化繁为简、建立模型-求解追赶小明中的典型问题

1、 化繁为简、建立模型求解“追赶小明”中的典型问题 摘要：七年级学生在处理行程类应用题时或多或少会觉得力不从心，这是因为他们还没有把模型思想渗透到日常学习中，因此本文着重探究行程问题中的典型例题通过化繁为简、建立模型的新途径来处理这些问题，从而让学生更快更好地掌握所学新知识关键词：行程问题；同向而行；相向而行在处理七年级问题前我们先复习一下在小学阶段学习过的公式：速度时间路程，本文内容和它密切相关一、抽取例题北师大版七年级数学上册150页的例题及处理方法如下：小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000的学校上学一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书于是，

2、爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他1. 爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等在解决这个问题时，要抓住这个等量关系解：（1）设爸爸追上小明用了x min根据题意，得 化简，得 因此，爸爸追上小明用了4 min（2） （m） （m）所以，追上小明时，距离学校还有2802. 变一为二课本例题是爸爸追赶小明，但在行程类题中还包括爸爸接小明放学的面对面相遇问题，可以把课本例题改为：（一）同向而行面对背例1小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸

3、发现他忘了带语文书于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他问：爸爸追上小明用了多长时间？（二）相向而行面对面例2小明每天下午放学要在17:30返回离学校1000m的家一天，小明以80m/min的速度出发，由于下雨忘带雨伞于是，爸爸立即以180m/min的速度去迎接小明，并且在途中相遇问：爸爸和小明相遇用了多长时间？三、建立模型（一）同向而行面对背把课本所列方程 改一下， 再改一下， 此时方程左边是“速度差”，方程右边是爸爸开始追赶小明时两人相距的路程，结合之前复习的公式：速度时间路程，在此提炼出“同向而行面对背”的模型和公式如下：速度差时间相距路程这个公式和比小学公式

4、多三个字，却可以处理“同向而行面对背”这一类行程问题其中“速度差”是快的速度减慢的速度，“相距路程”是行程开始时两人的距离一般说，在问题中所求未知量是速度和时间，可以在题目中找到，把第三个量设成未知数，就列出方程的左边，下一步只要正确的找出方程右边“相距路程”就迎刃而解了从而获得了化繁为简求解行程问题的新途径，而在很多题目中往往就是“相距路程”起了干扰作用.例3某校七、八年级学生从学校出发步行去研学旅行，七年级学生组成前队，步行速度为km/h，八年级学生组成后队，步行速度为6 km/h前队出发后，后队才出发，后队追上前队用了多长时间？分析：此题较简单可直接应用公式：速度差时间相距路程其中“速度

5、差”是大减小（64）km，假设时间为x，方程左边三个量找到，剩下方程右边的“相距路程”，前队七年级先出发后八年级才开始追赶，那么“相距路程”就是七年级所走过的路程41 km解：设后队追上前队用了，由题意得： 解之得 因此，后队追上前队用了（二）相向而行面对面回顾一下例2,分析：当爸爸和小明相遇时，两人所经历的时间是相同的，两人走过的路程和等于家和学校的距离1000在解决这个问题时，要由此出发设未知数和列方程解：设爸爸和小明相遇用了x min，由题意得，解之得， 因此，爸爸和小明相遇用了 min把这里所列方程 改造后， 方程左边是“速度和”，方程右边家和学校之间的距离是爸爸和小明的“相距路程”，

6、结合之前复习的公式：速度时间路程，在此提炼出“相向而行面对面”的模型和公式如下：速度和时间相距路程这个公式比小学公式也是多了三个字，却可以处理“相向而行面对面”这一类行程问题其中“速度和”是两个速度的和，“相距路程”是行程开始时两人之间的距离和同向而行一样，只要找出方程右边的“相距路程”，那么类似问题就可以不必再纠结于速度与时间这些量了例4小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？分析：此题可直接应用“相向而行面对面”模型和公式，速度和时间相距路程其中“速度和”是（64），假设时间为x秒，方程左边的三个量已经找到，剩下方程右边

7、的“相距路程”，题目给出是百米跑道的两端，那么“相距路程”就是100解：设秒后两人相遇，由题意得： 解之得 因此，10秒后两人相遇四、延伸拓展练习1：甲乙两人骑自行车从相距120km的a、b两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h，问两人出发后，经过多长时间后相距20km？分析：此题的是模型是“相向而行面对面”所以应用的公式是：速度和时间相距路程“速度和”是（75）km/h，时间假设为x，只要找对了“相距路程”这道题就求解出来了，那么“相距路程”是20 km吗？仔细思考一下发现题目虽简单却隐含了两种情况：（1）甲乙两人在第一次相遇前相距20km

8、；（2）甲乙两人第一次相遇后又继续向前行走，拉开距离再一次地相距20 km两种情况对应的“相距路程”分别是（1）（12020）km，（2）（12020）km，找出“相距路程”后，只要应用模型和公式就可以求解这道题解：（1）设后甲乙相距20 km，由题意得：解之得（2）设y后甲乙相距20 km，由题意得：解之得因此，2.5或3.5后甲乙相距20km练习2：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35 km/h的速度前进，突然，1号队员以45 km/h的速度独自行进，行进10 km后调转车头，仍以45 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？分析：此题的模型是“相向而行面对面”，所应用公式是速度和时间相距路程“速度和”是（3545）km/h，设时间为x，分析后发现此时的“相距路程”是1号队员前进和折返时所用的（1010） km，知道了“相距路程”是什么后，这道较难的题目就可以解答出来了解：设号队员从离队开始到与队员重新会合经过了，由题意得： 解之得因此，号队员从离队开始到与队员重新会合经过了0.25五、小结行程问题是七年级的一个难点，如果从小学熟悉的公式出发，对相关问题进行构建模型和分类讨论，就大大降低