数学函数单调性ppt课件

1、一天一天24小时内气温随时间变化曲线图小时内气温随时间变化曲线图 能用图象上动点能用图象上动点P Px x，y y的横、纵坐标的横、纵坐标关系来阐明上升或下降趋势吗？关系来阐明上升或下降趋势吗？xyo1yxxyo1yx xyo2yx 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图像在该区间内逐渐上升；图像在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图像在该区间内逐渐下降。图像在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性此起彼伏此起彼伏每况愈下每况愈下蒸蒸日上蒸蒸日上函数的单调性函数的单调性回想回想我们初中学过的函数我

2、们初中学过的函数xyOxyOxyO22)(xxf32)(2xxxfxxf1)(-1例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象1y = xxyy = xO11例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象1y = xxyy = xO11例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象1y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；xyy = xO11例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象1y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的

3、增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象1y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象1y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象1y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增

4、的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象1y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)-, + 2y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象Oxyy = x22y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11Oxyy = x22y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而

5、增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。Oxyy = x22y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。x1f(x1)Oxyy = x22y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x22y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11 此函

6、数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x22y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x22y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x22y =

7、 x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x22y = x2例例1 1：画出以下函数的图象：画出以下函数的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1-, 0 0, + )0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y

8、= y=f f( (x x) )图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y=y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y= y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征y y随随x x的

9、增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y= y=f f( (x x) ) y= y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y= y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象

10、上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大y y随随x x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y=y=f f( (x x) ) y=y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大当当x x1 1x x2 2时，时， f f( (x x1 1) ) f f( (x x2 2) )y y随随x x的增大而减小的

11、增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I I内内在区间在区间I I内内图象图象 y= y=f f( (x x) ) y= y=f f( (x x) )图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大当当x x1 1x x2 2时，时， f f( (x x1 1) ) ) f f( (x x2 2) )对区间对区间I内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)图象在区间图象在区间I逐渐上升逐渐上升？OxIy区间区间I内随着内随

12、着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间对区间I内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN恣意恣意区间区间I内随着内随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在区间图象在区间I逐渐上升逐渐上升普通地，设函数普通地，设函数y y f(x) f(x) 的定义域为的定义域为I I，区间，区间D ID I 假设对于区间假设对于区间D内的恣意两个值内的恣意两个值x1、x2，当，当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说yf(x)在区间在区间D上是单调增函数，上是单调增函数， D称为称为

13、yf(x)的单调增区间的单调增区间 假设对于区间假设对于区间D内的恣意两个值内的恣意两个值x1、x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说yf(x)在区间在区间D上是单调减函数，上是单调减函数，D称为称为yf(x)的单的单调减区间调减区间 假设函数假设函数yf(x)在区间在区间D上是单调增函数或单调减函上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数数，那么就说函数yf(x) 在区间在区间D上具有单调性单调增上具有单调性单调增区间和单调减区间统称为单调区间区间和单调减区间统称为单调区间 1 1、单调增函数与单调减函数、单调增函数与单调减函数区间区间D D恣意恣意当当x

14、1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)2 2、单调性、单调区间、单调性、单调区间假设函数假设函数fx：在：在1,2上单调上单调递增，在递增，在2,3)也单调递增，那么函也单调递增，那么函数在数在1,3上能否一定单调递增？上能否一定单调递增？例、以下图为函数例、以下图为函数 ， 的图的图像，指出它的单调区间。像，指出它的单调区间。 4,7x y= f x123-2-3-2-1123456 7xo-4-1y-1.5-1.5-1.5，33，55，66-4-4，-1.5-1.5，33，55，66，77解：单调增区间为解：单调增区间为单调减区间为单调减区间为AttentionAttention！m多

15、个单调区间之间，不要随便用！m用 逗号“，即可！ 22)(xxf证明：函数证明：函数 在在R R上是单调减函数上是单调减函数证：在证：在R R上恣意取两个值上恣意取两个值 ，且，且 ，21,xx21xx 21xx , 021 xx0)(221xx, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 22)(xxf在在R R上是单调减函数上是单调减函数取值取值作差变形作差变形定号定号下结论下结论例例2)()(21xfxf则)22()22(21xx)(221xx 证明：函数证明：函数 在区间在区间( (1 1，上是单调增函数上是单调增函数证：在区间证：在区间( (1 1，上恣意取两个值上恣意取两

16、个值 ，且且 ，21,xx21xx 32)(2xxxf 在区间在区间1 1，上上是单调增函数是单调增函数32)(2xxxf211xx , 021 xx0221 xx, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 取值取值作差变形作差变形定号定号) 32() 32()()(22212121xxxxxfxf)2)(2121xxxx)(2)(212121xxxxxx那那么么下结论下结论例例3证：在区间证：在区间，0 0上恣意取两个值上恣意取两个值 ，且且 ，21,xx21xx 021 xx, 012 xx021xx, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 证明：函数在区间证明：

17、函数在区间，0 0上是单调减函数上是单调减函数xxf1)( 在区间在区间，0 0上是单调减函数上是单调减函数xxf1)(取值取值作差变形作差变形定号定号212111)()(xxxfxf2112xxxx 那么那么下结论下结论例例4例例5 试判别函数试判别函数y= x2 + x 在在0，上上是增函数还是减函数？并给予证明。是增函数还是减函数？并给予证明。解：函数解：函数y= x2 + x 在在0，上是增函数上是增函数下面给予证明：下面给予证明：设设 x1，x2 为区间为区间(0,)上的恣意两个值，且上的恣意两个值，且x1x2， 那么那么f (x1) f (x2)= (x12 + x1 ) (x22 + x2 ) =( x12 x22) + (x1 x2) 又又 x