概率统计浙大版

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2012.9.19一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念表示，由此就产生了随机变量的概念.1 随机变量随机变量 1、有些、有些试验结果本身与数值有关试验结果本身与数值有关（本身就是一（本身就是一个数）个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 四月份哈尔滨的最高温度；四月份哈尔滨的最高温度；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2、在

2、有些试验中，试验结果看来与数值无关，但、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就也就是说，是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 正如裁判员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的名字而叫号员的名字而叫号码一样，二者建码一样，二者建立了一种对应关立了一种对应关系系. 这种对应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值实值单值函数单值函数.e.X(e)sR这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！数不一样！（1）它随试验结果的不同

3、而取不同的值，因而在）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率也有一定的概率.称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数X= X(e)为为随随量量机机变变简记为简记为 r.v. 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x, y,

4、z, w, n等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示 有了随机变量有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达以通过随机变量的关系式表达.二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X= 0 随机变量概念的产生是概率论发展史上的随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件重大事件. 引入随机变量

5、后，对随机现象统计引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为为对随机变量及其取值规律对随机变量及其取值规律的研究的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律我们将研究两类随机变量：我们将研究两类随机变量： 如如“取到次品的个数取到次品的个数”， “收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中，实际中常遇到的常遇到的“测量误差测量误差”等等.三、随机变量的分类三、随机变量的分类 这两种

6、类型的随机变量因为都是随机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不取值方式不同同，又有其各自的特点，又有其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自的特点和描述方法. 全部可能取值无穷多，不能一一列举，充满一个区间 所有取值可以逐个一一列举 解：分析解：分析例例1 一报童卖报，每份一报童卖报，每份0.15元，其成本为元，其成本为0.10元元. 报馆每天给报童报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不份报，并规定他不得

7、把卖不出的报纸退回出的报纸退回. 设设X为报童每天卖出的报纸份数，为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作X( ).例8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P X m 0.95 的最小的m .进货数销售数求满足P X m 0.

8、95 的最小的m.查泊松分布表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即068. 0!595kkke于是得 m+1=10,1505. 0!5mkkkem=9件或, 2 , 1 , 0,!)1 (limkkeppCkknnknknn泊松定理泊松定理设 0 是常数，n 是正整数， ，则有npn 定理的条件意味着当 n 很大时，pn 必定很小。 因此，泊松定理表明，以 n, p 为参数的二项分布当 n 很大、p 很小时趋于参数 =np 的泊松分布，即!e)1 (kppCkknkkn一一. 一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为 1、2、3、4、在其中同时取三只，以、在其中

9、同时取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分的分布律布律二二. . 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 4杯。杯。如果从中挑如果从中挑 4 4 杯，能将甲种酒全部挑出，算是试验成功杯，能将甲种酒全部挑出，算是试验成功一次。一次。1 1）某人随机地去猜，他成功一次的概率是多少？）某人随机地去猜，他成功一次的概率是多少？2 2）某人声称他能通过品尝能区分两种酒。他连续试验）某人声称他能通过品尝能区分两种酒。他连续试验 10 10 次，成功次，成功 3 3次。试推断他是猜对的还是确有

10、区分能力次。试推断他是猜对的还是确有区分能力（设各次试验是相互独立的）（设各次试验是相互独立的）解：解：4 , 3 XX的的所所有有可可能能取取值值为为：3 XP341C 41 4 XP3423CC 43 解：设 A 表示“成功一次”，由题意可得701)(4844CCAP 设 X 表示“某人随机地去猜 10 次，成功区分两种酒的次数”。则 所以00003. 0)7011 ()701() 3(73310CXP一、分布函数的定义 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 内的,(x概率.xoxXX 设 X 是一个 r.v，称)()(xXPxF)(x为 X

11、的分布函数 , 记作 F (x) .第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数(1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量. (2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.(3) 对任意实数 x1x2，随机点落在区间( x1 , x2 内的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.xxXPxF),()(xoxXX当 x0 时， X x = ， 故 F(x)

12、=0例例1 设 随机变量 X 的分布律为当 0 x 1 时， F(x) = PX x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解0 x12x x Xkp0121 31 61 2求 X 的分布函数 F (x) .当 1 x 2 时， F(x) = PX=0+ PX=1= + =316121当 x 2 时， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 x故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF31211202161OOO1)(xF的分布函数图xy设离散型 r .v X 的分布律是P X=xk = pk , k =1

13、,2,3, F(x) = P(X x) = xxkkp即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和.x则其分布函数二、分布函数的性质 ,上上是是一一个个不不减减函函数数在在 xF(1) ;,212121xFxFxxxx 都都有有且且即即对对 21F xF x1x2xox 120P xXx 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.(3) F(x) 右连续，即 )()(lim00 xFxFxx(2) xoXxx x()F limxF x limxF x()F 0 1 试说明F(x)能否

14、是某个r.v 的分布函数.例2 设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF 解 注意到函数 F(x)在 上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,2不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.或者0)(lim)(xFFx例. 以下几个函数那些是分布函数？)(11)()2(1)20(sin)0(0)()21(1)210(31)0(0)()(1)0(sin)0(0)()0(2)02(21)2(0)(254321xxxFxxxxxFxxxxxFxxxxxFxxxxF 解 设 F(x) 为 X 的分布函数，当 x a 时，F(x) =1 例例3 在区间 0，a 上任意投掷

15、一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 ) 由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a0,0( ),01,xxF xxaaxa 故 这就是在区间 0，a上服从均匀分布的连续型随机变量的分布函数.解：解：2 , 1 , 0 XX的的所所有有可可能能取取值值为为：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP3152

16、2113CCC 351 F(x) = P(X x)0 XP3522 1 XP3512 2 XP351 ,0时时当当 x)(xXPxF 0 ,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP3522 ,21时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP3534 ,2时时当当 x1)( xF故 2, 121,353410,35220, 0)(xxxxxF第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度u连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义u概率密度的性质概率密度的性质u三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充

17、满一个区所有可能取值充满一个区间间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机不能象离散型随机变量那样变量那样, 以指定它取每个值概率的方式以指定它取每个值概率的方式, 去给去给出其概率分布出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函概率密度函数数”的方式的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法方法.如果如果 X为连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的的概率密度概率密度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度 .一、一、 连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定

18、义 xF xf t dt 有有,使得对任意使得对任意实数实数 , x 对于随机变量对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f (x) , ,x P Xx 连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续R二、概率密度的性质二、概率密度的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r .v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1 ,

19、x2 , (x1 0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布. 2( ,)XN :具有下述性质具有下述性质xf ;12 dxxf ;01 xf事实上事实上 , 22212x fx dxedx 22212x edx 222022x edx 1,2xt 令令则有则有 dxxfdtet202 122 曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称； fx 3 P hX P Xh 0h 202tedt xexfx,21)(222)( 函数函数 在在 上单调增加上单调增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 单调减少单调减少, ,在在 取得最大值；取得最

20、大值；x 22()23,2x xfxex x = 为为 f (x) 的两个拐点的横坐标；的两个拐点的横坐标； 5 22()2223(),2x xfxex 当当x 时，时，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 6 根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图的概率密度曲线图. . 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 设设 X ,),(2NX 的分布函数的分布函数是是正态

21、分布正态分布 的分布函数的分布函数),(2N 2 22()21,2txF xedtx 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定， 当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准正态分布标准正态分布3 221,2txxedtx 221,2x xex )(x )(x 的性质的性质 : ;2101 dtet 022210 21

22、212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事实上事实上 , 221()2txxedtx 22112uxedu x 1 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 则则若若2212uxutedu .1 ,0,2NXZNX 则则若若证证Z Z 的分布函数为的分布函数为 dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令则有则有 duexZPxu 2221 x 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布

23、函数制只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. . .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表. .正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时, (x)的值的值.4),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1) 则则由标准正态分布的查表计算可以求得，由

24、标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974 3 3 准则准则5将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, , 6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内. .这在统计学上称作这在统计学上称作“3