微分及其应用-导数的概念及计算

1、 导数的概念能力目标正确的认识导数并准确地理解导数的实质及其物理意义与几何意义 用夹板锤锻造工件,锤头上、下运动打击工件,使其获得塑性变性,求锤头下落时,在任一时刻t的速度(tv,如图1-1. 任务分析若将锤头视为质点,并设在时间t处质点的位移为(t ss=,则图1-1可以抽象为图1-2,由速度的定义,我们知道,如果作直线运动的物体在一段时间t内产生的位移为s,那么该物体的平均速度可由公式tsv=计算.“任务”中的锤头所作的是其速度v随着时间t的变化而变化的变速直线运动,即(tvv=,问题转化为:怎样求在任意时刻t处质点的速度(tv!从图1-2可见,当时间t由t变化到tt+时,锤头在时间段t内

2、所走过的路程为(t stt ss-+=(其中t称为时间t在时刻t处的增量,s称为位移s在时间tt=处的增量.于是,在时间t内质点的平均速度,即质点在时刻t处的平均速度为(t s(t s图1-2图1-1tt s t t s t t t s t s t s v -+=-=(0000 因此,当t 很小时,就可以用质点在时刻0t 处的平均速度v 近似地表示该质点在时刻0t 处的瞬时速度(0t v ,而且t 越小,近似程度就越高;所以,当0t ,即0t t 时,质点在时刻0t 处(即在时间段t 内的平均速度v 就无限地趋近于该质点在时刻0t 处的瞬时速度(0t v ,即(0t v v .这时,我们就称(

3、0t v 为v 在0t t 时的极限.一、极限的定义对于函数(x f y =,如果当自变量0x x (或x ,即其绝对值无限增大 时,函数(x f y =能无限地趋近于一个确定的常数A ,即A x f (,则称当0x x (或x 时,函数(x f 以A 为极限,或(x f 的极限存在.记作:A x f x x =(lim 0(或A x f x =(lim ,读作:当x 趋近于0x (或趋于无穷大时,函数(x f 的极限等于A .否则称当0x x (或x 时,(x f 的极限不存在.由极限的概念我们可以知道,“任务”中所求的锤头 在时刻0t 处的速度(0t v 就是当0t 时,锤头在时刻0t 处

4、 的平均速度v 的极限,即tt s t t s t sv t v t t t -+=(lim limlim (000000由此可知,“任务”中的锤头在任一时刻t 处的速度为t t s t t s t s v t v t t t -+=(lim lim lim (000.又如,11(lim 20=+x x 以及01lim =x x (如图1-3等等,都是函数的极限.关于极限的概念,在理解时应注意:1、在极限的定义中,函数(x f 无限接近于一个常数A ,是指|(|A x f -可以小到任意程度.2、函数的极限与自变量的变化趋势密不可分,如果自变量的变化趋势不同,即使是同一个函数,它的极限也会不同

5、.例如,11-=x y 、111lim 2=-x x 、211lim 21-=-x x 以及011lim =-x x 等情形.图1-33、在自变量的某一变化过程中,如果函数值不能与一个确定的常数无限地接近,则在此变化过程中,函数的极限不存在.如,当1x ,-=11x y (不趋近于一个确定的常数,我们称函数11-=x y 在1x 时极限不存在,但无限增大,常将其记作=-11lim1x x .【例题解析】例1 求下列极限:(1156(lim 21+x x x ; (211lim 21-x x x .解(11211516156(lim 221=+=+x x x ;(22111(lim 11(1(l

6、im 11lim1121=+=+=-+=-x x x x x x x x x . 二、导数的定义设函数(x f y =的自变量由x 变化到x +x ,相应的函数值由(x f y =变化到(x x f y +=(其中,x 称为自变量x 的增量,(x f x x f y -+=称为函数值y 的增量,则称x y =xx f x x f -+(为函数(x f y =关于x 的平均变化率,如果函数的平均变化率x y 在0x 时的极限xx f x x f x -+(lim 0存在,则称这个极限为函数(x f y =在点x 处的导数(也称之为瞬时变化率,记作dxdy,简记为y 或(x f ,即=(x f x

7、 y x 0lim=xx f x x f x -+(lim 0此时,我们说函数(x f y =在x 处可导;如果极限不存在,则称函数(x f y =在x 处不可导.可见,“任务”中所给质点的运动位移s 是时间t 的函数,即(t s s =,由导数的定义,它在时刻t 处的导数(t s 就是它在时刻t 时的速度(t v ,即tt s t t s t s t s t v t t -+=(lim lim(00例如,若51(=s ,即函数(t s s =在1=t 处的导数值为5,则说明质点在时刻1=t 时的速度为5=v ,表示为51(|(1=s t v t .例2 试求函数x y 2=在点1=x 处的导

8、数. 解 由导数的定义知,所求函数x y 2=的导数为xx x x x x x f x x f x y y x x x -+=+-+=2(2lim(lim lim000 xx x x x x x x x x x x 2(22lim2(2(2(2lim00+=+-+= 21222120(22-=+=x xx x ;因此,该函数在点1=x 处的导数值为=1|1(x y f 2212221=-. 例3 利用导数的概念,求在所给“任务”中提出的锤头在任意时刻t 处的速度.解 设锤头在时刻t 的位移为(t s s =、速度为(t v v =.根据物理学知识,我们知道,锤头所做的运动是自由落体运动,其运动

9、规律是221(gt t s s =.再根据导数的定义知,“任务”中所提出的锤头在任意时刻t 处的速度(t v v =就是其位移函数(t s s =对时间t 的导数,即gt t g gt t t s t t s t s t s t v t t t =+=-+=21(lim (lim lim(000故所求锤头在任意时刻t 处的速度为gt t v =(. 例4 试分析曲线(x f y =上的点x 处的导数(x f 与该点处的切线斜率切k ,比较发现二者的关系.解 如图1-4,设,(y x P 、Q 是曲线(x f y =上的两点,连接PQ 得割线PQ ,并且让点Q 无限地趋近于P 点,即P Q ,此

10、时割线PQ 就绕着点P 连续地转动,那么割线PQ 的极限位置PT 就称为曲线(x f y =在P 点处的切线,即割切k k Q Plim =.而割线PQ 的斜率xx f x x f x y k -+=(tan 割,所以切线的斜率 t a n l i m l i m t a nP=x Q k k 割切 xx f x x f x -+=(lim.又因为曲线(x f y =上的点x 处的导数 为xx f x x f x f x -+=(lim(0,所以有(x f k =切.可见,函数(x f y =在点x 处的导数(x f ,就等于该曲线(x f y =在点,(y x P 处的切线的斜率切k ,即(

11、x f k =切,称之为导数的几何意义.由导数的定义可知,导数的实质就是函数在某一点的变化率.而变化是无处不在且无时不在的,因此导数具有非常广泛的应用.比如,我们在物理学以及其它学科中已经学习过的密度、压强、比热、功率、工作效率等概念;在生活中经常用到降雨强度、车流量等概念,都是在刻画事物的变化率,在非均匀变化的状态下,对这些概念的精确刻画就是导数,即函数的变化率,这也就是导数的物理意义.又如在电工学中,通过导体截面的电量Q 是时间t 的函数(t Q Q =,它在时刻t 处的导数(t Q dtddt dQ =就是电流强度(简称电流I 电量对于时间的变化率; 在运动学中,质点运动的速度v 是时间

12、t 的函数(t v v =,它在时刻t 处的导数(t v dtddt dv =就是加速度a 速度对于时间的变化率. 例 5 已知正弦函数x y sin =的导数为x y cos =,求正弦线x y sin =在点23,3(处的切线方程. 解 由导数的几何意义知:213cos3=x y k 切,代入点斜式方程,即得所求的切线方程为3(2123-=-x y .例6 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生产的食品数量y (kg 是其工作时间x (h 的函数。假设该函数y =f (x 在x =1和x =3点的导数分别为41(=f 和5.33(=f ,解释它们的实际意义.解 导数41(=f ,说明当

13、时间x 趋于1时,平均变化率11(-x f x f 的值趋于4,它表示该工人上班后工作到1小时的时候,其生产速度即工作效率为4kg /h ,也就是说,如果保持这一工作效率的话,他每小时可以生产4千克的食品;而导数5.33(=f ,则说明当时间x 趋于3时,平均变化率33(-x f x f 的值趋于3.5,它表示该工人上班后工作至3小时的时候,其生产速度即工作效率为3.5kg /h ,也就是说,如果保持这一工作效率的话,他每小时可以生产3.5千克的食品. 1、物体从某一时刻开始运动,设s 表示此物体经过时间t 走过的路程,显然s 是时间t 的函数:(t s s =,在其运动的过程中测得了如下数据

14、: 试问(1?(2假设函数(t s s =在t =1和t =3点的导数分别为21(=s 和13(=s ,解释它们的实际意义.2、已知抛物线43(2-+=x x x f 在其上一点0,1(p 处的导数为51(=f ,试求该抛物线在点p 处的切线方程和法线方程. 导数的运算能力目标能够准确地进行导数的运算并能正确地应用导数解决实际问题.任务提出 在工程技术以及机械加工中,常常会遇到一种曲柄滑块机构,如图1-5所示.当半径为r 的主动轮以等角速度旋转时, 长为l 的连杆AB 就带动 滑块B 在槽内作水平往 返运动.若运动从0= 开始,试求:滑块B 在 任意时刻t 的运动规律(t s s =及其速度(

15、t v v =. 如图1-5,设滑块B 到主动轮中心的距离为s ,由题意知,这里的s 、是随着时间t 的变化而变化的,即(t s s =且t =,又由几何关系22cos AC l r CB OC s -+=+=222sin cos r l r -+=,即 (s i n c o s (222t r l t r t s s -+=,这就是所求滑块B 的运动规律. 又由导数的定义可知,滑块B 的速度v 是(t s s =对时间t 的导数,即(sin cos(222-+=t r l t r t s v ,这里所得到的是一个比较复杂的函数的导数,如果根据导数的定义对其求导,则会非常麻烦,那么,该如何计算

16、这个导数呢?为此,我们有必要寻求有关于导数运算的一般方法,这就是导数运算的基本公式以及求导法则. 根据导数的定义,我们可以知道求导数的一般步骤为: 1、求增量:(x f x x f y -+=2、算比值:x y =xx f x x f -+( 3、取极限:x y y x =0lim =xx f x x f x -+(lim 0例如:用定义求函数2(x x f =的导数因为(x f x x f y -+=22(x x x -+=22x x x +=,所以xyx x +=2, 从而有=y xyx 0limx 2=,即(2x x 2=可见,用导数的定义求函数的导数比较繁琐,那么是否还有更好的求导方法

17、呢?这就是能够揭示导数运算规律的求导公式和求导法则!一、导数的基本公式 对于常见的基本初等函数(即幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数与反三角函数和常数函数的导数,根据导数的定义,可以得到如下求导公式并且可以在以后的运算中直接应用:1、常函数的导数 0=c (c 为常数;2、幂函数的导数 1(-=n n nx x (n 为实数;3、对数函数的导数 (l o g x a a x ln 1=,xx 1(ln =; 4、指数函数的导数 a a a x x ln (=,x x e e =(;5、三角函数的导数 x x c o s (s i n =,x x sin (cos -=,x x 2sec (

18、tan =,x x 2csc (cot -=,x x x tan sec (sec =,x x x cot csc (csc -=; 6、反三角函数的导数211(arcsin xx -=,211(arccos xx -=,211(arctan x x +=, 211cot (x x arc +-=. 上述求导公式,有兴趣的读者可以运用导数的定义自行加以证明,你不妨一试!二、导数的四则运算法则若函数(x u u =、(x v v =在点x 处可导,则 1、函数(v u 在点x 处也可导,且v u v u =(即,两个可导函数的代数和的导数,等于这两个函数的导数的代数和;例如,x x x x x

19、x sin cos s co n si cos (sin +=-=-. 2、函数cu 在点x 处也可导,且 u c cu =(,(c 为常数 即,常数与可导函数的积的导数,等于这个常数乘以该函数的导数;例如,x x x 6(33(22=;x x x e x e x e x 3cos 2(3n si 213sin 21(+=+=+.3、函数(uv 在点x 处也可导,且 v u v u uv +=(,0(v即,两个可导函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数;例如,212122(2(22(-=x x x x ;(cos sin cos (sin cos

20、 (sin +=x x x x x x x x 22sin cos -=x 2cos =.4、函数v u 在点x 处也可导,且 2(vv u v u v u -= 即,两个可导函数的商的导数,等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数,再除以分母的平方.例如,2222222222221(11(21(1(1(1(1(-+-=-=-=-x x x x x x x x x x x x .【例题解析】例1 求x x f =(的导数.解 由幂函数的求导由公式1/(-=n n nx x ,可得xx x x x f 212121(2112121=- 例2 已知函数x x f 2(=,求0(f 解 因为2l

21、n 22(/x x x f =,所以2ln 2ln 20(0=f 例3 求下列各导数(13sin 52(35-+-=x x x x f ;(2x x y sin 2=;(31+=x e y x .解(1565(24+-=x x x f ;(2x x x x x x x x y cos sin 2(sin sin (222+=+=;(32221(1(1(1(1(1(1(+=+-+=+-+=+=x xe x e x e x x e x e x e y xx x x x x . 三、复合函数求导法则定义 设函数(u f y =、(x u =,若x 在某一区间上取值时,与其对应的(x u =能使得函数

22、(u f y =有意义,则称y 是x 的复合函数.记作:(x f y =,其中u 叫做中间变量.通常,(x f y = 叫做由函数(u f y =、(x u =复合而成的复合函数.想一想12+=x y 是复合函数吗?例如,x y 2sin =是由函数u y sin =、x u 2=复合而成的复合函数;而复合函数x y 2sin =则是由函数2u y =、x u sin =复合而成的;22x a y -=就由函数u y =、22x a u -=复合而成.例4 试分析函数12+=x y 的复合过程解 所给复合函数函数的复合过程为u y =、v u =、=v 、12+=x .复合函数的求导法则 如果

23、函数(x u =在某一点x 处有导数(x u x =,函数(u f y =在对应点u 处有导数(u f y u =,那么复合函数(x f y =在该点x 处也有导数,并且等于导数(u f 与导数(x 的乘积,即 =(u f x f x (x 或dx du du dy u y y xu x = 例5 试求函数sin(x y =的导数(为常数解 因为u y sin =、x u =,所以 =u u y y x u x cos /cos(x .例6 求函数xy 2sin 2=的导数解(法1令u y 2=,2v u =,x v sin =,则2ln 2/u u y =,v u v 2/=,x v t c

24、os /=,故2ln 2sin 2cos 22ln 22sin /x x v y x u x =.注意到复合函数是由二个及以上的函数复合而成的,因此求导法则可简述为:由“外”向“里”逐层求导,也就是先对最外面的一层函数求导,同时将内层的函数视为一个整体相当于一个自变量,然后再乘以这个整体的导数.例如,xy 2sin 2=这个函数的最外面一层是指数函数,将x 2sin 视为一个整体,先对指数函数求导,然后乘以x 2sin 的导数.(法2(sin 2ln 22(2sin sin 22=x y x x (sin sin 22ln 22sin =x x xx x xcos sin 22ln 22sin

25、 =2ln 2sin 22sin x x=.任务实施提示 在引进了中间变量u 后,要注意适时还原;在熟练掌握了复合函数求导数的技巧后,可不必出现中间变量u 、v ;对于较复杂的函数的求导,还可以借助于数学软件得到. 例7 完成前述所提出的“任务” ，求滑块 B 在时刻 t 的运动速度 v = s(t . 解 运用求导公式和复合函数的求导法则得 v = s(t = r sin( t r 2 sin 2( t l 2 r 2 sin 2 ( t ， 这就是所求滑块 B 的运动速度. 知识链接 四、二阶导数 通常，我们把函数 y = f (x 在任意一点 x 处的导数 y = f (x 或 为函数

26、y = f (x 的一阶导函数，简称为一阶导数或导数. 若 y = f (x 的一阶导函数 y = f (x 仍然是 x 的可导函数， y = f (x 的导 则 数 ( y = f ( x 就称为函数 y = f (x 的二阶导数，记作 y 、 d2y 或 f (x . dx 2 dy = f (x 称 dx 例如， 函数 y = ( x 3 + 1 2 的一阶导数为 y = 2( x 3 + 1 3 x 2 = 6( x 5 + x 2 ， 它的二 阶导数就是 y = ( y = 6(5 x 4 + 2 x ，等等. 五、用数学软件 Mathematica 求函数的导数 1、求函数 y =

27、 f (x 的导数的命令格式为： D f ( x, x 2、求函数 y = f (x 的 n 阶导数的命令格式为： D f ( x, x, n 提示 作变速 例如，求函数 y = x 2 e 2 x 的三阶导数： 输入命令：Dx2 E(2x,x,3 按 Shift+Enter 键，屏幕显示结果： 12e 例8 2x 直线运动的 物体，若已知 s = s(t ，则 由导数的物 一质点沿直线运动，已知其位移 s （单位：米）是时间 t （单位：秒） 理 意 义 知 + 24e x + 8e x . 2x 2x 2 的函数： s = s (t = 10 t + 5t 2 ， v = s(t 、 （1

28、）求 t 从 1 变到 4 时，位移 s 关于时间 t 的平均变化率，解释它的实际 a = s(t . 意义； （2）求 s ，并计算 s (1 、 s (4 ，解释它们的实际意义； （3）求质点在 t 秒时的加速度. 解 （1）当 t 从 1 变到 4 时，位移 s 从 s (1 = 15 变到 s (4 = 100 ，则位移 s 关 11 s(4 s(1 100 15 28.3 ， = 4 1 4 1 实际上， 它表示在从 t1 秒到 t3 秒这段时间， 质点平均每秒的位移为 28.3 米；用物理学知识解释就是：质点在 t1 秒到 t4 秒这段时间内的平均速度为 28.3 米/秒. 于时间 t 的平均变化率为 （2）因为 s / (t