认识更科学、合理？合理？AOB始边始边终边终边顶点顶点思考思考2：如图，一条射线的端点是：如图，一条射线的端点是O，它从起始位，它从起始位置置OA旋转到终止位置旋转到终止位置OB，形成了一个角，形成了一个角，其，其中

2、点中点O，射线，射线OA、OB分别叫什么名称？分别叫什么名称？记法：角 或 ，可简记为 思考思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针所形成的角，与按顺时针方向旋转方向旋转600所形成的角是否相等？所形成的角是否相等？思考思考4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可：为了区

3、分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？它还形成一个角吗？规定：规定：u按逆时针方向旋转形成的角叫做按逆时针方向旋转形成的角叫做，u按顺时针方向旋转形成的角叫做按顺时针方向旋转形成的角叫做u如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个个. B B2 2A AB B1 1O O思考思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任

4、意大小任意大小. 对于对于210，150，660，你能用图，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 画图表示一个大小一定的角画图表示一个大小一定的角:(1)先画一条射线作为角的始边，先画一条射线作为角的始边，(2)再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的正负确定角的旋转方向，(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注. 120，450.问题问题2：如果你的手表慢了：如果你的手表慢了20分钟，或快了分钟，或快了1.25小时，小时

5、，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？ 问题1： 钟表经过4小时，时针与分针各转 (填度). 120120，-1440-1440. .思考思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边角的始边与与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？边可能落在哪些位置？思考思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如

6、果角的终边在坐标轴上，就认为是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为这个角不属于如何象限，或称这个角为.那么那么下列各角：下列各角：-50，405，210, -200，450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？ 50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo问题问题2 2：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限象限角只能反映角的终边所在象限(位位置置)，不能反映角的大小，不能反映角的大小. 问题问题1：锐角是第几象限的角？第一象限的角锐角是第几象限的角？第一象限的角是

7、否都是锐角？小于是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？的角是锐角吗？ 思考思考3 3：在直角坐标系中，在直角坐标系中，135135角的终角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定边在什么位置？终边在该位置的角一定是是135135吗？吗？xyo思考思考4：给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应；：给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应；反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？边的角是否唯一？若不唯一，那么终边相同的角有什么关系？若不唯一，那么终边相同的角有什么关系？探究三：探究三：终边相同的角终边相同的角 思考思考1 1：3232，32

8、8328，392392是第几是第几象限的角？这些角有什么内在联系？象限的角？这些角有什么内在联系？32392xyo o3280003603232800036032392与与32角终边相同的角有多少个？角终边相同的角有多少个？这些角与这些角与32角在数量上相差多少？角在数量上相差多少？ Zkk,3603200思考思考3 3：所有与所有与3232角终边相同的角，角终边相同的角，连同连同3232角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S吗？吗？ S=|S=|=k k360360，kZkZ ，即任，即任一与一与终边相同的角，都可以表示成角终边相同

9、的角，都可以表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和. .思考思考4 4：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎可以怎样表示？样表示？ Zkk,3603200所有与角所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内，可构成在内，可构成一个集合：一个集合：终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；定相同；终边相同的有无数多个，它们相差终边相同的有无数多个，它们相差360的整数的整数倍。倍。ZkkS,360|ZkkS,2| 129 1294848，第二象限角，第二象限

10、角. . 300 300，-60-60. .例题分析例例1在在0360范围内，找出与范围内，找出与95012角终边相同的角，角终边相同的角，并判定它是第几象限角并判定它是第几象限角. 例例2求与求与3900终边相同的最小正角和最大负角终边相同的最小正角和最大负角.x轴正半轴： |= k360，kZ ； x轴负半轴： | = 180k360，kZ ；y轴正半轴： | = 90k360，kZ ； y轴负半轴： | = 270k360，kZ .思考思考5：终边在：终边在x轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？负半轴上的角分别如何表示？xyoxyo,360

11、zkk,36090zkk终边在轴线上的角的集合终边在轴线上的角的集合 xyoxyoZkk,36018000Zkk,36027000Zkk,36018000Zkk,3609000终边在x轴上：S=|=k180，kZ；终边在y轴上：S=|=90k180，kZ. 思考思考6：终边在：终边在x轴、轴、y轴上的角的集合分别如何轴上的角的集合分别如何表示？表示？ 写出终边在写出终边在Y轴上的角的集合轴上的角的集合 分析分析:首先写出在首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合轴的正半轴上的角的集合,然后写出在然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合轴的负半轴上的角的集合解答解答:终边在终边在Y轴的正半轴上的角的集合为轴

12、的正半轴上的角的集合为终边在终边在Y轴的负半轴上的角的集合为轴的负半轴上的角的集合为001|90360 ,SkkZ 002|270360 ,SkkZ xyoxyo所以所以,终边在终边在Y轴上的角的集合为轴上的角的集合为12SSS00|902180 ,kkZ 000|901802 180 ,kk Z 00|902180 ,kkZ 00|90(21)180 ,kk Z 00|90180,nnZ xyo写出终边在写出终边在X轴上的角的集合轴上的角的集合写出终边在坐标轴上的角的集合写出终边在坐标轴上的角的集合Zkk,1800 xyoxyo ZkkZkk,18090,180000Zkk,900第一象限：

13、S= | k360 90k360,kZ；第二象限：S= | 90k360180k360,kZ；第三象限：S= | 180k360270k360,kZ；第四象限：S= | 90k360k360,kZ.思考思考8：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？表示？ 思考思考8 8：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？合分别如何表示？ 第一象限：第一象限：S=|kS=|k3603600 090900 0k k3603600 0,kZ,kZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|900 0k k3603600 01801800

14、0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|1800 0k k3603600 02702700 0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|S=|90900 0k k3603600 0kk3603600 0，kZkZ.00|225360 ,SkkZ 00|45360 ,kkZ 00|45180 ,kkZ 解:终边在终边在射线 y = x 上的角的集合是终边在终边在射线 y = -x 上的角的集合是所以终边在Y=x上的角的集合是ZkkB,36022500ZkkA,3604500例例3:写出终边在直线写出终边在直线 上的角的集合上的角的集

15、合S,并把并把S中适中适合不等式合不等式 的元素的元素 写出来写出来yx00360720中适合的元素中适合的元素452x180= - 315 451x180= - 135 45+0 x180= 45 45+1x180= 225 45+2x180= 405 45+3x180= 58500360720 S=|S=|=45=45k k180180，kZkZ.(确定整数k) 写出终边落在阴影部分写出终边落在阴影部分(含边界含边界)的角的集合的角的集合拓展提高拓展提高110110， 230230， 350350. .32、已知角、已知角的终边与的终边与30角的终边关于角的终边关于x轴对称轴对称试在试在0

16、360范围内，找出与范围内，找出与 终边相同的角终边相同的角. 如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么22、/2/2分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？9090k k360360180180k k360360180180k k720720 23602360k k7207204545k k180180/290/290k k180180rr角的度量角的度量初中初中高中高中角度制角度制弧度制弧度制规定规定:把周角的把周角的1/360作为作为1度的角；用度做度的角；用度做单位来度量角的制度叫做角度制单位来度量角的制度叫做角度制 弧度制弧度制1、度量角的方法度分秒制把圆周角分为360等份1

17、度的角60等份1分的角60等份1秒的角./0024446 .35计算：计算：/0/024443635080规定规定:长度等于半径的弧所对的圆心角叫做长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制弧度制l是以角是以角为圆心角所对弧长，为圆心角所对弧长，r是半径是半径在弧度制下，在弧度制下，1弧度记做弧度记做1rad. 在实际运算中，常常将在实际运算中，常常将rad单位省略单位省略rad1OABrrrad2OACrrl2Rl|lR正负正负正角正角零角零角负角负角正实数正实数负实数负实数0 0任意角的集合任意角的集合R R实数集实数集

18、p正角的弧度数是一个正数，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是角的弧度数是0p意义：角的概念推广之后，意义：角的概念推广之后，弧度制能在角的集合与实数的弧度制能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的集合之间建立一种一一对应的关系关系把化成弧度把化成弧度0367例121670367解解：rad832167rad1800367角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键180把化成度把化成度例2rad5318053rad53解：角度030456090120135150180弧度角度210225240270300315330360弧度0634232

19、436523267452334354723611思考思考1：特殊角的角度与弧度：特殊角的角度与弧度角度制角度制弧度制弧度制终边在终边在x轴非负半轴轴非负半轴终边在终边在x轴非正半轴轴非正半轴终边在终边在x轴轴终边在终边在y轴非负半轴轴非负半轴终边在终边在y轴非正半轴轴非正半轴终边在终边在y轴轴终边在坐标轴终边在坐标轴Zkk,2|Zkk,2|Zkk,|Zkk,22|Zkk,232|Zkk,2|Zkk,2|Zkk,360|Zkk,180|Zkk,180360|Zkk,90360|Zkk,270360|Zkk,90180|Zkk,90|思考思考2：Zkkk,36090360|第一第一象限象限Zkkk

20、,222|第二第二象限象限Zkkk,36018036090|Zkkk,222|第三第三象限象限Zkkk,360270360180|Zkkk,2232|第四第四象限象限Zkkk,360360360270|Zkkk,22223|思考思考3：写出与下列各角终边相同的角的集合，并把写出与下列各角终边相同的角的集合，并把在在-720720之间的角找出来。之间的角找出来。1050. 1192005. 2529. 3 320. 4探究探究3：问题问题1（1）；（2）；（3）把下列各角化成 的形式：kk，202316315711问题问题2：)() 12(2|. 4kxxA已知66|xxB BA:则则如如图图解解:066 2 2, 2 , 1, 3, 2时时或或当当时时当当 已已超超出出.)6 , 6(的的范范围围 xxx0,6|或问题问题5：用弧度制表示终边在下列：用弧度制表示终边在下列阴影部分的角：阴影部分的角：1、逆时针转动2、注意虚线与实线的区别3、注