有理数的乘方及混合运算(提高)知识讲解

1、有理数的乘方及混合运算(提高)【学习目标】1 .理解有理数乘方的定义；2 .掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3 .进一步掌握有理数的混合运算 .【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做哥(power).即有：1ga夕4gan个an.在an中，a叫做底数,n叫做指数.指数底数要点诠释：(1)乘方与哥不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，塞是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.(3) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51,指数1通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(

2、3)(1)正数的任何次哥都是正数；(2)负数的奇次哥是负数，负数的偶次哥是正数；0的任何正整数次哥都是 0; (4)任何一个数的偶次哥都是非负数，即 直工之0 .要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定哥的符号，然后再计 算哥的绝对值.(2)任何数的偶次哥都是非负数.要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：(1)有理数运算分三级， 并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算， 乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)

3、是第三级运算；(2)在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】类型一、有理数的乘方6计算:(1) 34；34； (-3)4；(- 3)423(2)3【答案与解析】由乘方的定义可得：(1)3 4=3X3X3X3=81;-34= - (3X 3X 3X 3) = -81 ;(3)4(3)(3) ( 3) ( 3) 81(3)4(3)(3)(3)(3)8123(2)一32 3(3)2(3)2(3)2(3)27(3)33)3)827(2)33(2)(2)3(2)【总结升华】注意(a)n与an的意义的区别.(a)2

4、na2n (n 为正整数)，(a)2n 12n 1(n为正整数)举一反三：【变式1】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5) X(- 5) X (- 5) =-125,而-53表示5的3次方的相反数，即-53=-( 5X5X5).因此，它们的底数不同，表示的意义不同.【变式2】已知a 2,且a 2 4,则a3的倒数的相反数是 入 1【答案】1 8类型二、乘方运算的符号法则 2,不做运算，判断下列各运算结果的符号.5(- 2) 7, (- 3) 24, (- 1.0009)2009,5, -(- 2) 20103【答案

5、与解析】根据乘方的符号法则判断可得：55(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；-3运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负.【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0,指数不为。时，结果是0;当底数是负数时，再看指数， 若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数， 结果为负.举一反三【变式】当n为奇数时，1L【答案】0类型三、有理数的混合运算(2)2)3+(- 3)-(- 5)73-6X (- 7) 2-(- 1) 10 +(- 214-24+214)(4)21211311213-24434130.2【

6、答案与解析】(1)-(-3)2+(- 2)3+(- 3)-(- 5)=-9+(- 8) + (- 3+5)=-9+(- 8)+2=-9+(- 4) =-13(2) 73-6X(- 7)2-(- 1)10 +(- 214-24+214)= ( 7X 72-6X 72-1)-(- 214+214- 24)= 72X(7-6)- 1+(- 24)= (49-1) +(- 24)=-2(3)有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算1122原式 (2 -)1 1118 324(4)将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算16116140215)60231342410.2 3(4555)242 245

7、6 125241253912040【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提. 1八 八【变式】计算：(1)1- 1- 0.5X- X 2- -3(3)23-413(2) -1 - X 2- -3 6“、1 1 _-(3) (1 _ + _- 2.75) X(-24)+(-1)3 82011-2 3(4)(-0.1)(-0.2)”|-2-3|【答案】（1）原式 d 516，、1或原式=（1-1+ 2-X -71、，、17-)(2-9)=-X-7=-366，、一，1 八 一(2)原式=-1- X 2- -27 6, 1、，“=-1- X 29 =-63564111

8、”、/(3)原式=+ )X(-24)-1-3 8 48 =-32-3+66-9=2211, C(4)原式 +|-8-0.0010.043|= -1000-25+11=-1014【答案与解析】逆用分配律可得：2011-2012-2011-2012-20112011-2011(2)2222( 1 2) 1 22【总结升华】 灵活运用运算律，简化运算.另外有22n 1 22n 22n;22n 22n 1举一反三：【变式 1】计算：220 219 218 217 216 . 24 23 22 2【答案】原式 d nd Q4 74 a/Qo4 Q4 74 GAQO19C18C17C164 43 32 2

9、 CC18C17C16C4C3C2=2222.2222 222.222.22 2 2【变式2】计算：(3)7 ( -)7 433 434【答案】(3)7(4)7(3)(4)714 343_2n 12类型四、探索规律5.下面是按一定规律排列的一列数:第1个数：-11221第2个数： 311 1 ( 1)21 ( 1)3234第3个数：1111415g155 423456111( 1)21( 1)30 1( 1)2n1第n个数:那么，在第11 1g 12342nD.第13个数10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是(A.第10个数 B.第11个数C.第12个数【答案】A3个数结果

10、为,分子、分母相【解析】第1个数结果为1 1 0 ;第2个数结果为 2 2114 3 6 5一;；发现运算中在 1后边的各式为_ 约为1,所以第n个数结果为1,把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即 2可.【总结升华】 解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳， 从看 似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循.举一反三 【变式】观察下面三行数：-3, 9, -27, 81, -243, 729,0, 12, -24, 84, -240, 732,-1, 3, -9, 27, -81, 243,(1)第行数按什么规律排列 ？(2)第行数与第行数分别有什么关系？(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和.【答案】(1)第行数的规律是：-3, (-3)2, (-3)3, (-3)4,；(2)第行数是第行数相应的数加3,即：-3+3