线性代数概念与定理

1、线性代数概念与定理MicRaphael第五章线性空间一、线性空间1、定义与定理(1 )线性空间的定义和性质定义1 |设F是一个数集如果F满足 1, 0 F;F对于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)运算封闭；则称F为一个数域定义设V是一个非空集合，F是一个数域，如果定义了如下两种运算，并且满足后面列举的八条性质，则称V是数域F上的一个线性空间：(1)加法运算,V,有+ V; ( V对加法运算封闭)(2)数乘运算V, kF,有k V; (V对数乘运算封闭)(3)八条运算性质,V, k, l F: + =+佼换律)(+ )+=+( +)(结合律)V,V, +=(叫零兀素，也记为0)V,V使+ =

2、0 (称为的负兀素，记为-)1 =(kl)=k(l) k( + )=k+ k(分配律)(k+l)=k+l(分配律)线性空间 V的简单性质V中零向量唯一，记为0.假若1,2都是V的零向量，那么由1是零向量，有2 +1 = 2.又因 2是零向量，有1+ 2 = 1，于是 1 = 1 + 2 = 2 + 1 = 2.V中每个向量的负向量唯一，记为-.如果，都是 的负向量，贝9=+=+ (+) = ( + ) + =+ =. 0=.由+0= 1 +0= (1+0)=1=, 两边同时加-,有 0=0+= 0+(+(-)=(0 + )+(- ) = +(-)=.(-1)=-.由 + (-1)= 1+ (-

3、1)= (1-1)= 0= 0,所以由 有(-1)=-. k =.由和定义 1(6)有 k = k(0 ) = (k0) = 0 =.若 ka = ，贝U k = 0 或 a =.若 k 0,贝U = (k-1 k) = k-1(k ) = k-1=.(2 )线性空间中元素间的线性关系定义3设1,2,，s是数域 F上的线性空间V中的s个向量,k1, k2,ks F,称k1什k2 2+ks s是 1, 2,，s的线性组合定理1数域F上的线性空间V中的s个向量 1, 2,，s (s 2)线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余的向量线性表出.定理21设数域F上的线性空间V中的s个向量 1,2,，

4、s线性无关，而 1,2,，s,线性相关,贝U 可由1, 2，s线性表出，且表示法唯一.定理3 |如果向量组 A可由向量组 B线性表示，而且s t,则A 一定线性相关.推论1设有两个向量组：A: 1, 2L , s;B:仃2L , t.若向量组 A线性无关，且可由向量组 B 线性表示，则s t.推论21等价的线性无关向量组个数相同.定理4设向量组1,2,，n线性无关，而1, 2,，n可由1,2,，n线性表出，且有2线性代数概念与定理MicRaphael1ai11a212Lan1n2印21a222Lan2n，贝1, 2,，n线性无关 |A|工0LLLLLLLLLLna1n1 a2n 2 Lannn

5、(3 )线性空间的维数、基和坐标定义可如果在线性空间V中存在n个线性无关的向量意n个线性无关的向量为线性空间V基的概念是坐标系概念的推广.是F的线性空间n,记 X = (X1, X2,的一组基，称,但任意n+1个向量都线性相关，则称任 n为线性空间 V的维数,记作dimV = n.定义5设1,X1 1 X2 2 称X是向量 定理5设1 , 2,2,LX在基是V中任一向量则可把向量n) = ( 1,定义6设1 ,2,CI1 1C21 22,n和C12 1 C22 2L L L L L LGn 19n 2nC是由基1, 2, 基变换公式由基LLLLcn1Cn2L LCnnn到1, 2,定理6设1

6、, 2,V的一组基，,Xn)T,1, 2, n下的坐标.V 的一组基，1, 2, n V,记 j Gjn)C,这里C是1, 2, n 是 n记 C =( Cij) n n,1, 2,n到1,1,2,写成1C2j 2n阶方阵(Cij)n n,贝U 维线性空间V的两组基,1,的过渡矩阵是 C,坐标变换公式如果向量将上式用矩阵形式表示成n的过渡矩阵。n的变换公式为:2,2,Ln)( 1, 2 丄n维线性空间是可逆矩阵.在两组基下的坐标分别是,若1, 2, n)X,n线性无关,n( 1,2,2,它们可以互相线性表出1,2, n) = (1,2,C可逆,假若n)C ,称C11)C21)MC12C22MC

7、n2V的两个基,C1nC2nMCnn由基1, 2, n到1,2, nX =(X1, X2,xn)T 和 Y = (y 1, y2,n)T,则2、题型(1) 判断一个集合是否构成线性空间。思路：先验证是否对加法和数乘封闭；再逐条验证8条性质。Tips : 10如果是线性空间则需要按以上思路逐一列出验证。2如果不是线性空间，只要找出不封闭或者不满足的性质即可。一般常见的有加法、数乘 不封闭、找不到零元素、找不到1元素等。38条性质简记为：加法交换结合零与负，数乘结合分配二和一。(2) 证明一组矩阵、多项式线性无关思路：根据线性无关定义列出表达式，再由条件证明k1=k2=kn=O。Tips : 1常

8、常用此待定系数法作，将问题转化为齐次线性方程组解的问题，只要得到的系数行列 式|A|M ，即可证明只有零解，从而线性无关。2涉及两组基，或者已知一组基显然线性无关时，注意利用定理4证明另一组基线性无关(特别是对小于n的多项式空间)或者证明可以互相线性表出。(3) 求一组基和维数思路：写出一组最简单的基(一般是自然基)，然后证明这组向量是一组基。(4) 求两组基的过渡矩阵、坐标变换公式思路：求过渡矩阵：用定义法，将新基用旧基线性表出，再由系数得到过渡矩阵；也可由(1, 2,L n) ( 1, 2,L n)C 反解出 C ( 1, 2丄 n)( 1, 2丄 n) 1求坐标变换公式其实就是将C-1X

9、算出来，分别得到等式。(5 )求新基下 的坐标 思路一：用待定系数法和恒等式直接解出坐标。2思路二：先求过渡矩阵，再求出其逆矩阵，用坐标变换公式Y = C-1X将旧基坐标转换为新基坐标。线性代数概念与定理MicRaphaelY = C-1X,或X = CY称为坐标变换公式、线性子空间1、定义与定理(1) 线性子空间定义1设V是F上的线性空间,W为V的非空子集,如果W对于V和F上的“+”，“仍为线 性空间，则称 W是V的子空间.0和V称为平凡子空间.定义2 |齐次线性方程组 AX = 0的全体解向量构成Rn的一个子空间,记为N(A),称为AX = 0的解空间或化零空间。定理1 |设 W是线性空间

10、 V的非空子集，那么 W是V的子空间的充要条件是W对V中定义的加法和数乘运算封闭定理2设W1, W2是线性空间 V的两个子空间,贝UW1,W2的交W1W2 = |W1且W2是V的一个子空间.定义3设W1,W2是线性空间V的两个子空间,则W1+W2 = =1+2,1W1,2W2称为W1与W2的和定理3线性空间 V的两个子空间 W1与 W2的和 W1+W2是V的一个子空间.定理 4 设 W1, W2 为 V 的两个子空间，贝U dimW1+dimW2 = dim( W1+W2)+dim( W1 QW2).定义4 |设1丄，m属于数域F上的线性空间 V,则子集L 1,Lki i kii 1F,i1,

11、2,L ,m是V的一个子空间称为由勺丄m生成的子空间25定理5定理6定理7定义5定理8向量组和其极大线性无关组生成的子空间是相同的。辛论(3) V中任意元素表示成W1与(4) dim V = dim W1 +dim W2 .没W1, W2为V的两个子空间W2中元素和的方法唯一.,V = W1+W2,的一组基，则V W1 W2 定义7 |设W1是V的一个子空间，1, s扩充为向量组 1 ,1, L ,以把 1,s,s+1,L , s为W1的一组基,而t为V的一组基.的一组基，1 , s+t为V的一组基，则可,即为V的一组基，1,2,，t为W2s+t.记W L( S1 丄， s t)，则 V !,

12、L , n是V的一组基51丄C11C12LC1 sC21C22LC2ss)(1,L , n) 一MMMCn1Cn 2LCns定理10设s(1，L ,2,s,1,W,s，1，L ，是W1s+t的极大线性无关组W2, W?称为W1的补空间.V,设1,L ,n)Cn Cij i,1 j s 即i 1则1, 2, s线性无关向量组1, 2, s生成的子空间维数等于它的秩。两个向量组生成子空间相同的充分必要条件是这两个向量组等价。设A M m,n(F ),由A的n个列向量生成的子空间称为A的列空间，记为R(A).设A为mxn矩阵，B为n冶矩阵，则有 R(AB) R(A); N(AB) N(A)(2) 子

13、空间的直和定义6|设W1和W2是v的子空间，如果W1 nW2= 0,则称 W1+W2为W1与W2的直和，记为w1 w2.定理9设 W1, W 为V的两个子空间，V = W1+W2,则下面的四个命题等价：(1) W1 W2 = 0,(2) 0表示成 W1与W2中元素和的方法唯一C的s列线性无关圭论设i丄，n是V的一组基，i,L, sV,设. JnCiji,i Ji is.即Gi G2LG sC2IC22(I，L , s)( i，L , n)“LQs(I，L , n)C 则 i,L,s与矩阵 C的列向量组的任M MMCniCn 2LGs何对应部分组有相同的线性相关性(线性关系)，且r(C) r(i

14、,L , s).定理11设Wi是n维线性空间V的一个非零子空间，则 V中必存在 W2使得w W2 = V。(3 )线性空间的同构定义8设Vi与V2是数域F上的两个线性空间，如果存在从 Vi到V2的一个双射满足：1) ,Vi,有()()()，2)Vi, k F,有(k ) k (),则称 是同构映射，称Vi与V2是同构的.性质(i) (0)(0 )0 ( ) 0 ；()(i) ) ( i)()()i, 2,L , nV,ki,k2,L ,knF,有(kii k2 2 L knn)匕(i) k?( 2)L kn( n)设 i, n是Vi中向量，则V2中向量 (i),( n)线性相关(无关)i, n

15、线性相关(无关)若i, , n是Vi的一组基，则 (i), , ( n)是V2的一组基(5) 同构映射的逆映射以及两个同构映射的复合映射均为同构映射定理诙是n维线性空间，则其必同构于数域F上的n维向量空间Fn 。推论F上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件为它们的维数相同。题外话二证明一个关系是等价关系，需要证明三点：自反性、对称性和传递性。2、题型|( I)判断一个集合能否构成子空间思路：只要验证一下该集合是否对加法和数乘封闭即可。|( 2)求 Wi, W2以及子空间的 Wi W2和 Wi+W2的基和维数思路：I0找出WiW2的一组基，则 Wi=L ( 1,l , n)，即可得到 WiW2

16、和其维数；20将WiW2的基作为列向量排成一个矩阵，化为阶梯矩阵，然后找出线性无关的向量组， 即为Wi+W2的一组基，其维数即为 Wi+W2的维数；3由维数公式得到dim Wi W2。然后取 W W2，禾U用 既在Wi中又在 W2中列出方程 求解出基础解系，带回其中一个方程组即为Wi W2的一组基。(3) V Wi W2的证明思路：这个问题很复杂，变化也很多，但是一般的，常常要借助的手段有： 维数公式、V Wi W2的3个等价命题、集合的相互包含关系。 例如3题，其思路为：I0找出Wi+W2的一组基和维数；20由于WiW2都是V的子集，故 Wi+W2也是V的子集，从而为其子空间；30取其一组基

17、，则为 V的基，由同一向量组的生成子空间相等，得到V= Wi+W2；4由维数公式推出 Wi W2 = 0，从而得证。三、欧几里得空间I、定义与定理(I) 内积都有唯一的一个实数 ()定义1设V是一个实线性空间，如果对 V中任意的两个向量 与之对应，且满足以下性质 ，V,(,)=(,)；，V, (, + ) = ( , )+ (,);,V, kR, (k , ) = k(,); V, ( , )0,且(，)=0= 0,则称()是向量 与 的内积，定义了内积的实线性空间V称为欧几里德空间定义2 |由于()0,在欧几里德空间中向量的长度II定义为一7在欧氏空间V中，任意两个向量和， 与 的夹角 定义

18、为cos (，)0设帀，定理1任意正交向量组推论在n维欧氏空间,2, , s线性无关V中线性无关的向量至多只有n个，因而V中两两正交的非零向量组含向量数不会超过n.()=0,则称 与 正交(垂直),记作定义3设1,2, n是n维欧氏空间V中一组基：(1, 1)(1， 2)K(1， n )则度量矩阵为G=(2 , 1)(2 , 2)K(2, n)若1,2, n=X+ X2 2Xn nMMOM(n，1)(n，2)K(n，n )X(X1,X2,L Xn)T1,2,nY=y+y2 2yn n，Y (y1, y2,L yT则(,)xTgy柯西-斯瓦兹不等式设V为欧几里得空间，(2)标准正交基定义4 |在

19、n维欧氏空间 VV，有(，)等号成立的充要条件是与线性相关。组成的正交基称为中由n个两两正交的非零向量构成的向量组称为正交基，由单位向量标准正交基.定理2设1,2,维欧氏空间V中一组标准正交基：则有定理3 n1,1,2,2,+ X2+y2维欧氏空间1,n = Xn Y = ynnXi i,j 1V中任意(2, 1).)1丄，1)1yj j)2、Xnynn, nXi yixTy.个线性无关的向量(n单位化1,(n,1)(inn1(1, 1)可得标准正交向量组n1,n,2)2, 2),2,n,可用施密特正交化方法，其中(n，n 1) 再通过把n 1.(n 1, n 1)施密特正交化(1)把n,1)

20、 (1, 1)(n,转化成一个正交向量组(n,2)1 ( 2, 2)(n , n 1 )n 1 (n1, n 1)单位化可得标准正交向量组n,2,(3 )正交矩阵 义5设Q是理4正交矩阵n阶实矩阵，QTq = I,则称Q是正交矩阵.Q具有下列性质：(2) |Q| = +1 或.(3) Q的逆矩阵Q-1 = Qt还是正交矩阵.(4) 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.定理5 |对任意n阶可逆实矩阵 A,存在一个n阶正交矩阵 Q及一个n阶主对角元素为正数的上 三角阵R,使A = QR,称为矩阵A的QR分解这种分解是唯一的可逆矩阵的QR分解(根据施密特正交化过程)Q11(!， 2,L ， n) ； RLO

21、1nMrnn11 2On11*O11其中(1, 2 丄，n)( 1,2，L，n)1O1定义6设V是欧几里得空间，W是V的子空间，则称WV |W为W在V中的正交补 W丄恰好由所有与 W正交的向量组成定理5 设 W 是欧几里得空间 V的子空间，则V W W2、题型|( 1)验证给定的运算是否满足内积定义(判断一个线性空间是否为欧几里得空间)思路：逐条验证是否满足内积的四条性质。特别注意正定性中(，)=0=0的验证!(2) 将一组基化为标准正交基以及对可逆矩阵实施(见上)(3) 求已知齐次线性方程组解空间的标准正交基以及其正交补的标准正交基思路：注意正交补的一组基即为系数矩阵的行向量。|( 4)求某

22、向量在一子空间上的投影思路：10求出子空间的标准正交基；20用公式=(,1)1( , 2)2 L ( , n) n求出投影。本章小结与习题结论：1 (P187.7 (2)结论或背景：(1) 与任意n阶方阵可交换的矩阵是纯量矩阵A=kl ;(2) 与n阶对角阵A diag (a1,a2丄an)可交换的矩阵只能是对角阵；与准对角阵Adiag(a1ln1，a2ln2，L aslns)可交换的矩阵只能是准对角矩阵;111a2(3 )与 111可交换的矩阵是a3aza1;MOOOMOOO1L11 1anLa3a2 a11 11L1aa2a3LanOOOMaOOM与111可交换的矩阵是a1a2a3。(数学

23、归纳法)11Oa21q2( P188.13 )设Wi、W2是线性空间V的两个非凡子空间，则 使得Wi且W2。3(P188.14)若 W 为 V 的子空间，且 dimW=dimV，贝U W=V。4 (P188.17)每个n维线性空间都可以表示为n个一维线性空间的直和。5 (P189.25) n阶主对角元素为正数的上三角正交矩阵为单位矩阵。(P189.30)正交矩阵的伴随矩阵 A*也是正交阵。第六章线性变换一、线性变换与矩阵1、定义与定理(1 )线性变换的定义与运算V,对任意常数k都有( 称()为向量在线性变换定义1设:V V是线性空间V到自身的一个映射(变换),如果保持加法及数乘运算，即对任意，

24、 + ) =()+(), (k ) = k (),则称是线性空间V的一个线性变换，下的象用L(V)来表示线性空间 V的全部线性变换所作成的集合。一些特殊的线性变换:V V,定义为()=c其中c是一个固定常数，通常叫数乘变换或位似变换 c = 0,叫零变换，记作0, 即卩0( ) = 0 c = 1,叫恒等变换，记作，即()=cossinsin为把平面上的向量绕坐标原点反时针旋转的变换，称旋转变换cos:R3 R3,设ab,称为投影变换.0设：R2R2,称为境面反射变换5线性变换的简单性质设 是线性空间V上的线性变换(1) (0)(2)(-)(3)k1 1+k2()， V; 2+ +kn n若，

25、若(1),k1n线性相关，则n线性无关k2 21), 2 ,则 ，kn nn线性相关(逆命题和否命题不成立)n线性无关定理1设是n维线性空间V的一个线性变换n是V的一组基，则可逆的充要条件是 1 ,2 , ,n)也是V中的一组基。(2 )线性变换的矩阵定义2 |设f和g均为A到B的映射，若A中任意元素在f和g下的象均相等，则称f和g相等，记为 f = g.引理1设 是n维线性空间V的一个线性变换, n是V的一组基，则V中任一向量的象由基的象 1，2， n)所完全确定.定义3设线性变换在基 ，n下的象用这组基线性表示为：(1 )31113212L3n1n(2)a121a222Lan2nLLLLL

26、LLLLLLLLL(n)a1n 1 a2n 2 Lann n记 (,n) = ( 1 ,2,n), A = (aij)nn,可以表示为(，n)=(,n)An阶矩阵A叫做线性变换在基，n下的矩阵.其中A的第j列就是基向量j的象(j)在这组基下的坐标.定理2役线性变换在基,n下的矩阵是A,即()-(,n)A,设向量,()在这组基下的坐标分别是X = (X , Xxn)T； Y - (y , yyn)T,则 Y - AX引理2设 1,2, n 是 r维线性空间V的一组基，对任意给定的n个向量1 , 2, n,都存在线性变换,使得 i = i (i = 1,2, n .定理3 |设,n,是n维线性空间

27、V的一组基，A = ( aj)是任一 n阶矩阵，则有唯一的线性变换满足(，n) = ( ,n)A.定理4 |设V是数域F上的线性空间，则上述映射 是同构映射.(线性变换的集合与 n阶矩阵的集合之间有着对应的关系)定义4设有两个映射f : A B， a a b; g： B C，ba c定义f和g的复合映射 为 g o f : A C，a a c.引理 3 设 f:A B,g:B C,h :CD 均为映射，则 ho(gof) (hog)of定义51设A是一个集合，A上的映射id : A A, id (a) = a是A到A的一个双射，称为A上的恒同映射， 亦记为Ia .定义6 |设f是集合A到B的一

28、个映射，如果存在集合B到A的一个映射g,使gf = Ia和fg =Ib同时 成立则称f是可逆映射(简称f可逆),并称g为f的逆映射.引理41设f是集合A到B的一个映射，如果映射f是可逆的，则其逆映射是唯一的(故可记为f Lg). 引理5A到B的映射f为双射的充要条件为 f可逆.定理 5线性变换的乘积(即复合映射)对应于矩阵的乘积.推论1 (1)线性变换乘法一般不满足交换律.(2) 非零线性变换的乘积可以是零变换(3) 线性变换的乘法一般不满足消去律推论彳L(V)可逆 对应的矩阵可逆.2、题型(1) 判断一个变换是不是线性变换思路：只需判断改变换是否对加法和数乘封闭即可。(2) 已知一组基和另一

29、组向量组，求基到另一组的线性变换(参考P432)思路：10 任取 V 中一兀素=(X1,X2, Xn)T，设C1 1 c2 2 L cs s ；2反解出Cl,C2,Cs；3对 做线性变换，并将解出的C带入即可得到线性变换。(3) 求一个线性变换的逆变换思路：求出 的矩阵的逆矩阵即得到-1的矩阵，也就得到了 的逆变换。(4) 求线性变换对应的矩 思路：将基带入线性变换后再用基表示，所得到的矩阵极为线性变换对应的矩阵。或者由(i) ki1 1 ki2 2 L kin n分别解出i (6*2丄 灯J，并由i排成矩阵(5) 已知一组基的矩阵，求另一组基的矩阵思路：求出第一组基到第二组基的过渡矩阵，由公

30、式B=P-1AP即可得到第二组基的矩阵。乙线性变换的核、值域与特征值1、定义与定理(1) 线性变换的核与值域的值域，记为Im定义1设 是V的线性变换,V中向量在的作用下全体象的集合称为=V = | V.dim Im称为线性变换的秩定理1m 是V的子空间.定理2 |设L(V), 1丄，n是V的一组基，A是在这组基下的矩阵，则(1) Im L( 1,L , n),(2)dimIm r(A).定义2 |设 是V的线性变换， 所有被 dim ker 称为 的零度.定理3 ker 是V的子空间.定理4 |设L(V), 1丄，n是V的一组基,(1) ker X N (A).映成零向量的向量的集合称为的核,

31、A是在这组基下的矩阵，则记为 ker(2)dimker dim N (A).定理5设 是V的线性变换，则dimV dimkerdimlm推论1 是单射 ker = 0 Im =V推论 2 dimV dim(lm ker ) dim(lm定义3设n维线性空间 V的线性变换在是满射是双射可逆ker )V 一组基下的矩阵是 幕等方阵，则是幂等变换，且 在V的某组基下的矩阵为r0(2)不变子空间定义4 |设 是V上的线性变换 则称W为 的不变子空间.Im 引理设W是 的不变子空间，上的限制，记为1 W .，W是V的子空间，如果对 W中任一向量 ，有 属于 W， 和ker 均为不变子空间则1 : W W

32、， a 是W上的线性变换，称为 在W定理6设 是V上的线性变换，W是V的子空间, 组基 1,L , k, k i,L , n,则i,L , k为W的一组基,扩充为V的一W是 的不变子空间的充分必要条件为 在V的基！丄，k, ki ,LAi0A2A3当(1)成立时，有W在1,L , k下的矩阵为A1,且A2下的矩阵为L( k1,L , n)也是不变子空间推论设 是V上的线性变换,则V可以分解为若干件为 在V的某组基下的矩阵为准对角阵(3)特征值和特征向量定义51设L(V),若存在数 及非零向量，使得 = 则称 是特征向量属于特征值的特征向量的任意非零线性组合仍是属于V的一个子空间 定义6 |设L

33、(V),其维数称为特征值不变子空间的直和的充分必要条的特征值，是的属于特征值的的特征向量，加上零向量就构成定义7设A为一个是的一个特征值， 的几何重数n阶方阵，则行列式征多项式。求给定矩阵的特征值相当于求则称V = V|fA( ) I Aa21Man1A的特征多项式的根为的属于特征值的特征子空间，a12an1a22Man2a2nM称为矩阵A的特,所以特征值也叫做特征根。特征向量的性质(1)属于同一特征值 0的特征向量的任意非零线性组合仍是属于0的特征向量属于不同特征值的特征向量的线性组合不再是的特征向量属于不同特征值的特征向量是线性无关的I1n特征多项式的基本性质设 A M n( )则有(1i

34、 1定义8 |设0是方阵A的特征值，称齐次线性方程组 征子空间，记作V特征子空间的性质0nn=an trA；(2) i |A|i 1i 1(oI-A)X = 0的解空间为A的属于特征值 o的特(1) 特征子空间必是的一个不变子空间；(2) V中任意一个一维不变子空间W，都是某一个 V o的一维子空间;(3) V的任意一个子空间也都是的不变子空间；(4) V中 的一维不变子空间和 Vo的一维子空间是对应的；Hi阶方阵A可逆 A的n个特征值全不为零。设A M n(F) , fA( ) I I A是A的特征多项式，则 fA( )=0.推论：设L(V) , f ()是 的特征多项式，那么f( ) 02

35、、题型(1) 求特征值和特征向量 思路：由定义即可简单得到。(2) 些证明矿思路：本部分的证明题常结合计算，综合性很强，需要从定义概念，定理以及一些常见结论入手。三、矩阵的相似、实对称矩阵的对角化1、定义与定理(1) 矩阵的相似定义1设A, B是两个n阶方阵,如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵B相似于矩 阵A,记作A B.定理1n为线性空间V上的一个线性变换在V的不同基下的矩阵是相似矩阵。相似矩阵的性质(1)自反性：AA;对称性：若AB,贝U BA;传递性：若 AB, BC,贝U AC.(2) 相似矩阵有相同特征多项式推论：相似矩阵具有相同的特征值、迹和行列式(3) 相似

36、矩阵有相同的可逆性，且如果A B,那么A-1 B-1如果A B,贝U Am Bm,其中m是正整数.(5) 若AB，设f(x)为一个一元多项式，则f(A)f(B)(6) 若 AiBi, i=1,2 ,s 则 diag(A 1,A2As)diag(B 1,B2Bs)(2 )矩阵的相似对角化条件定理2 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理3若A有n个两两不等的特征值，则A必可对角化。定理4 n阶矩阵A的ni重特征值所对应的线性无关的特征向量个数不超过m。注：将特征值 o的重数ni称为代数重数。即是说每个特征值的几何重数不超过其代数重数。定理 5 |n阶矩阵A可对角化的充要条

37、件是每个特征值的代数重数等于几何重数。 注：可分为两种情况(1) A只有n个单特征根时。(2) n有重根时，只有当每一重根的几何重数和代数重数相等时，A才可对角化。(3) 实对称矩阵的相似对角化定理6定理7定理8设A是n阶实对称阵，则A的特征值都是实数.对任意的n阶实对称阵A,总存在正交矩阵 Q,使得Q s(1)求A的特征值，得到fA( ) I A (i)ni,其中 1对每个i,求线性方程组(il AX的基础解系,i = 1,2,s,得到“丄，in1,L ,s.(3) 对每组向量i1, i2 ,L，叫,进行施密特正交化，得到一个标准正交特征向量组AQ = Q TAQ= n阶实对称矩阵A属于相异

38、的特征值的特征向量必正交.实对称矩阵的相似对角化1 1 niT12 1 n2qtaq q1aqOsi ns2、题型|( 1)实对称阵正交对角化，求正交矩阵|思路：见上文。|( 2)求矩阵的高次幕乘 |思路：10将矩阵(一般为对称阵)相似对角化，求出可逆矩阵 P,对角阵 ；2由Am P 1 mP求出结果。|( 3)求行列式|思路：求出特征值易得。|( 4)判断矩阵是否相似|思路：只要将其化为对角阵后，看对角阵是否相同或相似，其实判断其特征值及其代数重数即可。(5) 由特征向量和特征值反求a|思路：特征向量组成 P,特征值按对应顺序组成，则由公式 A P 1 P易得。本章小结与习题结论：1( P4

39、50例10.16)设V为数域F上的n维线性空间，则由 V上线性变换组成的线性空间L(V)是n2维的，且其一组基为j( 1, 2,L n) (0,0, L i,L 0,0); i,j 1,2,L n。j2常见特殊矩阵的逆矩阵11111 L111 1（1） 111 1 ；（ 2）1M1 O.MMOO OO1O 111L1 n1 11n1a111 1a111 1 ai1ann（3）a221a22；（4）a22N；OON1a22ann1ann3nn1a11A1A11A11An1（5）OO；（ 6）NN；AnAn1AA/1a b（7）c d1db .ad bc ca3（ P226.10）若是线性空间V上

40、的线性变换，且k1k，则，丄 k 1 (k 0)线性无关。4（ P227.15）设2，是线性变换，且2,2，则有(1）ImIm,(2) ker ker,5 (P227.16)如果!, 2Ln是线性空间V中两两不同的线性变换，那么在 V中存在向量，使得! , 2 L n也两两不同。1| a |6( P228.23)若可逆矩阵 A属于 的特征向量是 x,贝U A-1属于一的特征向量为x, A*属于 的特征向量为X。7 (P228.29)若A可逆，则AB与BA相似。若A不可逆则不一定成立。8 (P228.30) diag( 1, 2,L n)与 diag (片，i2 丄 J 相似，其中 ij?丄 i

41、n 为 1,2,.n 的一个排列。diag(A,A2丄An)与diagfA?丄 代)相似，其中ht丄in为l,2,.n的一个排列。9 (P229.31)若方阵A只与自身相似，当且仅当 A=cI。10 (P230.34)不是方阵A的特征值的充要条件是I A可逆。nn211( P230.40) A (aj)nn的n个特征值为1, 2,L n，则有 i。1 i,j 1则必有AB=BA。12( P267.6.21)若存在一个可逆矩阵 P使得A、B同时化为对角矩阵,第七章 二次型与二次曲面一、二次型的标准型1、定义与定理(1)二次型的概念定义巾个变量X1, X2,Xn的二次齐次多项式函数Q(Xi ,X2

42、,L ,Xn )n najXiXj称为n元二次型,i 1 j 1Uji j其中 aj = aji, i, j = 1,2,”如果将(1)式中的二次型展开，a12a22Man 2定义2 一般地,Q(xX2 ,L ,Xn)ia11na21aij Xi Xj(X1，x2 ,L ,Xn)j 1Man1XT AX矩阵乘积形式写作Q(x1,x2,L ,xn)有aina2nMannX1X2 令X (X1,X2 ,L ,Xn)T,A (aj),则二次型可以MXnL，其中对称矩阵A称为二次型的矩阵定理1 n元二次型是n个变量X1, X2,Xn的二次齐次多项式函数，二个X1,X2,Xn的二次齐次多项式函数相等对n

43、个变量X1, X2, Xn的任意取值，这二次齐次多项式函数的值均相等 这两个二次型对应的矩阵相等即二次型与对称矩阵之间存在对应关系(2) 矩阵的合同定义31同一个向量函数 Q()在不同基下所对应的两个二次型XtAX和YtBY称为是等价的即二次型XtAX与二次型 YtBY等价后者可以由前者通过可逆线性替换X = PY得到定义4给定两个n阶方阵A和B,如果存在可逆方阵P,使得B = PtAP,则称B与A合同(相合)两个二次型等价它们的矩阵合同定理2 |任何实对称矩阵都一定能合同于一个对角型(3 )二次型的标准型定理3设Q( ) = X tAX是一个实二次型，其中AT = A,则存在正交线性替换X

44、= PY ,其中P是2 2 2正交阵，把Q()化成标准形：Q( )1丫12丫2 L nyn,其中1, 2,n是A的n个特征值正交替换法取变换为 X = PY,即可得到标准形：Q( ) XT AX (PY)TA(PY) YT(PTAP )YYTdiag( 1, 2,L , n)Y 川 27! L这种通过正交替换 X = PY把实二次型化为标准形的方法，称为正交替换法注：1)这里所作的变换矩阵P是个正交阵它是由实二次型的矩阵A的特征向量经过施密特正交化得到的.X = PY得到的Q( ) = XtAX的标准形中，平方项的系数恰是 A2) 经过这样的正交线性替换的特征值3) 对角阵中特征值的顺序和它们

45、对应的特征向量在P中的排列顺序一致定义6 I个二次型 Q( ) Q(X1,X2,L ,Xn) XTAX经可逆线性替换X = PY化简出的二次型T222Q( )Q(X1, X2L,Xn)丫 diag(d1,d2L ,dn)丫dyd2y2Ld. y.称为原二次型的 标准形配方法基本步骤1) 如果X1平方项的系数不为零，就将含X1的所有项集中起来，并进行配平方：2) 然后把后面剩下的不xi的项整理好，并令前面所配的平方项里面的一次齐次式为yi3) 在后面整理好的项里面，如果有平方项(不妨设为X2的平方项)的系数不等于零，可以继续上 面的过程 一直到最后令 yn = xn就完成了配方过程.4 )如果出

46、现平方项全为零的情况，可以进行转换，化为平方项不为零的情况，然后再继续利 用前面的配方法进行.定理4任何一个复(实)二次型都可通过可逆线性替换化成标准形.推论任何一个复(实)对称矩阵都与一个对角矩阵合同，即对任何对称矩阵A都存在可逆矩阵P，使得 PtAP = diag(d 1, d2,d).初等变换法利用初等变换与乘初等矩阵的关系，可以得到类似于矩阵就逆过程的一种求标准形的方法。将单位阵放在待变换矩阵下面，构成一个2n n矩阵：A-次初等行pTAP一次初等行I一次同的初等列P或a I一次同的初等列P ap P当通过一系列合同变换把a变为对角矩阵D = PtAP时，下面的单位矩阵I就变成了可逆2

47、、题型|( 1)求二次型的矩阵或根据矩阵写出二次型(2) 判断两个矩阵是否相合|思路：考虑两个方面：10 r是否相同；20正惯性系数是否相同。而一般采取将矩阵化为标准型或 求出其特征值来得到以上参数。(3) 配方法求标准型和可逆线性变换(见上文)(4) 初等变换法求标准型和可逆线性变换|思路：10写出二次型的矩阵 A ；20用A一次次初爲PAP对A进行初等变化，得到p和ptAp；3求出二次标准型。|( 5)正交线性替换求标准型和可逆线性变换思路：1写出二次型的矩阵 A ；2求出A的特征值，并求出各特征值1?2丄r对应的特征向量 1?2丄r，再对1?2,L r实行施密特正交化，得到1?2,Lr，

48、以其为列向量组成正交阵P,即可逆线性变换；3pTAP=diag( 1,2丄 J，从而求出二次标准型。矩阵P，即将原二次型化为标准形时可逆线性替换所需要的矩阵二、二次型的规范型和实二次型的正定性1、定义与定理(1 )二次型的规范型定义1形如z2 z2 L z2的二次型称为复系数二次型的规范形定理1任意一个复系数的二次型，总可经过一个适当的可逆线性替换化成规范形，规范形是唯一的推论任意一个复对称矩阵相合于Ir 0其中r是对称阵的秩 0 0 定义21形如z2z2Lz2zp1 Lz2的二次型称为实二次型的规范形.定理2 |任意一个实系数的二次型，总可以经过一个适当的可逆线性替换化成规范形，规范形是唯一

49、的1I推论任意实对称矩阵相合于对角阵p |或者说 A Mn(R),若AT=A,则存在一个可0逆矩阵 P Mn(R)使得 ptapdiag(lp, Ir p,0).定义3规范形z1z2Lzpzp1 Lz；中的参数r, p是唯一确定的.规范形中的p称为正惯性指数，r-p为负惯性指数；p-(r-p) = 2p-r为符号差(2)实二次型的正定性定义4设Q( ) = XTAX是实二次型，若对任何非零向量都有Q( ) 0,则称这个实二次型Q()为正定二次型.正定二次型的矩阵称为 正定矩阵.正定矩阵的性质(1)可逆线性替换不改变二次型的正定性.(2) 实对称阵 A正定(3) n元实二次型正定(4) 实对称阵A正定(5) 实对称阵 A正定A的特征值都大于0. 正惯性指数p = n.A与I相合.A = CTC,其中C可逆