高等代数上题库.DOC

1、高等代数题库第一章 多项式一填空题1、设用 x-1 除 f(x) 余数为 5，用x+1 除 f(x) 余数为 7，则用 x 2-1 除f(x) 余数是 。2、当 p(x)是 多项式时，由 p(x)| f(x)g(x) 可推出 p(x)|f(x) 或 p(x)|g(x)。3、当 f(x) 与 g(x) 时，由 f(x)|g(x)h(x) 可推出 f(x)|h(x)。4、设 f(x)=x3+3x2+ax+b 用 x+1 除余数为 3，用 x-1 除余数为 5，那么 a= b。5、设 f(x)=x4 2+3x -kx+2 用 x-1 除余数为 3，则 k= 。6、如果(x 2-1)2|x4-3x3+

2、6x2+ax+b，则 a= b= 。7、如果 f(x)=x3-3x+k 有重根，那么 k= 。8、以 l 为二重根， 2，1+i 为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。9、已知 1-i 是 f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2 的一个根，则 f(x) 的全部根是 。10、如果（f(x),g(x) ）=1，（h(x),g(x)）=1 则 。1 1、设 p(x)是不可约多项式， p(x)|f(x)g(x), 则 。12、如果 f(x)|g(x),g(x)|h(x) ，则 。13、设 p(x)是不可约多项式， f(x) 是任一多项式，则 。14、若 f(x)|g(x)+h(x),f(x

3、)|g(x) ，则 。15、若 f(x)|g(x),f(x)| h(x) ，则 。16、若 g(x)|f(x),h(x)|f(x) ，且(g(x),h(x)=1 ，则 。17、若 p(x) |g(x)h(x), 且 则 p(x)|g(x)或 p(x)|h(x)。18、若 f(x)|g(x)+h(x) 且 f(x)|g(x)-h(x), 则 。19、是 f(x) 的根的充分必要条件是 。20、f(x) 没有重根的充分必要条件是 。答案1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=28、x 5-6x4+15x3-20x2+14x-4 9、1-i,

4、1+i 1+ 2 ,1- 2 10、(f(x)h(x),g(x)=1 11、p(x)|f(x) 或 p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x) 或(p(x),f(x)=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可约多项式 18、f(x)|g(x) 且f(x)|h(x) 19、x- |f(x) 20、(f(x),f (x)=11二判断并说明理由21、数集 a bi | a,b是有理数,i 1 是数域（ ）22、数集 a bi | a,b是整数,i 1 是数域 （ ）3、若 f(x)|g(x)h

5、(x),f(x)|g(x), 则f(x)|h(x) ( )4、若 f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x), 则 f(x)|h(x) （ ） 5、若 g(x)|f(x),h(x)|f(x) ，则 g(x)h(x)|f(x) （ ）6、若（f(x)g(x),h(x) ）=1,则（f(x),h(x) ）=1 (g(x),h(x)=1 ( )7、若 f(x)|g(x)h(x), 且 f(x)|g(x), 则(f(x),h(x)=1 ( )8、设 p(x)是数域 p 上不可约多项式，那么如果 p(x)是 f(x) 的 k 重因式，则 p(x)是 f(x)的k-1 重因式。 （ ）9、如果 f(

6、x) 在有理数域上是可约的，则 f(x) 必有有理根。（ ）10、f(x)=x4-2x3+8x-10 在有理数域上不可约。 （ ）1 1、数集 a b 2 | a,b是有理数 是数域 （ ）12、数集 n 2 |n为整数 是数域 （ ）13、若 f(x)|g(x)h(x) ，则 f(x)|g(x) 或 f(x)|h(x) ( )14、若 f(x)|g(x),f(x)|h(x) ，则 f(x)|g(x)h(x) ( )15、若 f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x) ，则 f(x)|g(x)且 f(x)|h(x) ( )16、若有 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)

7、, 则 d(x)是 f(x),g(x) 的最大公因式 （ ）17、若 p(x)是 f (x内) 的 k 重因式，则 p(x)是 f(x) 的 k+1 重因式（ ）18、如果 f(x) 没有有理根，则它在有理数域上不可约。 （ ）19、奇次数的实系数多项式必有实根。 （ ）6 320、 f(x)=x +x +1 在有理数域上可约。 （ ）答案：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、11、 12、 除法不封闭 13、 当 f(x) 是不可约时才成立 14、 如f(x)=x2，g(x)=h(x)=x 时 不成立 15、 16、 17、如 f(x)=xk+1+1 18、19、虚根

8、成对 20、 变形后用判别法知 不可约三选择题1、以下数集不是数域的是（ ）A、 a bi | a,b是有理数 ，i2= -1B、 a bi | a,b是整数 ，i2= -1C、 a b 2 | a,b是有理数D、 全体有理数2、关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）A、若 f(x)|g(x)h(x), 且 f(x)|g(x)则 f(x)|h(x)B、若 g(x)|f(x),h(x)|f(x), 则 g(x)h(x)|f(x)2 C、若 f(x)|g(x)+h(x) ，且 f(x)|g(x) ，则/ f(x)|h(x)D、若 f(x)|g(x) ，f(x)|h(x) ，则 f(x)|g(x

9、)h(x)3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）A、若 f(x)|g(x)h(x) 且 f(x)|g(x) , 则（f(x),h(x) ）=1B、若存在 u(x)，v(x)，使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x) ，则d(x)是 f(x) 和 g(x)的最大公因式C、若 d(x)|f(x), 且有 f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x) ，则 d(x)是f(x) 和 g(x)的最大公因式D、若(f(x)g(x),h(x)=1 ，则(f(x),h(x)=1 且(g(x),h(x)=1（ ）4、关于多项式的根，以下结论正确的是 （ ）A、如果 f(x) 在有理数域

10、上可约，则它必有理根。B、如果 f(x) 在实数域上可约，则它必有实根。C、如果 f(x) 没有有理根，则 f(x) 在有理数域上不可约。D、一个三次实系数多项式必有实根。5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）A、若 f(x) 是 f (x的) k 重因式，则 p(x) 是f(x) 的 k+1 重因式B、若 p(x)是 f(x) 的 k 重因式，则 p(x) 是 f(x) ，f (x的) 公因式C、若 p(x)是f (x的) 因式，则 p(x)是f(x) 的重因式D、若 p(x)是 f(x) 的重因式，则 p(x)是( ff( x),x)f(x)的单因式6、关于多项式的根，以下结论不正

11、确的是 （ ）A、是 f(x) 的根的充分必要条件是 x-|f(x)B、若 f(x) 没有有理根，则 f(x) 在有理数域上不可约C、每个次数 1 的复数系数多项式，在复数域中有根D、一个三次的实系数多项式必有实根7、设 f(x)=x3-3x+k 有重根，那么 k=（ ）A、1 B、-1 C、2 D、08、设 f(x)=x3-3x2+tx-1 是整系数多项式，当 t=( )时，f(x) 在有理数域上可约。 A、1 B、0 C、-1 D、3 或-59、设 f(x)=x3-tx2+5x+1 是整系数多项式，当 t=（ ）时，f(x) 在有理数域上可约。A、t=7 或 3 B、1 C、-1 D、01

12、0、设 f(x)=x3+tx2+3x-1 是整系数多项式，当 t=( )时，f(x) 在有理数域上可约。A、1 B、-1 C、0 D、5 或-31 1、关于不可约多项式 p(x),以下结论不正确的是（ ）A、若 p(x)|f(x)g(x) ，则 p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)B、若 q(x)也是不可约多项式，则（ p(x),q(x)）=1 或p(x)=cq(x) c0C、p(x)是任何数域上的不可约多项式D、p(x)是有理数域上的不可约多项式 12、设 f(x)=x5+5x+1，以下结论不正确的是（ ）A、f(x) 在有理数域上 不可约B、f(x) 在有理数域上 可约C、f(x) 有

13、一实根D、f(x) 没有有理根13、设 f(x)=xp+px+1,p 为奇素数，以下结论正确的是 （ ）3A、f(x) 在有理数域上 不可约 B、f(x) 在有理数域上 可约C、f(x) 在实数域上 不可约D、f(x) 在复数域上 不可约答案：1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C12、B 13、A四计算题2 4 21、求 m，p 的值使 x +3x+2|x -mx -px+2解：用带余除法 求得 r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12) 令 r(x)=0 即3mm6p1500求得 m= -6 p=32、判断 f (x)=x4-6x2

14、+8x-3 有无重因式，如果有，求其重数解：f (x)=4x3-12x+8 (f(x), f (x)=(x-1)2x-1 是 f(x) 的三重因式4 3 23、设 f(x)=x -3x +6x -10x+16, C=3，求 f(c) 解：用综合除法求得 f(c)=404、决定 t 的值，使 f(x)=x3-3x2+tx-1 有重根解：由辗转除法使（f(x), f (x) ）求得 t=3 或 t=154当t=3 时 f(x) 有三重根 1 当 15 1t= 时，f(x) 有二重根 - 4 25、设 f(x)=x5+x4-2x3-x2-x+2，求 f(x) 的有理根， 并写出 f(x) 在实数域和

15、复数域上的标准分解式。解：有理根是 1（二重），2 实数域上分解式为 f(x)=(x-1)2(x+2)(x2+x+1)复数域上分解式为 f(x)=(x-1)2(x+2)(x+12-321 3i)(x+ i)2 26、求 f(x)=4x4-7x2-5x+1 的有理根，并写出 f(x) 在有理数域上的标准分解式。1 1解：有理根为（二重）分解式为 f(x)=4(x+ )2(x2-x-1) 2 27、求 f(x)=x5+x4-6x3-14x2-11x-3 的有理根，并写出 f(x) 在复数域上的标准分解式4(x-3) 解：有理根为 1（四重）3，分解式 f(x)=(x+1)8、已知 i, z-i 是

16、 f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5 的两个根，求 f(x) 的全部根解：全部根为 i,-i,2-i,2+i,129、求以 1-i, i 为根的次数最低的复系数多项式 f(x)2-x+(1+i) 解：f(x)=x10、求以 1 为二重根， 1=I 为单根的次数最低近的实系数多项式 f(x).4-4x3-x2-6x+2 解：f(x)=x41 1、已知 1-i 是 f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2 的根，求 f(x) 的全部根。解：全部根为 1+i,1-i,1+ 2 ,1- 2五证明题1、试证用 x 2-1 除 f(x) 所得余式为2-1 除 f(x) 所得余式为f（1）

17、f ( 1) f (1 ) fx2 2( 1)证明：设余式为 ax+b，则有 f(x)=(x2-1)q(x)+ax+bf(1)=a+b ,f(-1)=-a+b求得 a=f(1 ) f ( 1) f (1) f ( ,b2 21)2、证明，h(x)(f(x),g(x)=(f(x)h(x),g(x)h(x) ，其中 h(x) 是首项系数为 1 的多项式。证明：设（ f(x),g(x) ）=d(x) ，则 h(x)d(x)|h(x)f(x) h(x)d(x)|h(x)g(x) ，又存在u(x),v(x) ，使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d 有 h(x)f(x)u(x)+h(x)g(x)v

18、(x)=h(x)g(x) 于是h（x）d(x)=(h(x)f(x),h(x)g(x)3、证明，如果 f(x)|g(x)h(x), 且(f(x),g(x)=1 ，则 f(x)|h(x) 证 明 ： 由 (f(x),g(x)=1, 存 在 u(x),v(x) 使 得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1, 从 而f(x)u(x)h(x)+g(x)v(x)h(x)=h(x),f(x)|g(x)h(x),f(x)h(x) 所以 f(x)|h(x)4、证明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x) ）=(f(x),g(x)证 明 ： (f(x)+g(x)=d(x) 则 d(x)|f(x)+g(x)d(

19、x)|f(x)-g(x) 设 d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)r 的 任 一 公 因 式 则 d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x)d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故 d1(x)|f(x),d 1(x)|g(x),从而 d1(x)|d(x) 得证5、证明，g(x)|f(x)的充分必要条件是 g2(x)|f2(x) 2(x)=g2(x)h2(x)即g2(x)|f(x) 反之，设g2(x)|f2(x),将f(x),g(x)证明：设f(x)=g(x)h(x), 则 f l1(x) psls(x),g(x)=bp1r1(x)p

20、srs(x) 其中，li ri 为非负整数，pi (x)为互分解 f(x)= aP1 2(x)=a2p12l1(x) ps2ls(x),g2(x)=b2p12r1(x) ps2rs(x) 由不相 同的可约多项式那么 fg2(x)|f2(x),必有 2ri 2li,即rili 于是 g(x)|f(x) 。6、设 f(x)=anx n+an-1xn-1+a1x+a0 有 n 个非零根，n+an-1xn-1+a1x+a0 有 n 个非零根， 1 1 11, 2, , n ，证明 , , , 是 1 2 ng（x）=a0xn+a1xn-1+an-1x+an 的n 个根。证明：设 为 f(x) 的任一非

21、零根，则f( )=ann+an-1 n-1+a1 +ao=0g(1 1)=a0() n=( n+a1( 1 )n-1+ an-1( 1 )+an+a1( 1 )n-1+ an-1( 1 )+a1) n(an n+an-1 n-1+ +a1 +ao)=0 所以n(an n+an-1 n-1+ +a1 +ao)=0 所以1是 ( )g x 的根得证7、设 p(x)是次数大于零的多项式，如果对任意多项式 f(x) ，g(x)，由 p(x|f(x)g(x) ，可推出 p(x)|f(x) 或 p(x)|g(x)，那么 p(x)是不可约多项式证明：假设 p(x)是可约的，设 p(x)=p1(x)p2(x)

22、5其中 (p1 (x) (p(x), (p2(x) (p(x)显然 p(x)|p1(x)p2(x) 但 p(x)|P1(x), p(x)|p2(x)这与题设矛盾，即 p(x)是不可约的。8、设p(x)是数域 p 上不可约多项式，f(x) 是 p 上任一多项式， 那么 p(x)|f(x) 或(p(x),f(x)=1证明：设（ p(x),f(x) ）=d(x) 则 d(x)|p(x)由 p(x)不可约，知 d(x)=cp(x)， c0，或 d(x)=1当 d(x)=cp(x) 时，就有 p(x)|f(x)9、设 p(x),q(x) 是数域 p 上两个不可约多项式，证明（ p(x)q(x)）=1 或

23、 p(x)= cq(x) 证明：因 p(x),q(x)皆不可约，故有 (p(x),q(x)=1 或 p(x)|q(x)且 q(x)|p(x)即 p(x)=cq(x)10、证明，如果 x2+x+1|f1(x3)+xf 2(x3)那么 x-1|f1(x), x-1|f2(x)3-1=(x-1)(x 2+x+1) 证明：x设1,2 是 x 2+x+1 的根，则有2+x+1 的根，则有31 =1，3)+xf2(x3)的根，那么32 =1，且1,2 为 f1(x有f1(1)+ 1f2(1)=0f1(1)+ 2f2(1)=0因12 解得 f1(1)=0 f2(1)=0即 x-1|f1(x), x-1|f2

24、(x)1 1、设 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 是整系数多项式证明， 如果 a0，an均为奇数，f(1)，f(-1) 中至少有一个为奇数，那么 f(x) 无有理根证明：若 f(x) 有有理根uv，知 f(1),f(-1) 均为偶数，这与题设矛盾，所以 f(x) 无有理根。6第二章 行列式一填空题1、n 级排列 u(n-1)2 1 的逆序数是 。2、如果排列 a1a2 an 的逆序数是 k,则排列 anan 1 a1 的逆序数是 。2 1 1 13、112112111 1 1 2x x xa14、xxxa3a2000a40 0 00 0 0a15、000a3a2x0xa4x

25、 x x5x 1 2 3x x 1 236、 f ( x) 中x 的系数为1 2 x 3x 1 2 2x2x x 1 27、1 x 1 13 2 x 13中x 的系数为1 1 1 x8、若行列式中每一行元素之和都等于零，则行列式的值为 。1 1 0 09、00101101a4 a a a3 2 111 0 0a110、101101a2a30 0 1a41 1、在全部 n 级排列中，偶排列的个数为712、若排列 1 2 7 4 i 5 6 k 9 是偶排列，则 i= k=1 2 013、 5 1 2中 2的代数余子式是1 2 31 2 014、 5 1 2中5的代数余子式是1 2 315、6 级

26、行列式中项 a32 a43 a14 a51 a66 a25 的符号为 。16、6 级行列式中，项 a43 a32 a51 a14 a26 a56 的符号为 。1 a bc17、1 b ca1 c ab1 1 118、 a 1 b 1 c 1bc 1 ca 1 ab 1212 319、= 1 中 1 1 则= 。211 1 2 中 3 则= 。20、= 1 1 1 121答案：1、n(n21)2、n(n21)-k 3、5 4、 a1a2a3a4 5、a1a2a3a4 6、-5 7、-1 8、0，n! 19，a4+a3+a2+a1+1 10、a1+a2+a3+a4 11、12、i=8,k=3 13

27、、-4 14、-6 15、正 16、负 17、(b-a)(c-a)(c-b) 18、(b-a)(c-a)(c-b) 19、0 20、-3二判断题1、若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为 0 （ ）2、6 级行列式中，项 a32 a45 a51 a66 a25 带负号 （ ）a11a12a1na12a1na113、设 d=a21a22a2n则a22a2na21=d（ ）an1an2annan2anan18a11a12a1na21a22a2n4、设 d=a21a22a2n则 da a an1 n2 nn（ ）an1an2anna11a12a1n0 0 0 a 0 0 b x5、 ab

28、cd 0 c y y( )d z z zx y z a x y b 06、 abcd x c 0 0（ ）d 0 0 0a b c d 0 0 e f7、 0 0 0 g h（ ）0 0 x ya 0 0 0b 0 0 08、 a(gy hx) c e g x（ ）d f h y1 2 3 4 5 6 7 89、 0 1 1 1 1（ ）10 3 7 1010、若 n 级行列试 D 中等于零的元素的个数大于 n 2-n，则 D=0 （ ）0 0 b a1 1、0b0aa0b02 2 )2(b a（ ）a b 0 0a b 0 012、b0a00a0b2 2 )(a b2（ ）0 0 b a9c

29、 a d b a c d b13、 0 a c b d（ ）c a b d3 1 1 1 1 3 1 114、 48 1 1 3 1（ ）1 1 1 3a1a2a3a415、设 D=b1c1b2c2b3c3b4c4则a3 b2 c1 d3 是 D 的一项。（ ）d1dd d2 3 4a1a2a3a416、设 D=b1c1b2c2b3c3b4c4，则项 a3 b4 d1 c2 带正号。（ ）d1dd d2 3 417、如果行列式 D 的元素都是整数，则 D 的值也是整数。（ ）18、如果行列 D 的元素都是自然数，则 D 的值也是自然数。（ ）a1a219、 na a a1 2（ ）an0 1

30、0 00 0 2 020、 =n！ （ ）0 0 0 n 1n 0 0 0答案：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、三单项选择题1、排列 n(n-1)2 1 的逆序数为 （ ）10A、n-1 B、n(n21)C、n D、n(n21)2、关于 n 级排列 i1i2in,以下结论不正确的是（ ）A、逆序数是一个非负整数 B、一个对换改变其奇偶性C、逆序数最大为 n D、可经若干次对换变为 12n3、关于排列 n(n-1)2 1 的奇偶性，以下结论正确的是 （ ）A、当 n 为偶数时是偶排列B、当

31、 n 为奇数时是奇排列C、当 n=4m 或n=4m+2 时是偶排列D、当 n=4m 或n=4m+1 时是偶排列，当 n=4m+2或 n=4m+3 时奇排列4、以下乘积是 5 级行列式的项，且符号为正的是（ ）A、a31 a45 a12 a24 a53 B、a45 a54 a42 a12 a23C、a53 a21 a45 a34 a12 D、a13 a34 a22 a45 a51a1a2a3a4b b b b1 2 3 45、以下乘积是 的一项是符号为负的是c c c c1 2 3 4（ ）d1d d d2 3 4A、a3 b2 c1 d3 B、a3 b4 d1 c2 C、c2 b1 d3 c4

32、 D、a1 b2 c3 d4a11a12a1na12a1na116、设 d=a21a22a2n则a22a2na21= （ ）an1an2annan2annan1A、d B、-d C、(-1)nd D、(-1)n-1da11a12a1n7、设 d 如上，则an1an2amn= （ ）a11a12a1nA、(-1)nd B、(-1)n-1d C、d D、-da a an1 n2 nna a an 11 n 22 n 1n8、设 d 如上则 ( )a a a21 22 2na a a11 12 1nn(n 1)A、d B、-d C、( 1) d D、(-1)2n-1d110 0 0 1 00 0 2

33、 0 09、 =（ ）n 1 0 0 0 00 0 0 0 nn( n 1)A、n! B、 1 2 !nn (n 1)( n 2)C、 1 2 !nD、(-1) n n!n n!2 x 1210、设 3 x 1 =0，则 x=（ ）34 x 1A、1 B、0 C、1 或0 D、-11 1 11 1、设2 x3x x =0，则 x= （ ）1 2 3A、1 或 0 B、1 C、0 D、-12x x 2 112、f(x)=13x2111x中，x 3 的系数是 （ ）3 的系数是 （ ）1 1 x 1A、4 B、2 C、-1 D、1a 0 0 10 a 0 013、Dn= =( )0 0 a 01

34、0 0 aA、an-1 B、an+1 C、an-2-1 D、an-an-20 a b c 0 1 1 114、设 D1=ab0cc0ba，2 21 0 c bD2 2 21 c 0 a则 D1 与 D2 的关系为 （ ）c b a 02 21 b a 01 1A、D1= D2 B、D2=（abc）D1 C、D2 D1 D、D D12 2(abc ) ( abc)a 0 0 b15、00a00a00=（ ）b 0 0 a12A、a4(a4-b2) B、a4( a4+b2) C、a4( a2-b2) D、a2(a2-b2)0 a 0 016、b0c00d0e=（ ）0 0 0 fA、abcdef

35、B、-abdf C、abdf D、edf答案：1、B 2、C 3、D 4、A 5、B 6、D 7、B 8、C 9、C 10、C 11、A 12、D 13、A 14 15、D 16、B四计算题1 2 3 41、d=233441124 1 2 3解各列（行）加到第一列（行）后，各行（列）减去第一行（列） d=1601 x 1 1 12、d=111 x 1 1 1 y111 1 1 1 y2y2 解按第一列（行）拆成两个行列式之和 d=xa 0 0 10 a 0 03、Dn=1 0 0 an-2 2解：按一行列（行）展开 Dn=a (a -1)或由接拉普拉斯定理，按第 1，n 行（列）展开2 x 1

36、 x 1 124、求 x 的值使 3 x 1 +2x13=034 x 13x12x 1 1左式=2x1 6=5x 2(x-1) 故 x=0 或 x=12(x-1) 故 x=0 或 x=13x1 61 2 3 n 1 n1 1 0 0 05、 0 2 2 0 00 0 0 n 1 1 n13n-1解：各列各到第一列， （-1）(n 1)!2x a aa x a6、Dn=a a xn-1解：各行（列）都加到第一行 （列）后，各列（行）减去第一列 （行）Dn=x+(n-1)a(x-a)a b 0 0 00 a b 0 07、Dn=0 0 0 a bb 0 0 0 an+(-1)n+1bn 解：按第一

37、列展开 Dn=aa01 1 18、Dn+1=1 a 0 011 0 a 021 0 0an解：从第 2，3，n+1 列分别提出 a1,a2， ，an 后，第一列减去各列 Dn+1=a1 a2an(a0-n1i 1 ai)1 3 3 33 2 3 39、Dn= 3 3 3 33 3 3 n解：各行（列）减去第 3 行 Dn=6(n-3)!10、解关于 x 的方程a1a2anD(x)=a1a1aixan=0, 其中 aiaj ij a10a1a2an1anxa1a2an解：D（x）=0a x10=a1( a1-x) （an-1-x） 所以 x=a1,a2，an-1 或者：因0 0an1x14为 D

38、（ai）=0 i=1，, n-1 所以，x=a1, a2, , an-11 1 1a1 1 a 1 a 12 n1 1、Dn=2a1a1 22aa2 2naanna11na12 n2a1na22 nna1 nna2解从第二行起，各行减去上一行，得一范得蒙行列式 Dn=1j i n(ai-aj)3 21 3 2112、Dn=3 21 3解：按第一行展开 Dn=3Dn-1-2Dn-2 Dn-Dn-1=2(Dn-1-Dn-2) 继续下去，Dn-Dn-1=2n-2(D2-D1)2 Dn-Dn-1=2n 又按第一列展开 Dn=3Dn-1-2Dn-2 D2-D1=2Dn-2Dn-1=Dn-1-2Dn-2=

39、D2-2D1=1 解得 Dn=2n+1-12-1 Dn=3Dn-1-2Dn-2=3(2n-1)-2(2n-1-1)=2n+1-1 或用归纳法 D1=3=2五证明题c b1n n 11、证明 a b ) 0c ( 其中czi ic bni 1a1an0ai证明：将第 i 行乘以 n i n后加到第 1行 1, , c1a 1 1112、证明111a2111a311a a a1 2n(1in11ai)其中ai0 i 1, 2, ,n1 1 1 1an证明：按第一列拆成两个行列式的和，再用逆堆法 Dn=a1Dn-1+a2an=a1Dn-1+a a an1 2a115a1Dn-1=a1a2Dn-2+a

40、 a an1 2a3 a1a2an-2D2=a1a2 an-1D1+a a1 2an1an各式相加得证。3、设 b，a0，a1，an 是 n+2 个互不相同的数，且 a00a0a1a2ana0xa2anf(x)=a0a1xan证明（x-b，f(x) ）=1a0a1a2xa0a1a2an0 xa 010n证明：f(x)= 0 0 xa20 =a0(x-ai) 因为 b,a0, a1, ，an 互不相同，i 10 0 0 xan且 a00 (x-b,x-ai)=1 所以(x-b，f(x)=1a01 0 0 0a1x 1 0 04、证明 Dn+1=a20 x 0 0=a0x n+a1xn-1+an-

41、1x+ann+a1xn-1+an-1x+anan10 0 x 1an0 0 0 xn+Dn 继续下去即得 证明：按第一行展开 Dn+1=aox1 x2xnx15、D（x）=1a12a1na11其中 aia，ij，证明， D(x)是一个关于 x 的 n-11an1 2na1nan11次多项式，并求 D(x)的根。证明：因为展开式中每一项含且仅含第一行的一个元素，所以 D（x）是一个关于 x 的n-1 次多项式。D(x) 是一 个范 得蒙 行列式 D(x)= (x-ai)(ai-aj) D(an)=01 j i ni=1,2,n 所以 d(x)的根为 a1，a2，an166、设 a1，a2，an，

42、是数域 P中互不相同的数， f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+c1x+c 是 P上 一个 n-1 次多项式，说明，如果 f(ai)=0,i=1，2，n，则 f(x) 必为零多项式。证明：由 f(ai)=0，得一齐次线性方程组，其系数行列式为一范得蒙行列式，且不为 0 方程组只有零解，即 C0，C1，Cn-1 全为 0，即 f(x) 为零多项式。a b b 0 0 0a a b b 0 0n 1 n 10 a a b 0 0 a b7、证明 Dn= a b其中 a b0 0 0 a b b0 0 0 a a b证 明 ： 按 第 一 列 展 得 Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2

43、 写 成 Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2) 可 推 出n-2 nDn-aDn-1=b (D2-aD1)=bn同理有 Dn-bDn-1=a ，解得 Dn=an 1 n 1ba ba b ab 0 0 01 a b ab 0 0n 1 n 10 1 a b 0 0 a b8、证明 Dn= a b其中 a b0 0 0 a b ab0 0 0 1 a b证明 Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2 写成 Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)即 Dn-aDn-1=bn 同理 Dn-bDn-1=an 由ab，消去 Dn-1 得 Dn=an 1 n 1ba b0 1 1 1 11 0

44、x x x1 x 0 x x9、证明 Dn= ( 1) ( 1) 0n 1 n x 其中xn 21 x x 0 x1 x x x 0证明：将第一列的 -x 倍加到其他各列，再从第 2,3，n 列提出 x 后都加到第一列便得。175 3 0 0 02 5 3 0 010、证明 Dn=0 2 5 0 0n31 2n10 0 0 5 30 0 0 2 5证明：Dn=5Dn-1-32Dn-2n写成 Dn-3Dn-1=3(Dn-1-3Dn-2)=2同理 Dn-2Dn-1=3n解得 Dn=3n+1-2n+12 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 01 1、证明 Dn= n 10 0 0 2 1

45、0 0 0 1 2证明：Dn=2Dn-1-Dn-2 写成 Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2 可得 Dn-Dn-1=D2-D1=1 相加得 Dn=n+1第三章 线性方程组一填空1、一个向量线性无关的充要条件是这个向量为 。2、两个非零 n 维向量线性相关的充要条件是它的 。3、秩为 r 的向量组中任意 r+1 个向量都线性 。4、线性无关的向量组中任意一部分向量都线性 。185、在秩为 r 的矩阵中，任意 r+1 级子式等于 。6、线性方程组 AX=B 有解的充要条件是 。7、当= 时，齐次线性方程组x1x1x22x200有非零解。8、设线性方程组 AX=B 有解，并且 AX=0 的基础解系为

46、 X1、X2,特解为 X0，则 AX=B的任一解可表为 。9、若 n 元齐次线性方程组 AX=0 满足 r(A)= r，则 AX=0 的基础解系中有 个解 向量。10、在线性方程组 AX=B 有解的条件下，解释唯一的充分必要条件是 AX=01 1、矩阵 A 的秩为 0 的充要条件是 A= 。12、设矩阵 A 中有一个 r 阶子式不为 0 则 r(A) ， 设矩阵 A 中所有的 r+1 阶子式全为 0 则r(A)答案1、非零向量 2、分量成比例 3、相关 4、无关 5、0 6、r(A)=r(A B) 7、2 8、x0+k1x1+k2x2( k1k2 为任意数) 9、n-r 10、只有零解 11、

47、0 12、r r+1二判断题1、若向量组的秩为 r，则其中任意 r 个向量都线性无关。 （ ）2、若向量组的秩为 r，则其中任意 r+1 个向量都线性相关。 （ ）3、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。 （ ）4、当 a1=a2=ar=0 时，有 a11 +a2 2 +ar r =0, 那么1, 2 , , r 线性无关。（ ）5、若向量组 1, 2, , m 中每一个向量都不是其余向量的线性组合， 那么 1, 2 , , m 线性无关（ ）6、若向量组1, 2 , , r 线性无关，且 r 1不能由 1, 2 , , r 线性表出，那么 1, 2, , r也线性无关（ ）7、若向量组 1, 2 , , r 线性相关，则它的任意一部分向量也线性相关。 （ ）8、若向量组1, 2 , , r 线性无关，则它的任意一部分向量也线性无关。 （ ）9、在秩为 r 的矩阵中，一定存在不为 0 的 r-1 级子式。（ ）10、在秩为 r