对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件

1、对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件一、一、问题问题的提出的提出二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、小结四、小结第三节第三节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(第二类第二类 曲线积分曲线积分)对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件oxyABL一、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .AB

2、FW 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各

3、小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存

4、在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫叫积积分分弧弧段段L对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPd

5、xzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件5.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有有向向曲曲线线弧弧方方向向相相反反的的是是与与是是有有向向曲曲线线弧弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,

6、 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起

7、点为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x

8、)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件的的定定积积分分，化化为为对对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdx

9、yL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原原式式. 0 注注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同径不同积分结果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0

10、()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 ,

11、1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件,上上在在 OA,10, 0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同径不同而积分结果相同.对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件zxyyzxzydd2d)(222tx 2ty 3tz 例例4、计算、计算为

12、：为：，t从从0变到变到1的一段弧。的一段弧。，对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件zxyzxyddd2222222azyx0zaxyx22例例5、计算、计算为：为：与与的交线。的交线。对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件四、四、 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧弧为为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点z

13、yx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 dstA rdA可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx 对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件LyyxQxyxPd),(d),(L2xy )0 , 0() 1 , 1 (例、把例、把化为对弧长的曲线积分，其中化为对弧长的曲线积分，其中为沿抛物线为沿抛物线从从到到的一段弧。的一段弧。对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件Lyyxxxyd)(d2L2xy )0 , 0() 1 , 1 () 1 , 0(例、计算例

14、、计算，其中，其中1)沿曲线沿曲线从从到到2)沿从沿从经经到到为为的一段弧。的一段弧。)0 , 0() 1 , 1 (的折线段。的折线段。对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件Lyyxxyxd)()d(2222L)0 , 2(A|1 |1xy)0 , 0(例、计算例、计算，其中，其中为：从为：从沿曲线沿曲线到到。对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件思考题思考题 当当曲曲线线L的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化

15、范范围围给给定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0 时时，L取取顺顺时时针针方方向向.对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件一一 、 填填 空空 题题 : :1 1、 对对

16、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的 曲曲 线线 积积 分分 与与 曲曲 线线 的的 方方 向向 有有 关关 ；2 2、 设设0),(),( dyyxQdxyxPL, ,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 在在 公公 式式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中 , ,下下 限限对对 应应 于于L的的 _ _ _ _ _点点 , ,上上 限限 对对 应应 于于L的的 _ _ _ _ _点点 ；4 4、 两两 类类 曲曲

17、 线线 积积 分分 的的 联联 系系 是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件二、二、 计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分: : 1 1、 Lxydx, ,L其其中中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( (按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行) )； 2

18、 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其其中中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中为为有有向向闭闭折折线线ABCD, ,这这里里 的的CBA,依依次次为为点点( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其其中中ABCDA是是以以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D为为顶顶点点的的正正方方形形正正向向边边界界线线 . .对坐标的曲线积分第二类曲线积分课件三、三、 设设z轴与重力的方向一致轴与重力的方向一致, ,求质量为求