直线方程一般形式教案

1、 直线方程的一般形式教学设计一 教材分析1直线是最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具。直线方程是学习圆锥曲线方程和其他知识的基础。本章教材是学生在初中掌握了平面直角坐标系、一次函数的图象及高一掌握了三角函数的基础上学习的，对高二学生来说是容易掌握的。2 两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式可求出直线方程并统一写成一般式。由于直线方程的几种特殊形式都有局限性，有必要引进一般式。直线的一般式方程中字母常数的几何意义不很鲜明，常常要将直线方程的一般式化为斜截式和截距式，所以本节课的重点是掌握直线方程的一般式及各种形式互化的方法

2、。3直线方程的形式虽然不止一种，但从方程的类型来看本质是相同的，其方程的类型都是二元一次方程，使学生从直观到理论来认识坐标平面上直线与二元一次方程的对应关系，由于直线与直线的方程是解析几何中曲线与方程概念的首次展现，所以曲线与方程的概念在这一节教学中要求不能太高，通过今后的教学逐步加深理解。本节课教学的关键是掌握直线方程各种形式的互化方法。二 教学目标：1.使学生经历直线方程一般式的推导过程，从一般式中实现直线点斜式，斜截式，截距式的相互转化，以及了解他们之间的相互转化。2.在直线一般式方程的学习过程中，由于用到分类讨论的数学思想，所以，进一步向学生贯彻分类讨论的学习思想。3.继续加强学生的观

3、察，理解，归纳，和总结能力。三教学重点：1. 直线方程一般形式的推导过程，即如何运用直线斜截式(斜率K存在的情况)，和X=C（K不存在）的情况得出我们直线方程的一般形式：AX+BY+C=0.2. 在得出了直线方程一般形式的情况下，怎么用一般形式表示出我们的几种特殊直线方程，比如：X=C ，Y=C等特殊直线。3. 几种特殊直线方程和一般形式的相互转化。 四教学难点：1. 直线方程的推导，二元一次方程与直线一般式方程之间的联系， 分类讨论过程和总结过程。2. 一般式方程与特殊方程之间的转化。3. 利用一般式方程表示特殊直线方程。五，教学过程： 师：我们已研究过直线方程的4种形状，请叙述这4种直线方

4、程，并各举一例，而且请指明它们的条件及应用范围。 (学生回答，教师打出投影片。见表三) 师：在平面内任意给定一条直线一定可以用以上4种形式之一来表示吗? (提出问题，再次突出4种直线方程的不足。) 生：不一定。 (引起学生的反思：研究了4种直线方程但并不能表示平面内任一条直线，是不是。从而呼唤有一种直线方程能表示平面内的任一条直线。) 师：是否有另一种直线方程能表示平面内任何一条直线?如果这样的直线方程存在，我们可以把它叫做。 生：（看书后回答），直线方程的一般形式-引出课题，并且写在黑板上。 此时，老师引导学生观察，几种特殊的直线方程，发现他们都含有两个未知数X和Y，并且都是一次的，所以直线

5、特殊形式都是关于X和Y的二元一次方程。 教师不失时机的提问：也就是说我们关于x，y的二元一次 方程都综合了我们几种特殊直线的一些特点，那它是不是我们寻找的直线方程的一般形式呢？ 在学生的思考下，提出我们开始推导。 师提问：我们在学习直线的表示的时候，我们是不是平面上的直线可以通过两种情况把它们表示出来，自己与学生一起回答：第一种斜率存在的时候，Y=kX+b，第二种斜率不存在的时候，X=c 老师此时在黑板上画出两种直线的几何形式 开始推导， 师： 那我们能不能把他们给转化为我们的二元一次方程的形式呢? 抽学生起来回答，并且要求学生在草稿纸上做。 学生回答能够推出， 教师开始利用利用学生的结果在黑

6、板上演算，并且得出能够实现把我们斜率存在的直线方程转化为我们的二元一次方程，紧接着讨论斜率不存在的情况。同样的得出结论。反过来，我们推导二元一次方程表示我们的特殊直线师：AX+By+C=0总表示直线吗?若是，它又表示怎样的直线，我们该怎么去研究? 生：根据A、B、C不同的取值来讨论。 师：分类讨论都要有个分类的标准，此处以什么为标准来分类好呢? (学生讨论鉴别，最后总结。) 生：根据直线斜率存在不存在两种情况来看，可以以B等不等于零来分类。 师：好，请你做一做。 生：1)若B0，方程AX+By+C=0可以移项，然后两边同除以B得，它就是直线方程的斜截式，表示斜率为的直线。 2)当B=0时，方程

7、AX+By+C=0变为AX+C=0。 若A0，则方程变为表示斜率不存在的直线。 若A=0，而此时就得看C了。 i)若C0，方程即为0x+0y+C=0，矛盾方程，没有图象。 ii)若C=0,方程即为0x+0y+0=0，。 师(追问)：此时Ax+By+C=0它表示什么图形? (升华，把学生的思维积极性调动起来，并且使学生对问题的把握不停留在表面，而是让学生积极挖掘一个看似简单知识的深刻内涵。) 生1：没想好。 生2：0x+0y+0=-0，对任意的x、yR都是成立的，因此它可表示平面内的任一点，也就是说这个方程此时可表示整个坐标平面。 师：解释得非常好。 (以上的讨论过程可视学生的情况具体操作。)

8、师：从上面的讨论过程看，AX+By+C=0到底何时表示直线呢? (观察，总结。) 1)B0，A0，2)B0，A=0，3)A0，B=0这3种情形下都表示直线。 即A或B0，即A、B中至少一个不为零。 结论：当A、B不全为零时，AX+By+C=0表示直线。并且它可以表示平面内的任一条直线。 师：是否可以说直线方程的一般形式是AX+By+C=0，其中A、B不全为零。它可以表示平面内的任一条直线? 学生：还需证明。 师生共同分析要证哪些方面： (1)平面直角坐标系内，任何直线的方程都可表示成AX+BY+C=0(A、B不全为零)的形式。 (2)方程AX+By+C=0(A、B不全为零)可表示平面直角坐标系

9、内的任意一条直线。 (证明过程可视学生的具体情况而适当给予分析引导，或可让学生课下自行证明。) 生：证明：1)平面内的所有直线都可分为两类：倾斜角a90，直线的斜率K存在，故直线可表示为y=kX+B，即KXY+B=0的形式，倾斜角a=90，直线的斜率K不存在，直线可表示为x=a，即xa=0。 由可知，平面直角坐标系中的任一直线的方程都可表示成Ax+by+C=0(A、b不全为零)的形式。故(1)得证。 (2)已知方程ax+by+C=0(A、B不全为零)，由以上的分析讨论可知： 1)当b0时，方程可化为y=，这是直线的斜截式，它表示平面直角坐标系内斜率存在的任意直线。 2)当b=0时，由于A、B不

10、同时为零，所以A0。此时AX+BY+C=0可化为X=，它表示平面内斜率不存在的任意直线。 由1)、2)可知，方程AX+By+C=0(A、B不全为零)可表示平面直角坐标系内的任意一条直线。 师：经过同学们的共同探索，我们得到结论：直线方程的一般形式存在(去掉前面画的问号)，且是AX+By+C=0(A、B不全为零)这样的二元一次方程。 师：从上面的讨论、证明过程我们可以看到直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式与直线方程的一般式是相互联系的。直线方程的各种特殊形式都可化为一般式，而直线方程的一般式也可以化为某种特殊形式。教师给出总结如下表；有了以上分析，我们来练习巩固一下 例1 已知直线经过点A

11、(4，6)，斜率为，求直线的点斜式；一般式；截距式。 解 经过点A(4，6)并且斜率为的直线的点斜式是： 化成一般式，得3X4y12=0， 化成截距式得。 例2 把直线L的方程X2y+6=0化成斜截式，求出直线L的斜率和在X轴与y轴上的截距，并画图。 解 直线L：X2y+6=0化成斜截式得，所以直线L的斜率，L在y轴上的截距B=3，在X轴上的截距a=-6。如图123。 (以上两个例题可由学生自己完成，教师打出投影片，并提醒学生注意。) (1)要求直线的斜率和纵截距，应化成斜截式；要求直线的横截距和纵截距，应化成截距式或用分别令x=0和y=0的方法来求。 (2)在画一条直线时，通常是用直线与两个

12、坐标轴的交点，这样较为方便。 例3 直线方程ax+by+C=0的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线：(1)与坐标轴都相交；(2)只与x轴相交；(3)是X轴；(4)是一、三象限角平分线。 (此例目的是加强学生对字母系数的各种可能情形的认识及培养学生数形结合解决问题的能力。) 解(1)A0，B0时，与坐标轴都相交(画草图)。 (2)B=0，A0时，只与x轴相交(画草图)。 (3)当B0，A=C=0时，是X轴。 (4)当A=B，C=0时，是一、三象限角分线。 例4 把直线L的方程MX+2Y4=0化成点斜式，求出直线L的斜率，并指出对任意m值，直线L的共同特征。 分析 把MX+2Y4=0化成点斜式可以有很多种形式，但要指出L的特征，无论m取何值，L都有不受影响的特点，因此可以想到把MX称到等式的右边得2y-4=-MX，2(y-2)=-MX，