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文档简介
1、有理数的乘方及混合运算(提高)【学习目标】1 .理解有理数乘方的定义;2 .掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;3 .进一步掌握有理数的混合运算 .【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做哥(power).即有:1ga夕4gan个an.在an中,a叫做底数,n叫做指数.指数底数要点诠释:(1)乘方与哥不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,塞是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.(3) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(
2、3)(1)正数的任何次哥都是正数;(2)负数的奇次哥是负数,负数的偶次哥是正数;0的任何正整数次哥都是 0; (4)任何一个数的偶次哥都是非负数,即 直工之0 .要点诠释:(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定哥的符号,然后再计 算哥的绝对值.(2)任何数的偶次哥都是非负数.要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释:(1)有理数运算分三级, 并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算, 乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)
3、是第三级运算;(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】类型一、有理数的乘方6计算:(1) 34;34; (-3)4;(- 3)423(2)3【答案与解析】由乘方的定义可得:(1)3 4=3X3X3X3=81;-34= - (3X 3X 3X 3) = -81 ;(3)4(3)(3) ( 3) ( 3) 81(3)4(3)(3)(3)(3)8123(2)一32 3(3)2(3)2(3)2(3)27(3)33)3)827(2)33(2)(2)3(2)【总结升华】注意(a)n与an的意义的区别.(a)2
4、na2n (n 为正整数),(a)2n 12n 1(n为正整数)举一反三:【变式1】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点:它们的结果相同,指数相同;不同点:(-5)3表示-5的3次方,即(-5) X(- 5) X (- 5) =-125,而-53表示5的3次方的相反数,即-53=-( 5X5X5).因此,它们的底数不同,表示的意义不同.【变式2】已知a 2,且a 2 4,则a3的倒数的相反数是 入 1【答案】1 8类型二、乘方运算的符号法则 2,不做运算,判断下列各运算结果的符号.5(- 2) 7, (- 3) 24, (- 1.0009)2009,5, -(- 2) 20103【答案
5、与解析】根据乘方的符号法则判断可得:55(-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1.0009)2009运算的结果是负;-3运算的结果是正;-(-2)2010运算的结果是负.【总结升华】 “一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0,指数不为。时,结果是0;当底数是负数时,再看指数, 若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数, 结果为负.举一反三【变式】当n为奇数时,1L【答案】0类型三、有理数的混合运算(2)2)3+(- 3)-(- 5)73-6X (- 7) 2-(- 1) 10 +(- 214-24+214)(4)21211311213-24434130.2【
6、答案与解析】(1)-(-3)2+(- 2)3+(- 3)-(- 5)=-9+(- 8) + (- 3+5)=-9+(- 8)+2=-9+(- 4) =-13(2) 73-6X(- 7)2-(- 1)10 +(- 214-24+214)= ( 7X 72-6X 72-1)-(- 214+214- 24)= 72X(7-6)- 1+(- 24)= (49-1) +(- 24)=-2(3)有绝对值的先去掉绝对值,然后再按混合运算1122原式 (2 -)1 1118 324(4)将带分数化为假分数,小数化为分数后再进行运算16116140215)60231342410.2 3(4555)242 245
7、6 125241253912040【总结升华】有理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提. 1八 八【变式】计算:(1)1- 1- 0.5X- X 2- -3(3)23-413(2) -1 - X 2- -3 6“、1 1 _-(3) (1 _ + _- 2.75) X(-24)+(-1)3 82011-2 3(4)(-0.1)(-0.2)”|-2-3|【答案】(1)原式 d 516,、1或原式=(1-1+ 2-X -71、,、17-)(2-9)=-X-7=-366,、一,1 八 一(2)原式=-1- X 2- -27 6, 1、,“=-1- X 29 =-63564111
8、”、/(3)原式=+ )X(-24)-1-3 8 48 =-32-3+66-9=2211, C(4)原式 +|-8-0.0010.043|= -1000-25+11=-1014【答案与解析】逆用分配律可得:2011-2012-2011-2012-20112011-2011(2)2222( 1 2) 1 22【总结升华】 灵活运用运算律,简化运算.另外有22n 1 22n 22n;22n 22n 1举一反三:【变式 1】计算:220 219 218 217 216 . 24 23 22 2【答案】原式 d nd Q4 74 a/Qo4 Q4 74 GAQO19C18C17C164 43 32 2
9、 CC18C17C16C4C3C2=2222.2222 222.222.22 2 2【变式2】计算:(3)7 ( -)7 433 434【答案】(3)7(4)7(3)(4)714 343_2n 12类型四、探索规律5.下面是按一定规律排列的一列数:第1个数:-11221第2个数: 311 1 ( 1)21 ( 1)3234第3个数:1111415g155 423456111( 1)21( 1)30 1( 1)2n1第n个数:那么,在第11 1g 12342nD.第13个数10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是(A.第10个数 B.第11个数C.第12个数【答案】A3个数结果
10、为,分子、分母相【解析】第1个数结果为1 1 0 ;第2个数结果为 2 2114 3 6 5一;;发现运算中在 1后边的各式为_ 约为1,所以第n个数结果为1,把第10、11、12、13个数分别求出,比较大小即 2可.【总结升华】 解答此类问题的方法一般是:从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳, 从看 似杂乱的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循.举一反三 【变式】观察下面三行数:-3, 9, -27, 81, -243, 729,0, 12, -24, 84, -240, 732,-1, 3, -9, 27, -81, 243,(1)第行数按什么规律排列 ?(2)第行数与第行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.【答案】(1)第行数的规律是:-3, (-3)2, (-3)3, (-3)4,;(2)第行数是第行数相应的数加3,即:-3+3
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