2013版高中全程复习方略配套课件：14.1二阶矩阵与平面向量及几种常见的平面变换

1、第一节 二阶矩阵与平面向量及几种常见的平面变换高考指数高考指数: 内内 容容要要 求求A AB BC C矩阵的概念矩阵的概念二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量 常见的平面变换常见的平面变换1.1.矩阵的概念矩阵的概念(1)(1)形如形如 , , , , 这样的矩形数字这样的矩形数字( (或字母或字母) )阵列称为阵列称为_._.(2)(2)行矩阵的表达形式是行矩阵的表达形式是_(3)(3)列矩阵的表达形式是列矩阵的表达形式是_13 80 9060 852 3 m3 2 4矩阵矩阵a a1111 a a12121121aa(4)2(4)22 2的零矩阵的表达形式是的零矩阵的表达形式是_(5)(

2、5)二阶单位矩阵二阶单位矩阵(E) (E) 的表达形式是的表达形式是_(6)(6)由由4 4个数个数a,b,c,da,b,c,d排成的二阶矩阵通常记为排成的二阶矩阵通常记为_._.0 00 01 00 1a bc d【即时应用】【即时应用】设设A= A= ，B= B= ，若，若A=BA=B，则，则x,y,m,nx,y,m,n的值的值分别为分别为_._.【解析】【解析】由条件得由条件得m+n=2,m-n=3,x=x+y,2x-y=y,m+n=2,m-n=3,x=x+y,2x-y=y,解得解得x=0,y=0,m= ,n= .x=0,y=0,m= ,n= .答案：答案：0,0, ,0,0, ,2 x

3、y 3mn xy2xy mn521252122.2.二阶矩阵与平面列向量的乘法二阶矩阵与平面列向量的乘法定义：规定二阶矩阵定义：规定二阶矩阵A= A= ，与向量，与向量 = = 的乘积为的乘积为A =A = ，即，即A A _=_=_. a bc dxy axbycxdyaxbycxdya bx c dy 【即时应用】【即时应用】已知已知 = = ，则，则 =_.=_.【解析】【解析】由条件得由条件得 , ,解得解得 , ,从而从而 = = . .答案：答案：1 0 x1 2y 1 1xyx1x2y1 x1y1 xy1 11 13.3.常见的平面变换常见的平面变换(1)(1)恒等变换恒等变换:

4、 : 对平面上任何一点对平面上任何一点( (向量向量) )施以某矩阵变换时施以某矩阵变换时, ,都把都把自己变成自己的变换自己变成自己的变换, ,称为恒等变换称为恒等变换, ,其恒等变换矩阵其恒等变换矩阵( (单位单位矩阵矩阵) )是是_._.(2)(2)伸压变换伸压变换: :将平面图形沿将平面图形沿y y轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩, ,或沿或沿x x轴方向伸轴方向伸长或压缩的变换长或压缩的变换, ,称为伸压变换称为伸压变换, , 其变换矩阵是其变换矩阵是_或或_._.1 00 111 00 k2k 00 1(3)(3)反射变换反射变换: :把平面图形把平面图形F F变为关于定直线或定点

5、对称的平面图变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换形的变换, , 称为反射变换称为反射变换, , 其关于其关于x x轴、轴、y y轴、原点的变换矩阵轴、原点的变换矩阵分别是分别是_,_,_和和_._. (4) (4)旋转变换旋转变换: : 把平面图形把平面图形F F绕某中心点绕某中心点O O逆时针旋转逆时针旋转角后得角后得新图形的变换新图形的变换, , 称为旋转变换称为旋转变换, , 其变换矩阵是其变换矩阵是_._.1 00 11 0 0 11 0 0 1cos sinsin cos(5)(5)投影变换投影变换: : 把平面图形把平面图形F F投影到某条直线投影到某条直线( (或某个点或某个

6、点) ) 后得后得新图形的变换新图形的变换, , 称为投影变换称为投影变换, , 其中垂直投影到其中垂直投影到x x轴上或直线轴上或直线y=xy=x上的变换矩阵分别是上的变换矩阵分别是_和和_._.(6) (6) 切变变换切变变换: :将每一点将每一点P(x,y)P(x,y)沿着与沿着与x x轴平行的方向平移轴平行的方向平移|ky|ky|个单位的变换，称为平行于个单位的变换，称为平行于x x轴的切变变换轴的切变变换. .将每一点将每一点P(x,y)P(x,y)沿沿着与着与y y轴平行的方向平移轴平行的方向平移|kx|kx|个单位的变换，称为平行于个单位的变换，称为平行于y y轴的轴的切变变换切

7、变变换. .其变换矩阵分别为其变换矩阵分别为_和和_._.1 00 01 01 01 k0 11 0k 1【即时应用】【即时应用】(1)(1)设矩阵设矩阵A= A= ，则点，则点P(2,2)P(2,2)在在A A所对应的线性变换下所对应的线性变换下的象为的象为_._.(2)(2)试研究函数试研究函数y= y= 在旋转变换在旋转变换 作用下得到作用下得到的新曲线的方程为的新曲线的方程为_._.1x22 2222 221 0 0 1【解析】【解析】(1)(1)由由 = = 得所求的象为得所求的象为(-2,2).(-2,2).(2)(2)设新曲线上任意点设新曲线上任意点(x,y),(x,y),由由=

8、 = 得得 , ,从而从而 , ,代入代入y= y= 得得yy2 2-x-x2 2=2,=2,即新曲线的方程为即新曲线的方程为y y2 2-x-x2 2 =2=2. .答案：答案：(1)(-2,2) (2)y(1)(-2,2) (2)y2 2-x-x2 2=2=2 1 02 0 12 2 222 x22y22 22 xy22xxy2222yxy22 22xxy2222yxy22 1x 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量【方法点睛】【方法点睛】矩阵与向量乘法的意义矩阵与向量乘法的意义矩阵与向量乘法的意义应以映射与变换的观点来认识和理解矩阵与向量乘法的意义应以映射与变换的观点来认识和理解, ,即

9、即由矩阵由矩阵M M确定的变换确定的变换T TM M, ,就是平面内点集到其自身的一个映射就是平面内点集到其自身的一个映射, ,当当 = = 表示某个平面图形表示某个平面图形F F上的任意点时上的任意点时, ,这些点就组成了图形这些点就组成了图形F,F,它在它在T TM M的作用下将得到一个新的图形的作用下将得到一个新的图形F. F. xy 【例【例1 1】已知】已知A= A= ， = = ， ，若，若A A 与与A A 的的夹角为夹角为135135，求，求x.x.【解题指南】【解题指南】本题通过变换矩阵本题通过变换矩阵A A将两向量变为新向量后将两向量变为新向量后, ,利用利用向量的数量积公

10、式向量的数量积公式, ,求未知数求未知数x x的值的值. .【规范解答】【规范解答】由条件得由条件得A = = ,A = = ,A =A = = , = ,从而由从而由(A )(A )(A )=(A )=|A |A |A |cos135|A |cos135得得x-3(2-x)= x-3(2-x)= 解得解得x x1 1= ,x= ,x2 2=4,=4,经检验经检验, x= , x= 是所列方程的根是所列方程的根, ,故故x= .x= .1 01 2 11x11 0 11 21 131 0 x1 2 1 x2x22210 x(2x)(),2232323 【反思【反思感悟】感悟】1.1.根据本题可

11、知根据本题可知, ,两向量间的夹角经矩阵变换两向量间的夹角经矩阵变换后后, ,通常会改变通常会改变. .2.2.有关无理方程的求解有关无理方程的求解, ,通过平方运算化去根号后通过平方运算化去根号后, ,与原方程并与原方程并不一定同解不一定同解, ,必须检验所得解是否是原方程的根必须检验所得解是否是原方程的根. .【变式训练】【变式训练】向量向量 在矩阵在矩阵A= A= 的作用下变为与向量的作用下变为与向量平行的向量且向量的模为平行的向量且向量的模为1 1，求，求 . .【解析】【解析】设设 = ,= ,则由条件得则由条件得 (0),(0),解得解得sin=cos,sin=cos,从而所求向量

12、为从而所求向量为 = = 或或 = .= .1 20 1 11cossincos2sinsin 22222222 【变式备选】【变式备选】已知已知A= A= ，a a ，b b ，设，设 =a+b=a+b， =a-b=a-b，求，求A ,A .A ,A .【解析】【解析】由条件得由条件得 = , = ,= , = ,从而从而A = = ,A = = ,A = A = = . = .15 2 3 41 234 26 42125 26 3 4 718145 22 3 4 194 几种常见的平面变换问题几种常见的平面变换问题1.1.线性变换的含义线性变换的含义在矩阵在矩阵M M作用下作用下, ,直线

13、直线 变成直线变成直线 这种把直这种把直线变为直线的变换线变为直线的变换, ,通常叫做线性变换通常叫做线性变换, ,我们在考点梳理中我们在考点梳理中写出的六种变换都是线性变换写出的六种变换都是线性变换, , 线性变换与二阶矩阵是对应的，线性变换与二阶矩阵是对应的，既可以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换，又可以通过线性既可以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换，又可以通过线性变换来研究对应的二阶矩阵变换来研究对应的二阶矩阵. .另外另外, ,必须说明的是投影变换不是必须说明的是投影变换不是一一映射的一一映射的. .1212MM，2.2.通过二阶矩阵与平面向量的乘法可建立平面变换前后坐标之间通过二阶矩

14、阵与平面向量的乘法可建立平面变换前后坐标之间的关系，利用已知的曲线方程可求出变换前或后的曲线方程，其的关系，利用已知的曲线方程可求出变换前或后的曲线方程，其实质就是相关点法求曲线的轨迹方程实质就是相关点法求曲线的轨迹方程. .【例【例2 2】(2011(2011福建高考福建高考) )设矩阵设矩阵M= (M= (其中其中a a0 0，b b0).0).若曲线若曲线C C：x x2 2+y+y2 2=1=1在矩阵在矩阵M M所对应的线性变换作用下得到曲线所对应的线性变换作用下得到曲线CC： =1=1，求，求a a，b b的值的值. .【解题指南】【解题指南】本题变换矩阵符合伸压变换的特征，求解的关

15、键是本题变换矩阵符合伸压变换的特征，求解的关键是准确把握变换前后点的坐标间的关系，运用待定系数法列出方程准确把握变换前后点的坐标间的关系，运用待定系数法列出方程组，即可获解组，即可获解. .a 00 b22xy4【规范解答】【规范解答】设曲线设曲线C C上任意一点上任意一点P(x,y)P(x,y)，它在矩阵，它在矩阵M M所对应的所对应的线性变换作用下得到点线性变换作用下得到点P(x,y).P(x,y).则则 = ,= ,即即 又点又点P(x,y)P(x,y)在曲线在曲线CC上，所以上，所以 =1.=1.则则 =1=1为曲线为曲线C C的方程的方程. .又已知曲线又已知曲线C C的方程为的方程

16、为x x2 2+y+y2 2=1=1，故，故 ，又，又a a0,b0,b0 0，所，所以以 . .a 0 x0 by xyaxxbyy 22xy4 2222a xb y422a4b1a2b1【互动探究】【互动探究】在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，设椭圆中，设椭圆4x4x2 2+y+y2 2=1=1在本例在本例中矩阵中矩阵M M对应的变换作用下得到曲线对应的变换作用下得到曲线F F，求，求F F的方程的方程. .【解析】【解析】由本例解析知由本例解析知M= M= , ,设设P(xP(x0 0,y,y0 0) )是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，点点，点P(xP(x0 0,y,y0

17、0) )在矩阵对应的变换下变为点在矩阵对应的变换下变为点P(xP(x0 0,y,y0 0),),则则有有 = = ，即，即 ，所以，所以 . .又因为点又因为点P P在椭圆上，故在椭圆上，故 =1=1，从而，从而(x(x0 0) )2 2+(y+(y0 0) )2 2=1,=1,所以，曲线所以，曲线F F的方程是的方程是x x2 2+y+y2 2=1.=1.2 00 100 xy00 x2 00 1y0000 x2xyy 0000 xx2yy 22004xy【反思【反思感悟】感悟】本题是已知变换之前和变换之后的曲线方程，本题是已知变换之前和变换之后的曲线方程，求变换矩阵的问题求解的方法是设出变换之前和变换之后的求变换矩阵的问题求解的方法是设出变换之前和变换之后的坐标，利用矩阵乘法建立关系，再利用变换前后的曲线方程建坐标，利用矩阵乘法建立关系，再利用变换前后的曲线方程建立方程组立方程组. .【变式备选】【变式备选】已知二阶矩阵已知二阶矩阵M M ，矩阵，矩阵M M对应的变换将点对应的变换将点(2,1)(2,1)变换成点变换成点(4(4，1).1).求矩阵求矩阵M M将圆将圆x x2 2y y2 21 1变换后的曲线方程变换后的曲线方程. .【解析】【解析】由已知得由已知得M M ，即，即 ， 解得解得 .M.M . .设点设点P(xP(x，y)y