矩阵的特征值和特征向量ppt课件

1、第五章矩阵的特征值和特征向量向量的内积和正交化矩阵的特征值与特征向量类似矩阵实对称矩阵的对角化 回想回想:3Rba ,cos ba ., 的夹角的夹角表示表示ba aaa ,321321kbjbibbkajaiaa 若若332211babababa 则则1 向量的内积和正交化向量的内积和正交化推行到实数域推行到实数域R R上的上的n n维实向量空间维实向量空间:nR定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnbbbaaa 1 122,Tnna ba ba b 令令 . ,的的与与为为向向量量称称 内积内积阐明阐明 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推行，但是没有的

2、推行，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义 4 nn内积的运算性质内积的运算性质 :,为实数为实数维向量维向量为为其中其中kn ;,)1( ;,)2( kk ;,)3( (4),0,0. 当当且且仅仅当当 2(5), (施瓦兹不等式当当 时上式显然成立时上式显然成立当当 时，时，.0),(Rx0),(xx. 0),(),(2),(2xx0),)(,(4),(42),)(,(),(2证毕证毕定义定义2 2 221,nxx 令令 . 或或的的维维向向量量为为称称 n长度长度范数范数.1的向量为单位向量的向量为单位向量称长度是称长度是0向量长度具有以下性质向量长度具有以下性质1非负性非

3、负性只需当只需当 时时02齐次性齐次性3三角不等式三角不等式证明：证明：),(),(2),(),(2根据内积的性质有根据内积的性质有根据施瓦兹不等式，有根据施瓦兹不等式，有),)(,(),(从而从而),(),)(,(2),(2222)(2即即.当当 时，时，,1),)(,(),(即即1),(定义定义3 3 ,arccos(0) 向向量量之之间间的的夹夹角角 ,0,. 若若则则称称 与与 正正交交 记记作作注：零向量与任何向量都正交注：零向量与任何向量都正交.定义定义4 4定义定义5 5 假设一非零向量组中的向量两两正交，那假设一非零向量组中的向量两两正交，那么称该向量组为正交向量组。么称该向量

4、组为正交向量组。定理定理1 1 假设假设 是正交向量是正交向量组，那么该向量组线性无关。组，那么该向量组线性无关。12,n rrkk11riRki, 1,0),(0),(11rrikk), 2 , 1(ri0),(),(),(2211ririikkkr,1ji 0),(ji0),(iiik, 0i), 2 , 1(0rikir,1设设由于对于恣意向量由于对于恣意向量那么那么即即由于由于 是一正交向量组，是一正交向量组，故当故当 时，时，因此有因此有又由于又由于所以所以故故 线性无关线性无关定义定义6 6 设设n n维向量维向量 是向量空是向量空间间 的一组基，假设的一组基，假设 两两正交，且都

5、是单位向量，那么称其为规范两两正交，且都是单位向量，那么称其为规范正交基。正交基。12,re ee()nW WR 12,re ee.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如 . 4 , 3 , 2 , 1, 1),(. 4 , 3 , 2 , 1, 0),(jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一个个标标准准正正交交基基为为所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一个标准正交基的一个标准正交基也为也为R12121212,rrrrWWe eee ee 设设是是向向量量空空间间的

6、的一一组组基基 要要求求的的一一组组标标准准正正交交基基 就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的单单位位向向量量使使与与等等价价 称称为为12,.r 把把这这组组基基标标准准正正交交化化基基 正交基正交基 规范正交基规范正交基?1正交化，取正交化，取 ，11 1222111, 12,rW 若若为为向向量量空空间间的的一一组组基基 111122221111, rrrrrrrrr .,111等价等价与与且且两两正交两两正交那么那么rrr 2单位化，取单位化，取,222111rrreee 12,.re eeW那那么么为为的的一一个个标标准准正正交交基基 132333121122, 例例1 用施

7、密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组123(1,1,1,1) ,(1, 1,0,4) ,(3,5,1, 1)TTTaaa 规范正交化规范正交化.解解 先正交化，先正交化， 111,1,1,1Tba 1112122,bbbabab 1141, 1,0,41,1,1,11111TT 0, 2, 1,3T令令. , 11称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rr 施密特正交化过程施密特正交化过程 222321113133,bbbabbbbabab 8143,5,1, 11,1,1,10, 2, 1,3414TTT 1,1, 2,0

8、T再单位化，再单位化， 22212130, 2, 1,30,14141414TTbeb 33311121,1, 2,0,06666TTbeb 得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 11111 1 1 11,1,1,1,22 2 2 2TTbeb 例例21231231 1 ,1.aa aa a a 已已知知求求一一组组非非零零向向量量使使两两两两正正交交解解2311230,0.Taaa xxxx , ,应应满满足足方方程程即即.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为把根底解系正交化，即为所求令把根底解系正交化，即为所求令,12 a .,1112123 a 于于是是得得其其中中, 2

9、, 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a定义定义7 7 1 , .TTnAAEAAAA 若若 阶阶实实矩矩阵阵 满满足足即即则则称称 为为 正正交交矩矩阵阵TA AE 112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaE 定理定理3 3 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列的列( (行行) )向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交AA 1212,nTTnTE 111222121212nnnTTTnTTTnTTTnE 1,;,1,2,0,iTjijiji jnij 当当当当由此可知由此

10、可知A的列向量组构成的列向量组构成 的的 一个规范正交基。一个规范正交基。nR同样的方法，行向量组也是。同样的方法，行向量组也是。例例3 3 判别以下矩阵能否为正交矩判别以下矩阵能否为正交矩阵阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 解解 2由于由于 979494949198949891 979494949198949891T 100010001所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵定理定理2 2则则阶正交矩阵阶正交矩阵皆是皆是设设,nBA 111A 或或 12.TAA 即即也也是是正正交交矩矩阵阵 3.AB也也是是正正交交矩矩阵阵BA,n1, 1BABA例例

11、3 设设都是都是阶正交矩阵，且阶正交矩阵，且，求，求 提示：此法为提示：此法为 定义法，利用定理定义法，利用定理3如何证明？如何证明？EBBEAATT，TTBBAA11，解解 由由，可知，可知，于是，于是ABAABBBEEABA11AABBAABB1111)(TTBAAB11BABAT）（所以所以0BA2 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量,8,.AnnxAxxAxA 设设为为 阶阶方方阵阵 若若存存在在数数 和和 维维非非零零向向量量使使得得则则称称 是是 的的一一个个称称为为矩矩阵阵 的的属属于于特特征征值值定定义义特特征征值值特特征征向向量量的的该当留意，根据定义特征向量不能是

12、零向量该当留意，根据定义特征向量不能是零向量给定矩阵给定矩阵A，如何求，如何求A的特征值和特征向量呢？的特征值和特征向量呢？XAXXAE)(WA设该齐次线性方程组的解空间为设该齐次线性方程组的解空间为W中的任一非零向量都是中的任一非零向量都是 的属于的的属于的 特征向量。特征向量。 W称为关于称为关于 的的 属于特征值属于特征值 的特征子空间的特征子空间A根据齐次线性方程组有非零解的条件可知，根据齐次线性方程组有非零解的条件可知， 0 AEW中就含有非零解向量中就含有非零解向量 0 AEA的特征方程的特征方程)(fAEA的特征多项式的特征多项式)(fnnnnnnaaaaaaaaa2122221

13、11211Aaafnnnnn) 1()()(111特征多项式展开为特征多项式展开为 n我们知道次复系数多项式有次复系数多项式有 个且恰有个且恰有 个个根重根按重数计算，故根重根按重数计算，故阶方阵有阶方阵有 个复特征值个复特征值nnnn设设 的的 个特征根重根按重数计算为个特征根重根按重数计算为 n,1An那么有那么有)()()(1nf将该式展开，然后与上式比较系数，即可得：将该式展开，然后与上式比较系数，即可得： 1111nnnnaaA 从上式可看出：，从上式可看出：，A有特征值的充分必要条件是有特征值的充分必要条件是 0A另外从特征值的定义可知，另外从特征值的定义可知，对角矩阵的特征值就是

14、它的主对角线上对角矩阵的特征值就是它的主对角线上的一切元素的一切元素假设假设 的特征值是的特征值是 ， 是是 的属于的属于 的特征向的特征向量，那么量，那么A xA (1) kA的特征值是的特征值是. (kk 是恣意常数是恣意常数). (mm (2) mA的特征值是的特征值是是正整数是正整数)(3) A假设假设 可逆，那么可逆，那么 的特征值的特征值是是1A 1. A 的特征值是的特征值是1.A 1,mkA A AA 且且 依然是矩阵依然是矩阵 分别对应于分别对应于 x的特征向量。的特征向量。11 , ,A mk 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 ,0,A 当当 可可逆逆时

15、时., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA？可得可得由由xAx *AAxAxA xA x*AA xx ( )(4)f x为为x的多项式，那么的多项式，那么 的特征值为的特征值为 ( )f A( ).f (5) 方阵方阵 的属于不同特征值的特征向量线性的属于不同特征值的特征向量线性无关。无关。A1211221122111222,()mmmmmmmmxxxx px px pA x px px px px px p 设设有有常常数数使使则则即即证证111222 (1,2,1)kkkmmmx px px pkm类类推推有有121212,4,.mmm

16、Ampppppp 设设是是方方阵阵 的的个个互互不不相相同同的的特特征征值值依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征向向量量则则定定线线性性无无关关理理11112211221,11(,).1mmmmmmmx p x px pO 写写成成矩矩阵阵形形式式 得得112212(,),0,1,2,.,.mmiiiimx p x px pOx ppximppp 于于是是有有即即但但故故所所以以向向量量组组线线性性无无关关.,该该矩矩阵阵可可逆逆各各不不相相同同时时当当i AEfTAT ()Af TAE AE (6)矩阵矩阵 和和 的特征值一样。的特征值一样。TAA求特征值、特征向量的步骤：求特征值、特征

17、向量的步骤：(2) Axx EA x 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的一个根底解系的一个根底解系 EA x (1) 即可求出特征值即可求出特征值 ; 12112212,A,.ttttkkkk kk 可可得得 的的属属于于特特征征值值 的的全全部部特特征征向向量量其其中中为为不不全全为为零零的的常常数数写出特征方程写出特征方程, 0 AE求其一切的求其一切的 根，根，31.13A 求求的的特特征征例例值值和和特特征征向向量量1 11231 ( )13(4)(2)2,4.AfEAA 的的特特征征多多项项式式为为所所以以 的的特特征征值值为为解解1122,1,;1EA x =xx 当当时时 解解方

18、方程程组组( (2 2) )可可得得得得到到基基础础解解系系为为12,1kk 所所以以属属于于特特征征值值 的的特特征征向向量量为为为为非非零零常常数数。1124,1,;1EA x =xx 当当时时 解解方方程程组组(4)(4)可可得得得得到到基基础础解解系系为为14,1kk 所所以以属属于于特特征征值值 的的特特征征向向量量为为为为非非零零常常数数。460350.361A求求矩矩阵阵的的特特征征值值和和例例 特特征征向向量量3 3460( )350361AfEA 的的特特征征多多项项式式为为解解121,()EA x 当当时时 解解方方程程组组所以，所以，A的特征值为的特征值为1231,2 2

19、(1) (2)12201,001 得得基基础础解解系系121122121()kkkk 故故属属于于特特征征值值的的全全部部特特征征向向量量为为，不不全全为为零零32,( 2)EA x 当当时时 解解方方程程3333311.12(0)kk 得得基基础础解解系系故故属属于于特特征征值值的的全全部部特特征征向向量量为为按照同样的方法：按照同样的方法：735946524A0211323112113010100001Aii321, 110,10,001321ii特点：特点：1 是代数方程，复数内有个根，是代数方程，复数内有个根， 有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。有实有虚。实根对应实向量，虚根对

20、应复向量。0 AE(2) 的特征向量只属于一个特征值的特征向量只属于一个特征值 ，而而 属于属于 的的 特征向量却有无数更多个。特征向量却有无数更多个。AA 4: det 3EA0,2,det0,2.TAAAEAA 设设 阶阶方方阵阵 满满足足条条件件求求的的一一个个特特征征值值例例123233,31,1,2,5,;5.ABBAEAA 设设 是是 阶阶矩矩阵阵 它它的的 个个特特征征值值为为设设求求例例4 43 类似矩阵类似矩阵1,.9,ABnPBPAPBA 设设 与与 是是 阶阶方方阵阵 若若存存在在一一个个可可逆逆矩矩阵阵使使则则称称 与与 是是定定相相似似的的义义矩阵的类似有以下关系：矩

21、阵的类似有以下关系：1反身性；反身性；2对称性；对称性；3传送性。传送性。矩阵类似的性质：矩阵类似的性质：1).,det()det().ABAB 与与相相似似 则则 2). ,.mmABABm若若 与与 相相似似 则则与与相相似似为为正正整整数数 3). ,()().ABf Af Bm若若 与与 相相似似 则则与与相相似似为为正正整整数数4假设假设 与与 类似，那么类似，那么AB).()(BRAR1,ABPPAPB 因因 与与 相相似似 即即有有可可逆逆矩矩阵阵使使证证,.5,nABABAB若若 阶阶方方阵阵 与与 相相似似 则则 与与 的的特特征征多多项项式式相相同同 从从而而 与与定定的的

22、特特征征值值相相同同理理1EBEPAP 故故11()PE PPAP 1()PEA P 1PEA PEA 注：注：1定理定理5的的 条件必要但不充分。条件必要但不充分。2假设两个矩阵特征值不假设两个矩阵特征值不 一样时，那么其一定不类似。一样时，那么其一定不类似。3设设,1APPB0为他们的为他们的 某个特征值，某个特征值，为为 关于关于 的特征向量，的特征向量，XA0那么那么 为为 的的 关于关于 的特征向量的特征向量.0BXP11,.nAPPAPA 对对阶阶方方阵阵若若存存在在可可逆逆矩矩阵阵使使为为对对角角矩矩阵阵 则则称称方方阵阵可可对对角角化化以以1212(,),.nnnAdiagA

23、若若 阶阶方方阵阵 与与对对角角矩矩阵阵相相似似推推论论 即即是是 则则的的特特征征值值对对角角矩矩阵阵可可以以认认为为是是矩矩阵阵中中最最简简单单的的一一种种矩矩阵阵. .1,PPAP 若若可可逆逆矩矩阵阵 使使为为对对角角矩矩阵阵, 1PPAkk 则则.)()(1PPA ,21 knkkk,)()()()(21 n利用上述结论可以很方便地计算矩阵利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的的多项式多项式 .)( A 6.nAAn阶阶方方阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是有有 个个线线性性无无关关的的特特定定理理可可对对角角化化征征向向量量证明：证明：1,PPAP 必必要要性性. . 设设存存在

24、在可可逆逆阵阵使使为为对对角角阵阵 .,21npppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为把把 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp ,1 PAPAPP得得由由 nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于是有于是有1122nn= p , p , p ,.iiiiAPpApin 可可见见是是 的的特特征征值值 而而的的列列向向量量就就是是的的对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量，且且由由于于是是可可逆逆矩矩阵阵，可可知知, , = =1 1, ,2 2, , , 线线性性无无关关P P1,(1, )niiiAnppAppin 充充

25、分分性性. . 设设 有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，满满足足1(,),nPppP 令令则则 可可逆逆. . 1212(,),nnAPA pppAp ApAp 1122,nnppp 12nP 1212(,)nnppp 121nPAP 证毕。证毕。阐明阐明12111212,.nnnnAnpppPPAPPAPpppA 阶阶方方阵阵 如如果果有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量则则以以它它们们为为列列向向量量组组的的矩矩阵阵能能使使为为对对角角矩矩阵阵 且且此此对对角角矩矩阵阵的的主主对对角角线线上上的的元元素素依依次次是是与与对对应应的的 的的特特征征值值 假设假设 阶矩

26、阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，那么那么 与对角阵类似与对角阵类似推论推论nAAn 163053064A设设A能否对角化？假设能对角能否对角化？假设能对角1,.PPAP 化化 则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵使使为为对对角角阵阵例例1460( )350361AfEA 的的特特征征多多项项式式为为解解121,()EA x 当当时时 解解方方程程组组所以，所以，A的特征值为的特征值为1231,2 12201,001 得得基基础础解解系系2(1) (2)32,( 2)EA x 当当时时 解解方方程程311.1 得得基基础础解解系系123,. 所所以以线线性性无无关关 1232 01,

27、101011P 令令1100010.002P AP , ,则则有有所以所以 可对角化可对角化.A2 011011 0,011 由由于于留意留意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P00111100 xA问问 为何值时，矩阵为何值时，矩阵 能对角化？能对角化？xA例例) 1() 1(11) 1(01111022xAE1, 1321132有有2个线性无关的特征向量时，个线性无关的特征向量时，A矩阵矩阵 能对角化。能对角化。1)( AER10101

28、101xAE000100101x解解例例aA33242111bB00020002且且 与与 类似，求类似，求 的值。的值。BAba,由于由于 与与 类似，类似，AB所以它们有所以它们有 一样的一样的 特征值特征值2，2，b，babA2241465ba，解解把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在实际和运用上都有意义。简化，而且在实际和运用上都有意义。1. 由特征值、特征向量求矩阵由特征值、特征向量求矩阵例例2：知方阵：知方阵 的特征值是的特征值是A1230,1,3, 相应的特征向量是相应的特征向量是1231111 ,0,2 ,.111A

29、求求令令111102 ,111P 01,3 分析：分析：1AP P 110121011 1PAP 则则2. 求方阵的幂求方阵的幂例例4：设：设 求求45,23A 100.A1001001APP 1001001525( 1)013121102 解：解：定理实对称矩阵的特征值为实数定理实对称矩阵的特征值为实数. .4 实对称矩阵的对角化A()8nAkkREAnk 设设 是是 阶阶实实对对称称矩矩阵阵 的的 重重特特征征值值，则则的的属属于于特特征征值值 的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量个个数数恰恰为为 。即即：定定理理12121212 ,9,.Apppp 设设是是对对称称矩矩阵阵的的两两个

30、个特特征征值值是是对对应应的的特特征征向向量量 若若则则 与与理理正正交交定定证明证明,21222111 AppApp,AAAT 对对称称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT1 , 1,.0AnPPAP 设设 为为 阶阶对对称称矩矩阵阵 则则必必有有正正交交矩矩阵阵使使其其中中是是定定对对角角矩矩阵阵理理证明证明,21s 它们的重数分别为它们的重数分别为srrr,21).(21nrrrs 设设 的互不一样的特征值为的互不一样的特征值为A (1,2, ), ,.iiiisrr 对对应应特特征征值值恰恰有有个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量 把把它它们们正正交交化化并并单单位位化化 即即得得 个个单单位位正正交交的的特特征征向向量量,21知知由由nrrrs 又对应于不同特征值的特征向量正交，又对应于不同特征值的特征向量正交，1PAP .,11个特征值个特征值的的是是恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵nArrss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两