矢量分析课件习题练习

1、习题练习习题练习例例1 1 在圆柱坐标中在圆柱坐标中, ,一点的位置由一点的位置由 定出定出, ,求该点在求该点在: :(1)(1)直角坐标中的坐标直角坐标中的坐标;(2);(2)球坐标中的坐标球坐标中的坐标. . )3 ,32, 4(zzyx,sin,cos解解: (1): (1)由直角坐标系中的点与圆柱坐标系中的点的关系由直角坐标系中的点与圆柱坐标系中的点的关系有有: :3, 32)3/2sin(4, 2)3/2cos(4zyx(2)(2)由圆柱坐标系中的点与球面坐标系中的点的关系由圆柱坐标系中的点与球面坐标系中的点的关系有有: :1203/2,1 .53)3/4(tan, 534122r

2、故该点的直角坐标为故该点的直角坐标为)3 , 32 , 2(22zr)(tan1z故该点的球坐标为故该点的球坐标为)120,1 .53, 5(习题练习习题练习),m(rxyzrmreeez),m(oxyzmzeee22zr)(tan1zztan补补习题练习习题练习例例2 2 现有三个矢量现有三个矢量 为为cba、zkx jxyiczezezebeeeazr2)23(sin2cossinsincoscoscossin2222(1)(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示? ?哪些矢量可以由哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示一个矢量函数的旋度表示? ?分析分

3、析(1)(1) 如果这个矢量的旋度为零如果这个矢量的旋度为零, ,这个矢量就可以用一个标量这个矢量就可以用一个标量函数的梯度来表示函数的梯度来表示. .(2)(2)求出这些矢量的源分布求出这些矢量的源分布. .00gg习题练习习题练习0)(a如果这个矢量的散为零如果这个矢量的散为零, ,这个矢量就可以用一个矢量函数的这个矢量就可以用一个矢量函数的旋度来表示旋度来表示. .0 gag gg分析分析(2)(2)通量源通量源( (散度源散度源) )的体分布的体分布涡旋源涡旋源( (旋度源旋度源) )的面分布的面分布解解:(1):(1)在球坐标系中在球坐标系中0sincoscossin2sincosc

4、ossin2)sin(sin1)coscos(sinsin1)cossin(1sin1)(sinsin1)(12222rrrrrrrrrarararrrarsincoscoscossineeear习题练习习题练习0sinsincoscoscossinsinsin1sinsinsin122rrrerererarraarerererarrrsincoscoscossineeear故矢量故矢量 既可以由一个标量函数的梯度表示既可以由一个标量函数的梯度表示, ,也可以由一个矢也可以由一个矢量函数的旋度表示量函数的旋度表示a习题练习习题练习在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中sin2sin2sinsin)sin

5、2()cos(1)sin(11)(12222zzzzzzzbbbbzsin2cossin22zezezebz0sin2cossin1122zzzzeeebbbzeeebzzz故矢量故矢量 可以由一个标量函数的梯度表示可以由一个标量函数的梯度表示b习题练习习题练习在直角坐标系中在直角坐标系中0)2()()23(22zzxyxyxzcycxcczyx)62(22322yxkzxxyzyxkjic故矢量故矢量 可以由一个矢量函数的旋度表示可以由一个矢量函数的旋度表示czkx jxyic2)23(22习题练习习题练习(2)(2)这些矢量的源分布为这些矢量的源分布为0, 0aa0,sin2brb)62(

6、, 0yxkcc习题练习习题练习例例3 3 求标量函数求标量函数 的梯度及的梯度及 在一个指定方向的方向在一个指定方向的方向导数导数, ,此方向由单位矢量此方向由单位矢量 定出定出: :求求(2,3,1)(2,3,1)点的方向导数值点的方向导数值. .yzx2解解: :505504503kjiyxkzx jxyziyzxzkyzxyjyzxxi222222)()()(故沿方向故沿方向 的方向导数为的方向导数为505504503kjiel50550450622yxzxxyzell点点(2,3,1)(2,3,1)处沿处沿 的方向导数值为的方向导数值为le50112506050165036l习题练习

7、习题练习例例4 4 一径向矢量场在圆柱坐标有一径向矢量场在圆柱坐标有 , ,在球面坐标中有在球面坐标中有 , ,如果如果 , ,那么函数那么函数 会有什么特点呢会有什么特点呢? ?)(fef)(rfefr0 f)(rf解解: :在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中, ,由由 和和 有有0 f)(fef)()(1zaaaaz0)(1ff则则cf)(在球面坐标系中在球面坐标系中, ,由由 和和 有有0 f)(rfefr)(sin)(sinsin122ararrarrar0)(122rrfrrf2)(rcrf则则习题练习习题练习例例5 5 证明证明：（：（1 1） ；（；（2 2） ；（；（3 3） ，解：

8、解：（1 1）3 rara)(则则3r其中其中 ， 为一常矢量。为一常矢量。zky jxira3zzyyxxr（2 2）0zyxzyxkjir（3 3）zyxakajaiaaakajaizayaxazkzayaxayjzayaxaxirazyxzyxzyxzyx)()()()(习题练习习题练习补充：补充： )(2222222zyx直角坐标系直角坐标系 )(2222222zhyhxhh)(2222222zayaxaa圆柱坐标系圆柱坐标系 zzraeaaaeraaaeazhhhh22222222222222)2()2(1)(1习题练习习题练习球面坐标系球面坐标系 )csc2csc2(csc1)csc22(csc1)csc(2(sin1)(sinsin1)(122222222222222222actgaaraeactgaaraeaaactgaraeahrhrrhrrrhrrrrr习题练习习题练习例例6 6 图中所示导体中电位函数与图中所示导体中电位函数与 及及 无关无关( (取圆柱坐标系取圆柱坐标系),),并且电位函数满足并且电位函数满足 , ,已给定已给定 和和 , ,求电位函数的表达式以及电场强度求电位函数的表达式以及电场强度解解:(1):(1)在圆柱坐标系中由在圆柱坐标系中由有有0, 0u0,uu z02 u2222221)(1zhhhh01222u积分之得积分之得: