直角三角形和勾股定理

1、【同步教育信息】一. 本周教学内容： 直角三角形和勾股定理【教学目标】 1. 知识与技能 （1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。 （2）掌握角平分线性质的逆定理。 （3）掌握勾股定理及其逆定理。 2. 过程与方法 （1）经历探索直角三角形全等条件的过程，把握直角三角形全等的条件，并能灵活地解决一些问题。 （2）通过本节的学习掌握勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理判定三角形为直角三角形。 3. 情感态度与价值观 （1）通过学习进一步培养动手操作的能力和锲而不舍的探索意识。 （2）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满

2、了探索性、知识性、趣味性，同时又具有严密的逻辑性，当然，许多数学问题又都源于生活实际，由此引出相关的内容，以培养大家应用数学的意识。二. 重点、难点： 1. 重点： 直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。 2. 难点： 直角三角形的性质和判定以及直角三角形全等的判定定理及其应用。【教学知识要点】 1. 直角三角形的性质： （1）在直角三角形中，有一个角为90。 （2）在直角三角形中，两锐角互余。 （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （5）在直角三角形中，如果一条直

3、角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。 2. 直角三角形的判定： （1）有一个角为90的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 直角三角形全等的判定方法： （1）SAS定理 （2）ASA定理 （3）AAS定理 （4）SSS定理 （5）HL定理（或简写成“斜边直角边”）： 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4. 定理： 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 5. 勾股定理： 直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2b2c2。 6. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么

4、这个三角形是直角三角形。【几点说明】 1. HL定理是判定直角三角形全等独有的方法，因此在应用这一性质时，必须点明“在Rt和Rt”中。 2. 直角三角形是特殊三角形，除具有特殊性外，还具有一般性，所以一般三角形全等的四种判定方法也适用于直角三角形，因此判定两个直角三角形全等的方法有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，其中HL是直角三角形所特有的。 3. 定理“角平分线上的点，到这个角的两边距离相等”与定理“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，二者是互逆定理，前者是角平分线的性质定理，后者是角平分线的判定定理。 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （

5、2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 5. 勾股定理与勾股定理的逆定理是一对互逆定理，前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理。 6. 勾股定理的逆定理把数的特征（a2b2c2）转化为形的特征（三角形有一个角为直角），因此逆定理的作用是提供了一个判定三角形是不是直角三角形的方法，它与前面讲的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来。【典型例题】基础知识题 例1. 如图甲，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别为R、S，若AQPQ，PRPS，则这三个结论中正确的是（ ） （1）ASAR（2）QPAR（3）

6、BRPCSP A. （1）和（2）B. （2）和（3） C. （1）和（3）D. （1）（2）和（3） 分析：几何中添加辅助线的实质是把不完整的基本图形补充完整，即构造基本图形，此题的切入点是从图中识别如图乙、丙、丁基本图形，并且联想有关定理，通过分解图，然后重组，问题便得到解决。 由乙图中角平分线性质定理的逆定理有12，且由HL知RtPARRtPAS，有ARAS，故（1）成立。 由丙图中，等腰三角形性质23，又由乙中知：12，13，推出QPAR，故（2）成立。 由丁图中，寻找判定直角三角形的条件有PRPS，虽然P在BAC的角平分线上，但PB不一定等于PC，即PBR不一定全等于PCS，所以（3

7、）不成立。 解：由上述分析可得，此题应选A。 说明：观察、分解、重组、构造是研究几何的基本方法，此题还体现了转化、化归思想。 例2. 如图甲，已知：BC90，M是BC的中点，DM平分ADC，试说明：AM平分DAB。 分析：要说明AM平分DAB，即说明34，借助于三角形全等的性质，需构造全等三角形，考虑到B90，需构造一个直角三角形，因此，过点M作MEAD于E，也可延长DM交AB的延长线于N。 解法1：如甲图，过点M作MEAD于E DEMAEM90 在MCD和MED中 MCDMED（AAS） MEMC（全等三角形的对应边相等） M是BC的中点 CMBM MEBM 在RtMEA和RtMBA中 Rt

8、MEARtMBA（HL） 34（全等三角形的对应角相等） AM平分DAB 解法2：如乙图，延长DM交AB的延长线于点N 在RtDMC与RtNMB中 RtDMCRtNMB（ASA） DMNM 1N（全等三角形的对应角相等，对应边相等） 又DM平分ADC 12 2N ADN是等腰三角形 又DMNM AM是DAN的角平分线 例3. 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D，D在AC上，若CD1，CD2BD2AC，求：AB的长。 分析：但要想求出AB，必须先设法求出AD、BD或找到AD、BD与AB的关系，注意到ACAB，则ADACCDAB1，只需再找出BD与AB的关系，这就必须从条件CD2BD2A

9、C得来。 解：ABAC，CD1 BDAC 说明：（1）利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的重要作用，在有垂直条件时，经常考虑到利用勾股定理去解。 （2）勾股定理反映的是三个量之间的关系，如果已知一个量，要设法求出另外一个量，或求出另外两个量之间的关系，才能求出第三个量，实质就是方程思想。 （3）在已知中没有垂直，或有垂直但与问题相距“较远时”，常需适当作辅助线，构造直角三角形，创造条件来利用勾股定理。能力提高题 例4. 如图，ABC中，ACB90，ACBC，直线MN过C点，ANMN于N，BMMN于N，那么MN与ANBM有什么关系？为什么？请说明理由。 分析：利用度量的方法可以猜出结论MNAN

10、BM，如何说明呢？可将MN拆成MC和CN，分别说明MCAN，CNBM即可，即要说明BMCCNA，已知MN90，ACBC，两个条件只要再找出一个即可。 解：结论：MNANBM 理由： 13（同角的余角相等） ANNM，BMMN MN90 在BMC和CNA中 BMCCNA（AAS） BMCN，MCAN（全等三角形对应边相等） MNMCCN MNANBM 说明：（1）当题目中的直角条件较多时，常用“同角或等角的余角相等”来说明角相等。 （2）在说明两条线段之和等于第三条线段时，常将较长的线段拆成两条线段的和，再分别说明拆成的两条线段与要说明的两条线段对应相等。 例5. 已知：a、b、c为ABC的三边

11、长，且a2b22c250710a24b52c，试判定ABC的形状。 分析：由条件a2b22c250710a24b52c联想到配方，运用非负数性质，求得a、b、c的值。 解： C90 故ABC是直角三角形 说明：本题将代数与几何融为一体，不妨细细体味其中的技巧。创新应用题 例6. 如图，在一张长48dm，宽10dm的长方形纸片长边竖直放一平面镜，一束光线从纸片顶点A处射入，恰好由O点反射后经过B点，求光线在纸片上通过的距离。 分析：在物理中的光学知识中，平面镜成像，凸透镜成像中的线路图不仅包含对称，而且有时也包含直角三角形，对有些题目也能用勾股定理解答。 解：作点A关于CD的对称点A，连接AB，

12、交CD于O点，则O点就是光的反射点。 AODBOC（AAS） OB26dm AA两点关于直线CD对称 说明：本题是以光的反射为背景的一道综合题，涉及丰富的几何知识，由此可见，数学是物理的基础。【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 填空题。 1. 在ABC中，若A35，B55，则此三角形为_三角形。 2. 在ABC中，A：B：C1：2：3，若AB10cm，BC的长是_。 3. 如图，在ABC中，A30，ACB90，CDAB于D，若BC3，则AB_，BD_。 4. 在RtABC中，C90，若a：b3：4，c10，则a_，b_。 5. 在ABC中，三边长分别为，则_。 6. 在ABC中，则ABC是

13、_三角形。 7. 在一个三角形中，若一边上的中点到另两边距离相等，则该三角形是_三角形。 8. 如图，在ABC中，AB2AC，BAC2B，AE平分BAC，则C的度数是_。二. 选择题。 1. 在判定三角形全等的三个条件中，至少要有（ ） A. 一个角对应相等B. 两个角对应相等 C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等 2. 下列命题中，真命题的个数是（ ） （1）有一个角为45的两个直角三角形全等 （2）斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等 （3）有一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等 （4）有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4

14、个 3. 等边三角形一边上的高与边长的比为（ ） A. B. C. D. 1：2 4. 下列数组中，不是勾股数组的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将两个全等的有一个角等于30的直角三角形拼在一起，其中两条长直角边在同一直线上，则图中有（ ）个等腰三角形。 A. 4个B. 3个C. 2个D. 5个三. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得MAN30，当他到B点时，测得MBN45，AB100米，你能算出AM的长吗？四. 已知：如图，PA、PC分别为ABC外角MAC与NCA的平分线，它们交于P，PDBM于D，PFBN于F。 求证：BP为MBN的平分

15、线。五. 如图，在RtABC中，ABAC，BAC90，O为BC的中点。 （1）请你写出O到ABC三顶点A、B、C的距离关系并证明。 （2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持ANBM，请判断OMN的形状，并证明。【试题答案】一. 1. 直角2. 5cm3. 6，1.5 4. 6，85. 6. 直角 7. 等腰8. 90二. 1. C2. C3. A4. D5. B三. 解：过M作MCAN于C 设MCx，则AM2x，BCx 根据勾股定理得： 解得： （米）四. 证明：过P作PEAC于E PA、PC分别是MAC与NCA的平分线，且PDBM，PFBN PDPE，PFPE PDPF 又PDBM，PFBN 点P在MBN的平分线上 BP为MBN的平分线五. 连结OA （1）OAOBOC O是RtABC斜边上的中点 OAOBOC （2）OMN是等腰直角三角形 ABAC，BAC90 OANB45 又ANBM，OAOB OANOBM NOABOM，ONOM 同理AOMCON OMN为等腰直角三角形【励志故事】金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上。有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了。