弹性力学简明教程第三章

1、第三节第三节 位移分量的求出位移分量的求出第四节第四节 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载第五节第五节 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力例题例题教学参考资教学参考资料料第一节第一节 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答第二节第二节 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲习题的提示与答案习题的提示与答案第三章 平面问题的直角坐标解答1.当体力为常量，按应力函数 求解平面应力问题时， 应满足按 求解)(. 04aS)(. ,bflmfmlysxyyxsyxx 多连体中的位移单值条件。 (c) S = 上应力边界条件, A内相容方程第三章 平面问题的直角坐标解答 对于单连体，(c)

2、通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。 由 求应力的公式是,22xfyxx,22yfxyy.2yxxy(d)第三章 平面问题的直角坐标解答2 .逆解法 先满足(a),再满足(b)。 步骤:04 ;.)()(,sxyyysxyxxlmfmlf(e)逆解法; , ,xyyx 先找出满足 的解 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力， 代入(d), 求出第三章 平面问题的直角坐标解答 从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。 逆解法 逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第三章 平面问题的直角坐标解答例1 一次式 =ax+by+c,对应于无体力，无面力，无应力状态。故

3、应力函数中加减一次式，不影响应力。例2 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。22cybxyax逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第三章 平面问题的直角坐标解答例3逆解法 设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？)43(2223yhxyhFyxol h/2 h/2 ( l h)第三章 平面问题的直角坐标解答解：按逆解法。 1. 将 代入相容方程，可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。04 2. 由 求出应力分量,).41 (23, 0,1222222322hyhFyxxhFxyyxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答 3. 由边界形状和

4、应力分量反推边界上的面力。 在主要边界（大边界） 上， 2/hy, 0y0yx 。 2/hy 因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即0yxff第三章 平面问题的直角坐标解答在x = 0，l的次要边界（小边界）上，).41 (23)( ,12)( ),();41 (23)( , 0)( ),(02232200hyhFfyhFlfxlxhyhFffxxlxxyylxxxxxyyxxx面正面负第三章 平面问题的直角坐标解答 在x = 0,l 小边界上的面力 ,如下图(b) 所示，而其主矢量和主矩,如(c)所示。 由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x = 0处受集中力F作用的问题。yxf

5、f ,第三章 平面问题的直角坐标解答FFMFl(b)(c)xxy第三章 平面问题的直角坐标解答 代入 ，解出 ；3.半逆解法 步骤：04 半逆解法 由应力(d)式，推测 的函数形式； 假设应力的函数形式 （根据受力情况，边界条件等）；第三章 平面问题的直角坐标解答 由式（d），求出应力；半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。第三章 平面问题的直角坐标解答思考题半逆解法1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。第三章 平面问题的直角坐标解

6、答 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。 问题提出 h/2 h/2lyx ( l h)oMM第三章 平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 . 04 ,6ayx. 0 xyy3ay(a) 求解步骤：04 本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。ss 第三章 平面问题的直角坐标解答 检验应力边界条件，原则是: 边界条件 b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。 a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第三章 平面

7、问题的直角坐标解答主要边界 , 2/hy , 0)(2/ hyy)( . 0)(2/bhyxy 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。, 0)(, 0 lxxy满足。主要边界次要边界x=0,l,(c) 的边界条件无法精确满足。x第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界)(1d)(, 01d)(,02/2/2/2/,0dMyyylxhhxhhlxx。 用两个积分的条件代替 第三章 平面问题的直角坐标解答 当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出。3/2hMa最终得应力解,123yIMyhMx(e)hl lx, 0 x. 0

8、xyy第三章 平面问题的直角坐标解答 思考题 如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。第三章 平面问题的直角坐标解答 在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知, yIMx, 0 xyy试求解其位移。问题提出第三章 平面问题的直角坐标解答1. 由物理方程求形变,。0)1 (2,)(1,)(1xyxyxyyyxxEyEIMEyEIME求形变第三章 平面问题的直角坐标解答2. 代入几何方程

9、求位移,)( 0)( ,)( ,cyuxvbyEIMyvayEIMxuxyyx。求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 对式(a)两边乘 ,积分得 xd),(1yfxyEIMu 对式(b)两边乘 ，积分得 yd。)(222xfyEIMv求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 再代入(c) , 并分开变量，。)(d)(dd)(d12yyfxxfEIMx 上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第三章 平面问题的直角坐标解答由此解出.2)(,)(02201vxxEIMxfuyyf求位移。022022,vxxEIMyEIMvuyxyEIMu得出位移为3.待定的刚体位移分量

10、，00,vu, 须由边界约束条件来确定。第三章 平面问题的直角坐标解答 归纳：从应力求位移的步骤：vu,。 ,00vu3.由边界约束条件确定刚体位移分量2.代入几何方程，积分求 ；1.由物理方程求出形变；第三章 平面问题的直角坐标解答 纯弯曲问题的讨论：1. 弯应力 与材力相同。xxEIMyu2. 铅直线的转角 故在任一 截面x 处，平面截面假设成立。3.纵向纤维的曲率 (常曲率)， 同材力。故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。 EIMxv221第三章 平面问题的直角坐标解答思考题 1. 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材 料力学的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况

11、下 材料力学中的平截面假设成立？ 2. 试证明刚体位移 实际上表示弹 性体中原点的平移和转动分量，并应用 本节的解答加以验证。（提示：微分体 的转动分量 ）,00vu。yuxv21第三章 平面问题的直角坐标解答简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。12hlq。ql问题qqlqlyxoll h/2 h/2第三章 平面问题的直角坐标解答,)(21)( 2xlqxlqlMx);()()( 3212yfyxfyfxx 可假设),( xlqqlFsxy);()( 21yfyxfxy可假设, 常数qy。可假设)( yfy书中采用假设,半逆解法 按半逆解法求解。 假设应力分量。由材力,qFMysx. 常数

12、 qy第三章 平面问题的直角坐标解答 由应力分量推出应力函数的形式。由),(22yfxy对 x 积分，),()(1yfyxfx。)()()(2212yfyxfyfx对x再积分，(a)半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答 将 代入相容方程，求解 :. 0)d)(d2d)(d(d)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容方程对于任何 均应满足,故yx,012,xxx的系数均应等于0。由此得三个常微分方程,半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答.610,2345223123KyHyyByAfGyFyEyfDcyByAyf式(b)中已略去 的一次式。将式(b)代入式(a

13、)，即得 。(b)半逆解法从而解出:第三章 平面问题的直角坐标解答 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴， 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 。 由 求应力。yyx ,xxy0GFE,半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。第三章 平面问题的直角坐标解答 考察边界条件。.0)( ,)( ,0)(2/2/2/hyxyhyyhyyq由此解出系数A , B , C , D 。 主要边界, 2/ hy 主要边界第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界 x=l 上,。qldyydydyhhlxxylxhhxlxhhx1)(, 01)(, 01)(2/2/2/2/2/2/次

14、要边界由此解出H，K.另一次要边界(x= - l ) 的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件:第三章 平面问题的直角坐标解答 最后应力解答为：)534()(622223hyhyqyxlhqx),534(22hyhyqyIM应力,)4(6223bISFyhxhqSxy.)21)(1 (22hyhyqy第三章 平面问题的直角坐标解答 关于应力的量级:当 时, x l 同阶，y h 同阶.hl x 第一项 同阶,（与材力解同）;2)(hlq第二项 同阶,（弹力的修正项）.qxy)(hlq同阶,（与材力解同）.应力的量级yq同阶, （材力中不计）.第三章 平面问题的直角坐标解答当 时, 量

15、级的值很小,可以不计。 应力与材力解比较:最主要量级 ,和次要量级 , 在材力 中均已反映,且与弹力相同。2)(hlqhlq最小量级 , 在材力中没有:q当 时, 仅占主项 的1/15 ( 6 %) ,hl yIMhlq应力比较第三章 平面问题的直角坐标解答 弹力与材力的解法比较:应力比较 弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。 材力在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第三章 平面问题的直角坐标解答几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布；bxhdxu,yy例如：在材力中

16、边界条件也没有严格考虑；材力解往往不满足相容条件。平衡条件中，略去 作用，没有考虑微分体的平衡，只考虑 的内力平衡；第三章 平面问题的直角坐标解答 对于杆件，材力解法及解答具有足够的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求解，应采用弹力解法求解。第三章 平面问题的直角坐标解答思考题1. 当问题中的y轴为对称轴时，试说明 和 应为x 的偶函数，而 应为x的奇函数。2. 对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的？vyx,uxy,第三章 平面问题的直角坐标解答 3. 试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。 4. 材料力学的解答往往不满足相容条件， 为什么？第三章 平面

17、问题的直角坐标解答 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力, 0 xf.1gfyoyxn2g1g2问题第三章 平面问题的直角坐标解答 用半逆解法求解。 应力 , 而应力的量纲只比高一次（L），应力 (x , y 一次式）,即可假设应力为x , y 的一次式。gg,21 gg,21 gg,21 （1）用量纲分析法假设应力:第三章 平面问题的直角坐标解答（2）由应力 关系式， 应为x,y的三次式，（3） 满足相容方程. 04 （4）由 求应力，,6222dycxxfyxx,26122gybyaxyfxyy.222cybxyxxy.3223dycxyybxax第三章 平面问题

18、的直角坐标解答（5）考察边界条件本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件:x=0 铅直面，,)(20gyxx, 0)(0 xxy解出;62gd. 0c)(a解出第三章 平面问题的直角坐标解答tanyx 斜边界上，, 0)(tanyxyxxml. 0)(tanyxxyylm)(b须按一般的应力边界条件来表示，有第三章 平面问题的直角坐标解答其中,cos),cos(xnl.sin),cos(ynm由式（b)解出a、b,最后得应力解答,)( .cot,)cot( )cotcot(,223212212cgxyggxg2ggyxyyx应力第三章 平面问题的直角坐标解答水平截面上的应力分布如图所示。x

19、yyx第三章 平面问题的直角坐标解答 楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第三章 平面问题的直角坐标解答思考题 重力法是按应力求解的，试回忆应力分量 必须满足哪些条件？在重力法中考虑了哪些条件？（参考本章教学参考资料）xyyx , ,第三章 平面问题的直角坐标解答 1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5第三章 平面问题的直角坐标解答例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 如图，试用应力函数 求

20、解应力分量。hl 332DxyCyByAxy第三章 平面问题的直角坐标解答332DxyCyByAxy图3-5xxyMsFNFydyyxl h/2 h/2o) 1,(hl第三章 平面问题的直角坐标解答解： 本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1. 将 代入相容方程，显然是满足的。2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量，。)3( , 0,6622DyADxyCyBxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答3. 考察边界条件： 主要边界 上应精确满足：2/hy )( . 043 , 0)( , 0)(22/2/aDhAhyxyhyy得满足；第三章 平面问题的直角坐标解答 在次

21、要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图中表示了负x面上的 的正方向，由此得：xyx 和第三章 平面问题的直角坐标解答)( . 41 ,d) (;2 ,d) (;2 ,d) (302/2/302/2/02/2/bFDhAhFyhMCMyyhFBFyssxxYhhxxhhNNxxhh得得得第三章 平面问题的直角坐标解答由(a),(b) 解出 . 2 ,23 3hFDhFAss 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。第三章 平面问题的直角坐标解答代入应力公式，得

22、).41 (23 0, ,1212 2233hyhFxyhFyhMhFsxyysNx第三章 平面问题的直角坐标解答例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,如图,水的密度为 ，试求应力分量。12yox2b2bg1g2第三章 平面问题的直角坐标解答解：用半逆解法求解。1. 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2边界上， ，所以可假设在区内 沿x 向也应是一次式变化，即 ; 0ygxy2y。)(yxfy第三章 平面问题的直角坐标解答2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式，).()()(6 , )()(2 ),( 2131222yfyxfyfxyfy fxxyxfxy则y第三

23、章 平面问题的直角坐标解答 3. 由相容方程求应力函数。代入 得, 04 . 0dd2dddddd622424414443yfxyfyfxyfx要使上式在任意的x处都成立，必须 第三章 平面问题的直角坐标解答. ,0dd;610 , 0dd2dd; , 0dd23242423451224142344FyEyf yfIyHyGyyByAfyfyfDCyByAyfyf得得得 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。第三章 平面问题的直角坐标解答 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意体力 ，求得应力分量为0 ,1yxfgf,)26 ()2622( )3(

24、123322gxFEyHGyByAyxBAyxxfyxx第三章 平面问题的直角坐标解答).23322( )23(2 ),( 2342222322IHyGyyByACByAyxyxDCyByAyxyfxxyyy第三章 平面问题的直角坐标解答5. 考察边界条件： 主要边界 上,有2/by. 0)431232( ) 43( 2 , 0) ()(; 0)248( , 0) ()( ;)248( ,) (234222/232/22322/IHbbGbBbACBbbAxbDbCbBbAxagxDbCbBbAxgxbyxybyybyy得得得第三章 平面问题的直角坐标解答 由上式得到),( 0431232),

25、( 0 432342feIHbbGbBbAdcCBbbA第三章 平面问题的直角坐标解答求解各系数，由 0C43 )()( , 21 0, )()( , 2128 )()( ,21 4 )()(222322。得得得得bAdcgDBdcgbCbAbagDbBba第三章 平面问题的直角坐标解答由此得 23 ,2223。gbCgbA又有. 04332 )()(0 )()(24IbGbAfeHfe得，得代入A,得)( . 431622gGbgbI第三章 平面问题的直角坐标解答 在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：)( . 480 , 0d) (; 0 , 0d) (; 0 , 0d)

26、(2202 /2 /02 /2 /02 /2 /hGbgbIyEyyFyxxybbxxbbxxbb得得得由式(g),(h)解出 . 101 ,8022gbGgbI第三章 平面问题的直角坐标解答代入应力分量的表达式，得最后的应力解答：。)80103()433( );21322( ,4532 332322233213322332ybbybygybbygxbybygxgxxybgxybgyxbgxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答例题3已知, )();()( )(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya试问它们能否作为平面问题的应力函数？第三章 平面问题的直角坐标解

27、答解：作为应力函数，必须首先满足相容程，. 04 将 代入，(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；(b) 必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。第三章 平面问题的直角坐标解答例题4 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F 和力矩 的作用，试用应力函数 求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。2FbM ,23BxAx第三章 平面问题的直角坐标解答bbAyxhOFFb/2) 1,(bh第三章 平面问题的直角坐标解答解： 应用应力函数求解：(1) 校核 相容方程 ，满足.04 (2) 求应力分量 ，在无体力时，得. 0 ,26xyxyBAx(3) 考察主要边界条件

28、，均已满足。 , 0 , 0 , xyxbx第三章 平面问题的直角坐标解答考察次要边界条件，在y=0上，。得得满足；20008 ,2d)(;2 ,d)( , 0)(bFAFbxxbFBFxbbyybbyyyxy第三章 平面问题的直角坐标解答 上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。04 代入，得应力的解答，.0 ),231 (2xyxybxbF第三章 平面问题的直角坐标解答(4) 求应变分量，。0 ),231 (2),231 (2xyyxbxEbFbxEbF第三章 平面问题的直角坐标解答(5) 求位移分量，).()23(2 ),231 (2 );()43(2 ),231 (221

29、2xfbxyyEbFvybxEbFyvyfbxxEbFuxbxEbFxuyx积分得对由积分得对由第三章 平面问题的直角坐标解答将u,v代入几何方程的第三式，。0 xyyuxv两边分离变量，并令都等于常数，即。yEbFyyfxxf21243d)(dd)(d第三章 平面问题的直角坐标解答从上式分别积分，求出,)(02vxxf。022183)(uyyEbFyf代入 u,v, 得.)23(2,83)43(200222vxbxyyEbFvuyyEbFbxxEbFu第三章 平面问题的直角坐标解答再由刚体约束条件，。得；得；得hEbFvvhEbFuuhEbFyuhyxhyxhyx2 ,0)(83 ,0)(4

30、3 ,0)(0,0220,02,0第三章 平面问题的直角坐标解答。，)231)(2)(83)43(2222bxyhEbFvyhEbFbxxEbFu代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，。EbFhvyx2)(0第三章 平面问题的直角坐标解答例题5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数, 333533FxyExDxyyCxBxyyAx求解应力分量。第三章 平面问题的直角坐标解答yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应用上述应力函数求解：(1) 将 代入相容方程，。得B35ABA , 012072 , 04由此

31、，。FxyExDxyyCxBxyyBx33353335第三章 平面问题的直角坐标解答(2) 代入应力公式，在无体力下，得。，)33515(66106201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx(3) 考察主要边界条件),2/(hy得 , 0 , 2/xyhy。0)43165()4153(2422FDhBhBhCx第三章 平面问题的直角坐标解答对于任意的x值，上式均满足，由此得, 041532BhC。04316524FDhBh(a)(b), 0)6345( , 0 , 2/3EChBhxhyy.)6345(, 2/3lxqEChBhxlxqhyy(c)(

32、d)第三章 平面问题的直角坐标解答由(c)+(d)得。lqE12由(c)-(d)得。lhqCBh23452由(e)-(a)得(e)。lhqClhqB4 ,53第三章 平面问题的直角坐标解答(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由,6d)(02/2/qlyxhhxy得)(.641635fqlFhhDhB由式(b)和(f)解出).480(),1013(3hllhqFlhhlqD第三章 平面问题的直角坐标解答另两个积分的边界条件，, 0d)(, 0d)(02/2/02/2/yyyxhhxxhhx显然是满足的。第三章 平面问题的直角坐标解答 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。)203)

33、(41 (4),431 (2),1032(22222332222222lhylhlhxhlhyqhyhylxqhyhxllhxyqxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答 读者试校核在 x=l 的小边界上，下列条件是满足的，.3d)(, 0d)( 0d)(2/2/2/2/2/2/qlyyyylxhhxylxhhxlxhhx，第三章 平面问题的直角坐标解答例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。F2332DyCxyBxyAyMF245qqhyxo b/2 b/2 ) 1,(bh第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应用上述应力函数求解：(1) 代入

34、相容方程，满足。 , 04 (2) 求应力分量，在无体力下，。)3(, 0,662CyBDyCxyAxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答(3)考察边界条件，在主要边界),2/(by)(.43 , , 0 , 2/2aqCbBqbyxyy满足；. ,)3( d)(b/2b/2-202 /2 /bFAFDyAyFyxhhx得，在小边界x= 0,第三章 平面问题的直角坐标解答)(41)( d)(;2,)22( ,d)(2b/2b/2-302/2/3b/2b/2-3202/2/bbFCbBFCyByFybMDMDyyAMyyxhhxyxhhx。，得，得第三章 平面问题的直角坐标解答再由(a),(b)

35、式解出).3(21 ),(22bFqBbFqbC代入，得应力解答，。2232)(6)3(21, 0,12)(12ybFqbbFqybMxybFqbbFxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答例题7 试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。,)arctan(222xyxyyxq0 x第三章 平面问题的直角坐标解答xoy第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应校核相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。 本题得出的应力解答是。2222222),(arctan),(arctanyxyqyxxyxyqyxxyxyqxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答例题8

36、 试用应力函数 求解图中所示的半平面体在 的边界上受均布切力q的问题。,arctan)ln(212222yxyxyyxyq0 x第三章 平面问题的直角坐标解答xoqy第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应校核相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是。)(arctan,),2(2222222222yxxyxyqyxyqyxyyxlnqxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答3-1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力 从而得出这个应力函数所能解决的问题。,yxff第三章

37、 平面问题的直角坐标解答3-2 用逆解法求解。由于本题中 lh, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。3-3 见3-1例题。第三章 平面问题的直角坐标解答3-4 本题也属于逆解法的问题。首先校核 是否满足相容方程。再由 求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是：主要边界：,0)(,0)(2/2/hyyhyyx所以在 边界上无剪切面力作用。2/hy下边界无法向面力；第三章 平面问题的直角坐标解答上边界有向下的法向面力q。,)(2/qhyy次要边界：,0)(0 xxyx=0面上无剪切面力作用；),534()(220hyh

38、yqxx但其主矢量和主矩在 x=0 面上均为零。因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。第三章 平面问题的直角坐标解答3-5 按半逆解法步骤求解。（1）可假设（2）可推出（3）代入相容方程可解出f、 ，得到（4）由 求应力。（5）主要边界x=0,b上的条件为。)()(1xfxyf。0 x。)()(2323FxExCxBxAxy。qbxxyxxybxx)( , 0)( , 0)(0, 01f第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为。0)(, 0)(, 0)(000000dxxdxdxybyxybyyby读者也可以按 或 的假设进行计算。xyy第三章

39、平面问题的直角坐标解答3-6 本题已给出了应力函数 ，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在 各有两个应精确满足的边界条件，即2/bx .)( , 0)(22qbxxybxx第三章 平面问题的直角坐标解答而在次要边界 y=0 上， 已满足，而 的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0，使本题无解），可用积分条件代替：0)(0yy0)(0yyx.0)(022ybbyx第三章 平面问题的直角坐标解答3-7 见例题2。3-8 同样，在 的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。3-9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。3-10 应力函数 中的多项式超过四次幂时，为满足

40、相容方程，系数之间必须满足一定的条件。tany第三章 平面问题的直角坐标解答3-11 见例题3。3-12 见圣维南原理。3-13 m个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15)所示。n个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。3-14 见教科书。3-15 严格地说，不成立。第三章 平面问题的直角坐标解答 （一）本章学习重点及要求 本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数 作为基本未知数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时，应重点掌握：第三章 教学参考资料第三章 平面问题的直角坐标解答1. 按应力函数 求 解时， 必须满足的条件。2. 逆解法和半逆解

41、法。3. 由应力求位移的方法。4. 从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力学和材料力学解法的异同。 在早期应用逆解法和半逆解法，曾经得出许多平面问题的解答。但是对于有复杂荷载和边界条件的工程实际问题，是第三章 平面问题的直角坐标解答难以用这些方法找出函数式解答的。我们可以采用弹性力学的近似解法来求解工程实际问题。因此，我们不要求读者去求解新的问题的解答，而是要求读者了解弹性力学问题是如何求解的，如何满足有关的方程和边界条件的。从而使读者能阅读和理解弹性力学已有的解答，并应用到工程实践中去。第三章 平面问题的直角坐标解答 （二）本章内容提要1. 按应力函数 求解时， 必须满足： (1) 区域A内的

42、相容方程，（2） 上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）（3）多连体的位移单值条件。2. 在半逆解法中寻找应力函数 时，通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式 （1）由材料力学解答提出假设，（2）由边界受力情况提出假设，（3）用量纲分析方法提出假设。ss第三章 平面问题的直角坐标解答 3. 在校核应力边界条件时，必须注意以 下几点（见（四）。 4. 学习本章的重点，是掌握弹性力学问 题按应力求解的方法。要求读者在掌 握这些基本理论之后，能阅读和理解 弹性力学文献，并将已有的解答应用 到工程实践中去。第三章 平面问题的直角坐标解答5. 对于工程实际问题，由于边界形状和受 力、约束条件较为复杂，难以得出微分方 程的函数式解答。因此，并不要求读者去求解新的解答，只要求能掌握基本理论，并能应用弹性力学近似解法（见后面几章）去解决工程实际问题。第三章 平面问题的直角坐标解答 （三）重力坝的材力解法 一般重力坝的分析，采用的是材料力学的解法，称