南昌大学高数 重积分应用

1、 d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU重积

2、分的应用重积分的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. .dvzyxdv ),(, dvzyxfdUdvzyxfU),(),( dvzyxfU),(1 1。平面图形的面积。平面图形的面积由二重积分的性质，当由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时时区域区域D的面积的面积 DdA 2 2。空间立体的体积。空间立体的体积设曲面的方程为设曲面的方程为 Dyxyxfz ),( , 0),(对三重积分而言对三重积分而言则曲顶柱体的体积为则曲顶柱体的体积为 DdyxfV ),(由三重积分的物理意义知空间闭区域由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为的

3、体积为 dvV计算由曲面计算由曲面 2241yxz 解一解一用二重积分用二重积分与与 xoy 面所围成的立体的体积面所围成的立体的体积14:22 yxD DdxdyyxV)41(22由对称性得由对称性得例例1 122104102222)41 (4)41 (4DxdyyxdxdxdyyxV 2042102324cos2138)41 (38 tdtdxx解二解二用三重积分用三重积分 14dvdvV 21041041022244xyxdzdydx 所围成的立体的体积所围成的立体的体积2222,2yxzyxz 求求解一解一 DDdyxdyxVVV )()2(222212 Ddyx )1(222（用极坐

4、标）（用极坐标） 20102)1 (2rdrrd解二解二 是柱形区域，用柱坐标是柱形区域，用柱坐标 dvV 2010222rrrdzdrd 102)22(2 drrr例例2设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,),( dyx 点点如图，如图，,Dd 设小区域设小区域.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS d),(yxMdAxyzs o ,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd ,cos dAd3 3。曲面的面积。曲面的面积,11cos22yxff dffdAyx221曲面曲面S的面积元素的面积元素,122 Dyxdf

5、fA 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;122dydzzxyxAyzD 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.122dzdxxyzyAzxD 同理可得同理可得例例 3.3. 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体 axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积. 解解由由对对称称性性知知14AA ,) 0,(,:221 yxaxyxD曲面的方程为曲面的方程为 222yxaz , 于于是是221 yzxz ,222yxaa 面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyx

6、aa cos0220142ardrrada.4222aa 求半径为求半径为R的球面的表面积的球面的表面积解解曲面方程为曲面方程为222yxRz （由对称性）（由对称性） 1221188DyxdxdyzzAAdxdyyxRRD 12228rdrrRRdR 200228 24 R 例例4计算圆柱面计算圆柱面 222azx 被圆柱面被圆柱面 所截的部分的面积所截的部分的面积222ayx 解解由对称性可知由对称性可知A=8A1 A1 的方程的方程22xaz 22221xaazzyx 122002222Daxadyxaadxdxdyxaa2a 28aA 例例5面密度为面密度为 f(x,y) 的平面薄片的

7、质量的平面薄片的质量 DdyxfM ),(体密度为体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量的空间体的质量 dvzyxfM),(4 4。质量。质量5 5。平面薄片的重心。平面薄片的重心 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系的的重重心心的的坐坐标标为为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),

8、(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中例例 6.6. 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标 由元素法知由元素法知,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 若薄片是均匀的，重心称为若薄片是均匀的，重心称为形心形心.先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a

9、)(xy由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ， 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax ,解解 DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐标标为为 ),(65 a. 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12， niiiyxmI12. 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面

10、面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为6 6。平面薄片的转动惯量。平面薄片的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x,),(2 DxdyxyI 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y.),(2 DydyxxI 例例 7 7. . 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量. 设三角形的两直角边分别在设三角形的两

11、直角边分别在 x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图 oyxab解解对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dxdyxIDy 2 babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dxdyyIDx 2 .1213 ab 例例 8.8. 已知均匀矩形板（面密度为常数已知均匀矩形板（面密度为常数）的长）的长和宽分别为和宽分别为b和和h，计算此矩形板对于通过其形，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy, hbA 区域面积区域面积 建建立立坐坐标标

12、系系如如图图 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .oyxbh将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyx对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv uvo .123 bh 对对v轴轴的的转转动动惯惯量量 DvdudvuI2 .123 hb 解解 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于 z轴上的点轴上的点), 0 , 0(0aM处的单位质点的

13、处的单位质点的引力引力)0( a薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f7 7。平面薄片对质点的引力。平面薄片对质点的引力例例9 求求面密度为常量、半径为面密度为常量、半径为R的均匀圆形的均匀圆形 薄片：薄片：222Ryx ，0 z对位于对位于 z轴上的轴上的 点点), 0 , 0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0( a 由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxy

14、xafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRfa解解几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识） 以上我们以二重积分为例详细介绍了二重积分的以上我们以二重积分为例详细介绍了二重积分的应用，其实对三重积分也有实际应用问题，如体积、应用，其实对三重积分也有实际应用问题，如体积、重心坐标、转动惯量、空间物体对质点的引力等，

15、重心坐标、转动惯量、空间物体对质点的引力等，所有这些概念都可以从二重积分的概念中类比而得所有这些概念都可以从二重积分的概念中类比而得出相关的概念，建议大家类比地写出，以加深理解。出相关的概念，建议大家类比地写出，以加深理解。 小结小结：1。平面图形的面积。平面图形的面积 DdA 2。空间立体的体积。空间立体的体积 DdyxfV ),( dvV3。曲面的面积。曲面的面积曲面曲面 z=f(x,y)在在 xoy 面的投影区域为面的投影区域为D dffADyx 221关于重积分应用关于重积分应用4。质量。质量dwpfdm)( dwpfm)(积分域的元素积分域的元素dw静力矩静力矩=质点质量与质点到坐标

16、轴（面）距离的乘积质点质量与质点到坐标轴（面）距离的乘积对各坐标轴（面）静力矩分别平衡点的坐标对各坐标轴（面）静力矩分别平衡点的坐标平面薄片平面薄片xyMmMm , DdyxM ),(5。重心。重心重心重心 DydyxxM ),( DxdyxyM ),( DDxDDydyxdyxyMMdyxdyxxMM ),(),(,),(),( dvzyxM),( dvzMdvyMdvxMxyxzyz,MMzMMyMMxxyxzyz ,空间立体空间立体惯性矩惯性矩=质点的质量与质点到某个轴的距离平方的乘积质点的质量与质点到某个轴的距离平方的乘积平面薄片平面薄片 dmrI2 DyDxdxIdyI 22, DodyxI )(22空间立体空间立体dvzyIx )(22dvzxIy )(22dvyxIz )(226。转动惯量。转动惯量7。引力。引力Dd dyx ),(222ayxdkmdF 方向与方向与 一一致致ayx ,oxyz), 0 , 0(a。222ayxr 在在 xoy 内一薄片对内一薄片对 z 轴上轴上(0,0,a)处一质点引力处一质点引力 dr