因式分解扩展

1、 因式分解的扩展因式分解的扩展一、专题难点一、专题难点n1、利用乘法公式、利用乘法公式,十字相乘十字相乘,换元法进换元法进行因式分解；行因式分解；n2、利用拆补项进行因式分解；、利用拆补项进行因式分解；n3、进行因式分解的主要技巧、进行因式分解的主要技巧二、专题知识点二、专题知识点n因式分解的概念因式分解的概念n把一个含字母的多项式表示成若干个均把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解这个多项式因式分解n 因式分解的因式分解的通常通常步骤及要求：步骤及要求：n（1）常常先提公因式再用公式法进行因式分解）常常先提公因

2、式再用公式法进行因式分解n（2）因式分解一定要进行到每一个因式不能再分解）因式分解一定要进行到每一个因式不能再分解 为止为止n（3）多项式第一项为负系数，常先提出负号使分解）多项式第一项为负系数，常先提出负号使分解后的第一项系数为正后的第一项系数为正n（4）多项式因式分解结果中常用小括号出现，因式）多项式因式分解结果中常用小括号出现，因式中不含中括号中不含中括号n我们用四字口诀概括为：方法先后，分解彻底，我们用四字口诀概括为：方法先后，分解彻底，符号处理，书写规范符号处理，书写规范二、专题知识点二、专题知识点n因式分解的方法：因式分解的方法：n（一）提公因式法（一）提公因式法n方法介绍：如果一

3、个多项式的各项都方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式积的形式二、专题知识点二、专题知识点二、专题知识点二、专题知识点（二）应用公式法（二）应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式二、专题知识点二、专题知识点（三）分组分解法（三）分组分解法方法介绍：分组分解法是因

4、式分解中的重方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的顺利地达到分解因式的目的( (四四) )乘法公式的扩展乘法公式的扩展n乘法公式：乘法公式：（1）平方差：）平方差：（2）完全平方公式：）完全平方公式： （3）多项式的平方：）多项式的平方： 22()()abab ab2222()aabbab2222222()abcabacbcabc二、专题知识点二、专题知识点n补充公式：补充公式： 动画一动画一 动画二动画二 动画三

5、动画三 动画四n注：乘法公式中的字母可以表示数、单项注：乘法公式中的字母可以表示数、单项式、多项式，在应用公式之前应先从整体式、多项式，在应用公式之前应先从整体上观察，检查是否符合公式的结构特征，上观察，检查是否符合公式的结构特征，特别是符号不要出错，不可盲目应用特别是符号不要出错，不可盲目应用( (四四) )乘法公式的扩展乘法公式的扩展二、专题知识点二、专题知识点三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题 三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题例例3. 3. 分解因式：分解因式： 三、典型例题三、

6、典型例题基础知识题基础知识题分析：此题含有四项，对于四项或四项以上的通分析：此题含有四项，对于四项或四项以上的通常采用分组分解法，用这种方法的思路是：先看常采用分组分解法，用这种方法的思路是：先看有公因式可提吗？如果有先提公因式，然后再决有公因式可提吗？如果有先提公因式，然后再决定分组，分组的时候要考虑分组后是否可以分解定分组，分组的时候要考虑分组后是否可以分解因式，然后又可以再分解因式，最后的结果一定因式，然后又可以再分解因式，最后的结果一定要是要是n n个整式的积的形式个整式的积的形式 三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题（ ）14422xyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy

7、xy2244444三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题（ ）21222abab12111112222ababababababab三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题基础知识题基础知识题三、典型例题三、典型例题拓展拓展题题例例5.5.分解因式：分解因式： 思路分析：思路分析：三、典型例题三、典型例题 拓展拓展题题三、典型例题三、典型例题换元换元 思路分析：我们可以将思路分析：我们可以将x25x3当成整体，并当成整体，并设设x25x3=y，则将原式化为，则将原式化为y25y6，从而，从而使问题得解使问题得解.例例6 6分解因式分解因式:(x25x3)(x25

8、x2)6 三、典型例题三、典型例题换元法换元法则则, ,原式原式解：设解：设三、典型例题三、典型例题拓展题拓展题思路分析：可以将一次项思路分析：可以将一次项7x拆成拆成x6x，然，然后再分成两组后再分成两组(x3x)和和(6x6)，可达到分解，可达到分解因式的目的因式的目的. 例例7.7.分解因式：分解因式： 分解因式：xx376解：解：原式 xxx366xxx366x xxx1161 xx x116xxx162xxx123 三、典型例题三、典型例题拓展题拓展题三、典型例题三、典型例题公式的构造公式的构造思路分析：此题为两数的平方和，无法直接思路分析：此题为两数的平方和，无法直接运用公式，考虑

9、到运用公式，考虑到x x4 4+4x+4x2 2+4=(x+4=(x2 2+2)+2)2 2，故可，故可以添加以添加4x4x2 2-4x-4x2 2，构成平方差公式，构成平方差公式. .例例8 8分解因式分解因式:x:x4 4+4.+4.三、典型例题三、典型例题公式的构造公式的构造xxx422444xxx422444xx22222xxxx222222xxxx222222解：解：原式原式三、典型例题三、典型例题公式的灵活应用公式的灵活应用思路分析思路分析: :欲比较欲比较m、n的大小，通常可以利用作的大小，通常可以利用作差法，再利用因式分解差法，再利用因式分解, ,来判断各因式的符号来判断各因式

10、的符号. .三、典型例题三、典型例题公式的灵活应用公式的灵活应用MNa bb cc aabbcca222222()()()()()()()()() ()()()()()a babb ccac abcab abc bacabab abbcaccab a bcc bcab ac bc2222222222 解：解：三、典型例题三、典型例题公式的灵活应用公式的灵活应用abcabacbc000，()()()ab ac bc 0 因为 所以 所以 因此MN，选B三、典型例题三、典型例题重新整理组合重新整理组合 思路分析：此多项式的形式无法再继续分解，思路分析：此多项式的形式无法再继续分解，因此需先打破原来

11、的形式，而后重组分解即先因此需先打破原来的形式，而后重组分解即先破后立破后立 例例10.10.分解因式：分解因式： 分解因式：ab cdabcd2222三、典型例题三、典型例题重新整理组合重新整理组合 原式 abcabda cdb cd2222 abca cdabdb cdac bcadbdadbcbcadacbd2222解：解：思路思路分析：分析：我们观察出我们观察出(x-1)(x-4)(x-1)(x-4)的常数项之的常数项之和与和与(x-2)(x-3)(x-2)(x-3)常数项之和相等常数项之和相等, ,故可部分相故可部分相乘乘, ,得得x x2 2-5x+4-5x+4和和x x2 2-5

12、x+6,-5x+6,在将在将x x2 2-5x-5x当作整体当作整体, ,再相乘后与再相乘后与120120合并同类项合并同类项, ,就可以达到分解的就可以达到分解的目的了目的了三、典型例题三、典型例题 重新整理组合重新整理组合 例例11.11.分解因式：分解因式： 分解因式： xxxx1234120三、典型例题三、典型例题 重新整理组合重新整理组合 原式 xxxx1423120 xxxxxxxxxxxxxxxx2222222254561205105965651661516解：解： 例例12.12.因式分解下列各式因式分解下列各式: :(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2(2)x

13、4+2x39x22x+8；(3)ab(a+b)2(a+b)2+1三、典型例题三、典型例题 重新整理组合重新整理组合 三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例13. 13. 已知一个凸四边形已知一个凸四边形ABCDABCD的四条边的四条边的长依次为的长依次为a a、b b、c c、d d，且，且判断四边形判断四边形ABCDABCD的形状的形状. .aabacbc20bbcbdcd20 ，aabacbcbbcbdcd2200，a abc abb bcd bc()()()()00，()()()()ac abbd bc00，abcd0000，acbd00，acbd，解：解： 即 即故四边

14、形ABCD是平行四边形三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例14.14.已知长方形的周长是已知长方形的周长是16cm16cm，它的两边，它的两边x、y是是整数，且满足整数，且满足 ， 求其求其面积面积xyxxyy22220分析：分析：要求长方形面积，必须利用已知条件求出要求长方形面积，必须利用已知条件求出两边两边x、y，一个条件是，一个条件是 ，另一个，另一个216()xy是条件等式观察等式左端特点可以考虑利用交是条件等式观察等式左端特点可以考虑利用交换律、结合律分组后分解因式，两个条件结合求换律、结合律分组后分解因式，两个条件结合求值值 三、典型例题三、典型例题 因式分解应用

15、因式分解应用 xyxxyy22220 xxyyxy22220()()xyxy220()()xyxy1202168()xyxy， xyxy81xyxy82解：解：即又或三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用 xyxy354553.或xy53Scm53152()解得由x、y是整数，得 故长方形面积三、典型例题三、典型例题 因式分解应用因式分解应用例例15. 15. 一圆形灯具，在一个大圆盘中，嵌一圆形灯具，在一个大圆盘中，嵌入四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，入四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，有阴影部分的面积是有阴影部分的面积是 ，试求大、，试求大、小圆盘的半径小圆盘的半径 52dm评析：评析：在这里因式分解是解题的关键在这里因式分解是解题的关键，因为因式分解可以得到，因为因式分解可以得到解题思路豁然开朗解题思路豁然开朗. .()()RrR