专转本数学模拟试题与解析(四)资料

1、江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（四）解析高等数学注意事项：1 .考生务必将密封线内的各项填写清楚。2 .考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3 .本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、下列极限存在的是 （）x 1alim 4b lim -zc lim inxa、5b、t3x3 -1c、t+1 limsin x 1x -12、函数y = x -1在则x =1处（）a、连续b、不连续c、可导3、

2、函数 f（x）=xsinx在闭区间10,1】上的最大值为（d、可微）a、0b、1c、1 -sin14、不定积分 f f b/x)dtx =()a、f(7x)b、f (vx)+cc、f (x)jid、一2d、f (x) c5、方程y+2y+y =e=sinx的特解形式为（）a、ae sin x2 -x b. ax e sin x18x ，c、e (asin x b cos x)2 ,、d、ax (sin x cosx)6、直线 工二=y =z1与平面的x-y +z = 1的位置关系是（）21-1a、垂直b、平行冗冗c、夹角为一d、夹角为一43二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把

3、正确答案的结果添在划线上）2ax bx 2 一。错误！未找到引7、已知a, b为常数，lim=3,则2 =2x -1用源。,1.8、d=dx1 x3_ 2_ .9、y=x -3x +5的拐点是10、定积分 j4x2(1x3)dx =n11哥级数z (-1)n 的收敛域是、n4n12、设 z + ez=xy,fz则丁 =二 y三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、求极限1 -cosx limx-0 xsin x14、已知摆线的参数方程卜=a(t-sint),求义 y = a(1 - cost)dx215、求不定积分1 1 xdx。1 exdx。2116、计算定积分.2x.,x

4、2 -117、计算j(x + y)dxdy,其中d由y = x2,y = x在第一象限所围的区域。 d三 ：2z,fx ；x；y18、已知函数z = f (x2 y2,xy),其中f (u,v)有二阶连续偏导数，求19、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于2x + y,并且曲线通过原点。x -2 y 1 z-2 一20、求过点(2,1,1),平行于直线 =1=且垂直于平面x + 2y 3z + 5 = 0的32-1平面方程。四、证明题(每小题9分，共18分)21、证明：当 xa0 时，ln(1+x)1x-10解析：求极限时，先判断极限类型，若是0或一型可以直接使用罗比达法则，其余类

5、型可00以转化为0或一型。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大0量阶的比较，无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量等性质。极限存在是指它的极限为一个有限的数值，无穷或振荡均属极限不存在情况。x3 11 一一，一,lim上一二-(最高次系数比值)，故本题答案选bx : 3x3 -132、函数y = x -1在则x =1处()c、可导也可从几何直观上加以解释。d、可微连续是指曲线在该点a、连续b、不连续解析：本题考查可导与连续之间的关系。没有断开，可导是在连续的基础上考查曲线在该点的光滑性(“尖”点处没有导数)。连续是可导的必要而非充分条件。故本题答案选a3、函数 f(x)=

6、xsinx在闭区间b,1】上的最大值为()冗a、0b、1c、1 -sin1d、2解析：本题考查闭区间上连续函数最值求法。先求区间内部的可能极值点(驻点、不可导点)，再将它们所对应的函数值与区间端点的函数值进行比较即可。又f(x) =1cosx之0, f (x)在闭区间(0,1)上单调递增，故f(x)在x=1处取得最大值，最大值f (1) = 1 -sin1,故本题答案选 c4、不定积分f(jx)djx=()a、f(vx)b、f(vx)+cc、f (x)d、f(x) + c解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。求f(x)的不定积分就是找那些导数为f(x)的所有函数全体，不定积分求解正确与

7、否，只要反过来求导是否为被积函数即可。f (、, x)d . x：= f (.、x) c ,故本题答案选 bx5、方程y“+2y+y=e sinx的特解形式为()x2 x .a、ae_ sin xb. ax e_ sin x-x2， .、c、e (asin x b cos x)d、ax (sin x cosx)解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。(1)齐次方程y+py+qy =0 ,其中p,q为常数。求解步骤：1)特征方程 九2+ p九十q = 0,求根九1,%。2)儿，九2互异实根，y =ge+c2e%x,% = % , y = ge* + c2xe&x ；%,

8、2 = c(土i p (p。0), y = e(c1 cos p x + c2 sin p x)。(2)非齐次方程y + py + qy = f (x),通解为其所对应的齐次方程通解加上本身特解一第一种：f (x) =e谯pm(x ),其中r(x )表示m次多项式。解结构：y =齐次方程通解y +特解y*。特解y形式设定如下：(1)识别 ct ,m ；(2)考查a作为特征根的重数个数 k ;(3)特解可设为 y * (x) = xke8qm (x ),0p不是特征根；其中qm(x/示m次多项式。k = 1,a是单根；、2p是二重根；第二种：f (x)=倍(pm (x )cos( px )+ p

9、n(x )sin(px),其中pm (x), pn (x )表示m,n次多项式。解结构：y =齐次方程通解y +特解y *。特解y*形式设定如下：(1)识别（2）计算n=a+ip, k = n和特征根儿，儿相等个数，l=max（m, n）。（3）特解可设为 y *（x ）=xkex（ql （x ）cos（bx ）十（?（x ）sin（ px）,a其中ql（xql（x）为l次多项式。甘+ 。 a+ip不是特征根；的.口行依生4其中k = 门口故本题答案为c：e（asinx + bcosx）,其中a,b1,a十甲是特征根；,待定系数。6、直线 二二1 = y =三口与平面的x-y +z = 1的位

10、置关系是（）21-1a、垂直b、平行mjic、夹角为一d、夹角为一43解析：考查直线与平面之间的位置关系，主要是平面的法向量与直线的方向向量之间的关系。直线的方向向量为n=（2,1,1）,平面的法向量为n=（1=1,1）； 显然，?n=0,即三工二，故直线平行于平面或在平面内。又直线上点（1,0,-1）不满足平面方程，所以，该直线平行于已知平面。故本题答案选b二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）2. 一ax bx 27、已知22为常数，则=3,则,b=。错误！未找到引2x - 1用源。解析：该题为极限反问题，考查有理分式极限limpm（x1只需比较分

11、子与分母的次数即可, x 二 pn x 0 ,二一，其余类型可以转化为 -或一型。00 ,二一 .，.先判断极限类型，若是y或一型可以直接使用罗比达法则, 00, m : n二， m n“其pn（x ）分子与分母最高次系数之比值,；故a = 0,b =6，故本题答案选b m = ndx8、d解析：该题考查微分的形式不变性，常规凑微分方法。1d ln(1 x);dx。1 + x9、y =x3 -3x2 +5 的拐点是f (x) =0的点或f (x)不解析：曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在存在的点。由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。然后再看该点左右二阶导数是否

12、变号求出拐点。令y“ = 6x6 = 0,得x=1,此时y = 3。又 x1 时，y = 6x_61 时，y = 6x6 0。故拐点为(1,3)。10、定积分 j4x2(1x3)dx =。解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。a0,f(x)为奇函数f f(x)dx=a；2( f (x)dx, f(x)为偶函数j j4 一x2 (1-x3)dx2 2=4 - x dx - x 4 - x dx, 2- _2=2二-0 =2二这里因为函数f(x) =x3 j4-x2是奇函数，故积分为零，积分 jj4 x2dx表示半径为2 的上半圆的面积。一二 n xn11、哥级

13、数 工(-1)的收敛域是nmn解析：对于哥级数 z anxn ,如果lim 口 = p(或lim= p),则n田nt ann|1n收敛半径r = -,收敛区间为(-r,r)。再将x=r代入级数具体考查。若哥级数z anxn=0n -n缺少的奇次项(偶次项)或上述极限不存在(不是无穷)，则此时将x当作常量转化为常数项级数处理。本题lim a! =iim 旦 =1,所以r=a=1,x =1时，级数z级数z ,发散，故收敛域为-1,1)。对于哥级数z an(x-x0)n只需作变量代换x x0=t即可。z12、设 z + ezz.=xy,则=：:y解析：由方程f(x,y,z) =0决定隐函数z= z(

14、x, y)。求偏导公式为:fx.xfzfl1 n lfz(也可方程或等式两边直接对某个变量求偏导，将z看作该变量的元函数，另外一个变量当作常量)fz =z +e xy ,：zfy- x)一 一可一 vezxvez三、计算题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)。13、求极限1 f cosx lim。x0 xsin x解析:1 -cos x 1 -cosx 1lim 二 lim 2-二-x 0 xsin x x 0 x 21 2(当xt 0时，sinx与x为等价无穷小量，1cosx与一x为等价无穷小量) 214、已知摆线的参数方程j_x=a(t -sint)十 d y,求一2。y = a(1-

15、cost) dx解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记求导公式a(1 -cost)t a(t -sin t)tsint1 - costsint 2 ,/1 - cost t cost(1-cost)-sin t 1 =,dx(1 - cost)2a(1 - cost)dt1a(1 - cost)215、求不定积分 jrdx。1 ex1解析：该题使用凑微分法，f (e x)e xdx -1 f (e-x)de-x是经常遇见的固定类型adx =1 ex -11exdx= (1x；)dx = x -1 exdex1一 1n(1 d c16、计算定积分 dx。2x、/解析：该题

16、使用第二类换元法，作三角代换令 x =sect , dx =tantsectdt ,且 x = 72时,hx, o i-r rnt = ; x = 2时，t =;所以43ji121.3 tantsect 3 .dx = 3 dt = 3 dt x .x2 -14 tantsect 丁17、计算 h(x + y)dxdy,其中d由y = x2,y = x在第一象限所围的区域。d解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别 是对称型简化积分计算。首先要画出积分区域(如图)，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如f

17、(x2 +y2),区域形状为圆形、圆环、扇形(环)等，往往使用极坐标计算；否则，往往用直角坐标计算。1 i(x y)dxdy = dx (x y)dyd0 x2=(xy0)dxx21二 .(x2-x3 -1 x4)dx2=i(|x2-x30 2-1x4)dx11 _34 10 一 2017、解析：积分限为无穷的广义积分，当收敛时其收敛值的计算和正常的定积分一样，也有类似的牛顿-莱布尼兹公式：f(x)dx = f(x) =f(y) f(a),所以ae dt = (-e ).-22- .-x ；x：y18、已知函数z= f(x - y , xy),其中f (u,v)有二阶连续偏导数，求解析：该题型

18、是几乎每年必考，需要认真掌握。 第一步：变量x, y,z的关系网络图ticz4：其中1, 2分别表示x2_y2,xy第二步：寻找与x对应的路径计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”=f1 2x f2 y:x二2z.-=2x fii -2yfi2 x f2 y f2i -2yf22 xx y-4xyf112x2 f12f2 -2y2 f21xyf2219、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于2x + y,并且曲线通过原点。解析：导数的几何意义表示曲线在该点切线的斜率，由此先建立微分方程。一阶线性非齐次方程y + p(x)，y = q(x)的通解为_ p(x)dxy 二eq(x)p

19、(x)dx e dx c本题 y = 2x+y且 y(0) = 0,即 y y = 2x, p(x)=1, q(x)=2x,通解1dxy =e_ 1dx2x e dx c=ex -2xe-2e，c =2x-2 cex由于 y(0) =0 得 0 = 2+c,c =2所以，曲线方程为y =2 3 -2x 2x-2 y 1 z-2一20、求过点(2,1,1),平行于直线 =1-=且垂直于平面x + 2y 3z + 5 = 0的32-1平面方程。解析：求平面方程，基本方法是使用点法式。求出平面上的一个定点和法向量n。平面上的定点(2,1,1)已知，直线 x2 =y二1 =三二2的方向向量 s = 3

20、,2,1,平面32-1x+2y 3z + 5 = 0的法向量 京=1,2,3；由条件容易得到 ! n1,故可取. i j k4 4 hn=sxn1 = 3 2 1 = ,8, 4 = h 1, 2, 11 2 -3平面点法式方程为：1(x-2) -2(y-1)-1(z-1)=0 ,即 x 2y z + 1 = 0。四、证明题(每小题9分，共18分)21、证明：当 xa0 时，ln(1+x)a或x0时，f (x) 0f(x)是严格单调递减的，f(x) f(0) =0,即 ln(1 +x) xob22、设 f(x)在a,b上有连续导数，且 f(a) = f(b)=0, f f2(x)dx = 1,证明： ab _ .1f x f (x) f (x)dx = 一 。a2解析：定积分是一个值，计算的基本方法是牛顿 莱布尼兹公式。本题被积函数为抽象函数，一般使用定积分的分部积分法。bb1bx f (x) f (x)dx = x f (x)df (x) xd f (x)a a2 a1 _ oh b _91