专升本高等数学二笔记公式大全

1、-jlb_ ilidtliih 二i n 三二x0则称当的右极限是a0时f（x）无限解：当x从0的左边无限地趋于（x）例：函数f(x) =2+ex ,当 x+x时，f (x)解：f（x）=2+ex=2+，的极限x-oo 时，f（x）x-oo 时，f（x）当xf-x时，fx-oo 时，函数 f（x）xtco时f（x）的极限xf+8以及x-x时，函 a。第一章极限和连续第一节极限复习考i要求1 .了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要 求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了 解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2 .了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法3 .理解无穷小量、无穷大量的

2、概念，掌握无穷小 量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行 无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。 会运用等价无穷小量代换求极限。4 .熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性复习考i要求1 .理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函 数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判 断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2 .会求函数的间断点。3 .掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明 一些简单命题。4 .理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利 用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学第一节导数与微分复习考t要求1 .理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与 连续

3、性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。2 .会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3 .熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及 复合函数的求导方法。4 .掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段 函数的导数。5 .了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导 数。6 .理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和 可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用复习考i要求1 .熟练掌握用洛必达法则求0-8” oo-oo”型未定式的极限的方法。2 .掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单 调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明 简单的不等式。3 .理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极 值

4、点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单 的应用题。4 .会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5 .会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考i要求1 .理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握 不定积分的性质。2 .熟练掌握不定积分的基本公式。3 .熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元 法（仅限三角代换与简单的根式代换）。4 .熟练掌握不定积分的分部积分法。5 .掌握简单有理函数不定积分的计算。第二节定积分及其应用复习考ts要求1 .理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可 积的条件2 .掌握定积分的基本性质3 .理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上 限

5、积分求导数的方法。4 .熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式。5 .掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6 .理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算 方法。7 .掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面 积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的 体积。第四章多元函数微分学复习考ts要求|1 .了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。 了解二元函数的几何意义。2 .了解二元函数的极限与连续的概念。3 .理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌 握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数 的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的 求法。4 .掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5 .会求二元函数

6、的无条件极值和条件极值。6 .会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单 的实际问题。第五章概率论初步复习考is要求|1 .了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基 本事件、样本空间、随机事件的概念。2 .掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、 互不相容关系及对立关系。3 .理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的 意义，掌握其运算规律。4 .理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本 性质及事件概率的计算。5 .会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及 事件的独立性。6 .了解随机变量的概念及其分布函数。7 .理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握 概率分布的计算方法。8 .会求离散性随机变

7、量的数学期望、方差和标准 差。第一章极限和连续第一节极限复习考i要求1 .了解极限的概念（对极限定义fz.ftjuz 等形式的描述不作要求） 会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数 在一点处极限存在的充分必要条件。2 .了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法 则。3 .理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小 量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行 无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）, 会运用等价无穷小量代换求极限。4 .熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容（一）数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作xn,数列中每 一个数称

8、为数列的项，第n项xn为羲列的一般项 或通项，例如（1） 1 , 3, 5,，（2n-1）,（等差数列）1. _ _1_ .（2） 丁彳门清（等比数列）l 2 3（3）彳（递增数列）（4） 1 , 0, 1 , 0,2，（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为_l_ _v_ 1 +（2n-1） , 7 l 1。对于每一个正整数n,都有一个xn与之对应，所 以说数列xn可看作自变量n的函数xn=f （n）, 它的定义域是全体正整数，当自变量 n依次取 1,2,3一切正整数时，对应的函数值就排列成数在几何上，数列xn可看作数轴上的一个动点， 它依次取数轴上的点x1,x2,x 3,.x n,。2.数

9、列的极限定义对于数列xn,如果当n-8时，xn无限地趋 于一个确定的常数a,则称当n趋于无穷大时， 数列xn以常数a为极限，或称数列收敛于a,记作比如： 丁丁三、士无限的趋向0l z 3_）_ _,无限的趋向1否则，对于数列xn,如果当n,8时，xn不是无 限地趋于一个确定的常数，称数列xn没有极限， 如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1, 3, 5,，（2n-1）,1, 0, 1, 0,2数列极限的几何意义：将常数 a及数列的项近.马,依次用数轴上的点表示，若数列xn 以a为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可 以无限靠近点a,即点xn与点a之间的距离|x n-a| 趋于0。比如：

10、i z 3_2_ _the k无限的趋向1（二）数列极限的性质与运算法则1 .数列极限的性质定理1.1 （惟一性）若数列xn收敛，则其极限值 必定惟一。定理1.2 （有界性）若数列xn收敛，则它必定有 界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界 数列不一定收敛。比如：1, 0, 1, 0,： 有界：0, 12 .数列极限的存在准则|定理1.3 （两面夹准则）若数列xn,y n,z n满足以下条件：（1） j），八 j定理1.4若数列xn单调有界，则它必有极限。3.数列极限的四则运算定理。定理1.5tumlim . -风则（1 ;: (2)（3）当四3口时，一k儿5（三）函数极限的概念1.当

11、x-为时函数f（x）的极限（1）当x-x0时f（x）的极限定义对于函数y=f（x）,如果当x无限地趋于 时，函数f (x)无限地趋于一个常数 a xx0时，函数f(x)的极限是a,记作 j骂或f(x) a(当 xx0时) 伤!| y=f (x) =2x+1 x1,f (x) ?x1x 1kl u i.q luqut】yj t 3 02 3.0oz “-（2）左极限当x x。时f（x）的左极限定义对于函数y=f（x）,如果当x从x的左边无 限地趋于x0时，函数f （x）无限地趋于一个常数 a,则称当xx0时，函数f （x）的左极限是a 记作lien a或 f （%-0） =a（3）右极限当x x

12、c时，f （x）的右极限定义对于函数y=f （x）,如果当x从的右边无 限地趋于x0时，函数f （x）无限地趋于一个常数a,则称当xx0时，函数f （x） 记作溺或 f（%+0）=a 例子：分段函数k+i rcof(x)=1+ f 1b 4 -）-；.e-hc- 工定义对于函数y=f （x）,如果当x-8时，f （x） 无限地趋于一个常数 a则称当x-8时，函数f（x）的极限是a,记作男六到i或f （x） -a （当x-8时）（2）当x-+时，函数f （x）的极限定义对于函数y=f （x）,如果当x-+8时，f （x） 无限地趋于一个常数 a,则称当x- +8时，函数f （x）的极限是a,记作

13、这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极 限的定义中n+o的n是正整数；而在这个定义 中，则要明确写出x-+,且其中的x不一定是 正整数，而为任意实数。y=f（x）x +oo f（x）x 7?7 + 土(x) =2+ -2lifn所以（3）当x-x时，函数f （x） 定义对于函数y=f （x）,如果当 无限地趋于一个常数 a则称当 的极限是a记彳乍，乳力（切-4x-oof（x） f ?则 f(x)=2+ e (x -ab即t.、其结构式为：n ? p j - 0iru1ll k-1h电 &) * 口(3)当g时,-,*, 51 lam r(t) b f,时，上述运算法则可推广到有限多个函数的

14、代数和及乘积的情形，有以下推论：(d仙小人的？ 帅卜东力力/;出t th工i(2)hm m /(t) e lim /(t)(3)f，用极限的运算法则求极限时，必须注意: 则要求每个参与运算的函数的极限存在, 的极限时，还要求分母的极限不能为零。这些法 且求商另外，上述极限的运算法则对于hts的情形也 都成立。(五)无穷小量和无穷大量1.无穷小量(简称无穷小)定义对于函数 i* 如果自变量x在某个变 化过程中，函数/底：的极限为零，则称在该变化 过程中，为无穷小量，一般记作bm/w=tl. 常用希腊字母h/f ,来表示无穷小量。定理1.10函数-刈以a为极限的必要充分条件 是：,年,可表示为a与

15、一个无穷小量之和。litn/tx)& j+a刑无穷小)注意：(1)无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。 (2)要把无穷小量与很小的数严格区分开， 很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。一个(3) 一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化 趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个 变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如：jek t -t 0 sinx +0d casjr-+11te血工振荡型发散(4)越变越小的变量也不一定是无穷小量,例如1 + 当x越变越大时，:就越变越小，但它不是无穷小量。(5)无穷小量不是一个常数，但数“ 0”是无穷小量中惟一

16、的一个数，这是因为2.无穷大量(简称无穷大)gm q-qo定义；如果当自变量而(或时，绝对值可以变得充分大(也即无限地增大)，则 称在该变化过程中，*幻为无穷大量。记作_/有)三加o注意：无穷大i不是一个数值，是一个记号，绝不能写成;或3.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见 以下的定理。广b 无穷大4.无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 性质2有界函数(变量)与无穷小量的乘积是无 穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷 小量。1一生一之. 你一港口+d 3litn t-=必=-解：i .二.j - - .!1-0伤a 3.0型有理化

17、约分求极限.氐一& 1jim ：三(1) 0316计算，x-2答%臣i ro x 工iia - = 0x性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商 是无穷小量。5.无穷小量的比较定义设与是同一变化过程中的无穷小量，即】g 京二口 lie f =0 |d1 = 0(1)如果 / 则称士是比”较高阶的无穷 小量，记作官二川用；i m = c 0(2)如果用 则称4与为同阶的无穷小量；i m =(3)如果 丹 则称。与,为等价无穷小量, 记为h-f；(4)如果则称工是比较低价的无穷小量。当3五十了lmillr;_=bm3 + jo = ：3rq xrqbm 7

18、- - limf我 +=05 xi qbmx+r= um(+k)=l等价无穷小量代换定理： 如果当时小量，又有isn = lira均为无穷小lim i. /且y)存在则又有a .a a fr. 万1%了7=jidi鼻而鼻 口 s=lm巴 犀这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化 运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换 可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有：当：t时，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;l-c&iz - - ;bi + j) - x.*工-亳 j+m-3 y(六)两个重要极限1.重要极限i重要极限i是指下面的求极限公式. si

19、n jt . czui . art an 1 1tbm= i jlffl.= 1 bn= jrqilfbhm. 12口 工令伊+口才于.s. sifl(ja -i) ” =bm (x +1) i lid 号 =.i2.重要极限n重要极限n是指下面的公式：limch-) 7方向口+2=* jhm亘工解：一：t而一正尺行+，历lim尸l22)(77 + 72)hdl(2) 95161-*4 解：bmci+h1 =*其中e是个常数(银行家常数)，叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045其结构式为：lira。十应方3k* 口0重要极限i是属于o型的未定型式，重要极限n 是属于广型

20、的未定式时，这两个重要极限在 极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非 常必要的。(七)求极限的方法：1 .利用极限的四则运算法则求极限；2 .利用两个重要极限求极限；3 .利用无穷小量的性质求极限；4 .利用函数的连续性求极限；5 .利用洛必达法则求未定式的极限；6 .利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式c1) lim七三史bm = 0(3)lim1=即 (2)一坳皿(为7 4-dexa_，+/1h(4)j kj ?r-2二/顺 +叫冲 +为胸 + + 0,a.d.工发散x-3 x 31 j 1x=加-3) t -a2-?值4%匕-学工+36(2) 0202当,f时，11a十刈与x比

21、较是a.高小的无穷小量b.等价的无穷小量c.非等价的同阶无穷小量d.低阶的无穷小量答b解：当.eu+“，与x是万tcljns口 +幻河lim =.*融=lim 口(1 + 德i 口 x um=tin mh算尸=h lin tl +i-b- |力. i极限的运算：lien 0611 - . 解：皿t-0才+1力十支-1bet i .r+1) 工一口答案-10伤a 2.不型因式分解约分求极限曲+:-期调jt+1 +期亚行+品_ 111r 冷扬tr4(占4)+-t + &邺庐。扬 : u il4 (j2r + l+5伤l| 4.当二te时求u型的极限答孑1-1“而 -(1) 0308 28标7一般地

22、，有lim -=- 1吟工41lim工j+署3=砚期加 w).lim 口凸,18/1i km c3 + -) 3装-2苦例5.用重要极限i求极限(1) 9603下列极限中，成立的是hm 1b. -. sm jt ,_5id iim -1jimc. t - d. 芈(2) 0006 7k、3解：bm：中=1血”皿t答b1答何r-i_ 27例6.用重要极限n求极限lim 0 + / - hm o +h尸三(1) 0416计算 2解析解一：令kt。i。20解二:-j原式-um (0 + )工尸 fcn (1 +lid (1+-/* =1fb 0306答00317+答0(1) 0307设解析i-d-(

23、2) 0406设则常数j-w在x=0处连续,(4)若f (7)bm(l +=f 0601jf - 2lien (广(2) 0118计算 th 工 答口解：枚a 7.用函数的连续性求极限ilqi. ln(1 + 产) 0407解：；+一iha bi(1 + x ) = jntl+0 ) = 0伤a 8.用等价无穷小代换定理求极限.1 -tm jghtn.t - 0,1- c.os x 解：当2区a 9.求分段函数在分段点处的极限zr+l h 之口ln( + x-), jtslo贝i.，在.t -。的左极限想“琦-答1/(0-0)=沁 _je= bm_(2jr + i= i /(d + oj- 1

24、丽 /- hm 】”(1+工卜0答1/ld-q)= itu lien (xx+ = l解析t/1,0 和。j = im j l,s)= hm jctii/斤 fdt40-囚=/卸十%=1lim /(i t 0但a 10.求极限的反问题lim(1)已知lirnft1, +fcr + 6) = d解析解法一：7l,即1 + r +，得 k-7 .解法二：令 + 餐+ 6= (a -+ 同=1 +(ra - 1)jc - tn解法三：(洛必达法则)小十后. ex十土=lun.白非+8 - 上山-=3,(2)若7知求a,b的值.解析*型未定式.当1时7-1-1 .令1.理解函数在一点处连续与间断的概念

25、，理解函 数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判 断函数(含分段函数)在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。3 .掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明 一些简单命题。4 .理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利 用函数连续性求极限。主要知识内容(一)函数连续的概念1 .函数在点x。处连续定义1设函数y=f (x)在点x。的某个邻域内有定 义，如果当自变量的改变量 x (初值为x。)趋近 于0时，相应的函数的改变量 y也趋近于0,即 电如一。曲6叫f(丽十加4-/为) 口则标函数y=f (x)在点x。处连续。函数y=f (x)在点x。连续也可作如下定义：定义2设函数y=f (x

26、)在点x。的某个邻域内有定 义，如果当xx。时，函数y=f (x)的极限值存 在，且等于x。处的函数值f (x。)，即 史丹0打3定义3设函数y=f (x), 如期彩m网也则 称函数f (x)在点x。处左连续；如果则称函数f山)在点x。处右连 续。由上述定义2可知如果函数y=f (x)在点x。 处连续，则f (x)在点x。处左连续也右连续。2 .函数在区间a, b上连续定义如果函数f (x)在闭区间a, b上的每一点 x处都连续，则称f (x)在闭区间a, b上连续， 并称f (x)为a , b上的连续函数。这里，f (x)在左端点a连续，是指满足关系： /je一网可，在右端点b连续，是指满足

27、关系： 器/所刀鹤，即f (x)在左端点a处是右连续， 在右端点b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3 .函数的间断点定义如果函数f (x)在点x。处不连续则称点x。 为f (x) 一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若f (x)在点x。 处有下列三种情况之一：(1)在点xc处，f (x)没有定义；(2)在点处，f (x)的极限不存在；(3)虽然在点x。处f (x)有定义，且史义存 在，但则点x。是f (x) 一个间断点。f-l工 ojtja& rh，,则 f (x)在a.x=0,x=1处都间断b.x=0,x=1处都连续c.x=0处间断，x=1处连续d.x=0处连续，x

28、=1处间断 解：x=0 处，f (0) =0 /(q-oj-luncr1-)一 vf (0-0) kf (0+0)x=0为f (x)的间断点 x=1 处,f (1) =1 网-可 lim k巾wsift x - -+j-lfo*co f (1-0)-=f (1+0) =f (1).f (x)在x=1处连续 答案c73-9703设则k等于(3)若g (x0)k0,则访在x0处连续。定理1.13 (复合函数的连续性)设函数 u=g (x) 在x=xc处连名芨,y=f (u)在ut=g (xc)处连续， 则复合函数y=fg (x)在x=x。处连续。在求复合函数的极限时，如果 u=g (x),在x。处

29、 极限存在，又y=f (u)在对应的心 !史联门处连 续，则极限符号可以与函数符号交换。即联/iw切f3 史加3-用典式喇-，卬定理1.14 (反函数的连续性)设函数y=f (x) 某区间上连续，且严格单调增加(或严格单调减 少)，则它的反函数x=f-1 (y)也在对应区间上连续，且严格单调增加(或严格单调减少) (三)闭区间上连续函数的性质在闭区间a, b上连续白函数f (x),有以下几 个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1.15 (有界性定理)如果函数f (x)在闭区 间a, b上连续，则f (x)必在a, b上有界。定理1.16 (最大值和最小值定理)如果函数f (x) 在闭区间a,

30、 b上连续，则在这个区间上一定存 在最大值和最小值。定理1.17 (介值定理)如果函数f (x)在闭区间 a , b上连续，且其最大值和最小值分别为 m和 口则对于介于mfi! m之间的任何实数c,在a ,推论(零点定理)如果函数f (x)在闭区间a , b上连续，且f (a)与f (b)异号，则在a , b 内至少存在一个点e ,使得f (e) =0*it(四)初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有 限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的 区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定 义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。 定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性白结论可知：如果 f (x)是 初等函数，且x0是定义区间内的点，则f (x)在x0处连续灼恐冷一，与).君就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极 限值，只要算出函数在该点的函数值即可。0407jid1ii(l -+ fi-ind+it1) 00611蚂中。常用的是 f (xo-0) =f (xc+0) =f (%)。二、运算部分重点：求极限，函数的点连续性的判定。1 .求函数极限的常用方法主要有：(1)利用极限的四则运算法则求极限；对于7型不定式，可考虑用因式分解或有理化 消去零因子法。(2)利用两个重要极限求极限；b s _ i i