2021年高中数学人教版必修第一册：4.5.3《函数模型的应用》同步练习(2)(含答案详解)

1、4.5.3 函数模型的应用（用时45分钟）【选题明细表】 知识点、方法题号利用已知函数模型解决问题2,4,6,7,9,11自建函数模型解决问题1,3,5,8,10,12基础巩固1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()(A)一次函数 (B)二次函数(C)指数型函数(D)对数型函数【答案】D【解析】由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.2.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y

2、=at,有以下叙述:这个指数函数的底数是2;第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是()(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),所以a2=4,所以a=2(a0),故对;令t=5,得y=25=3230,故对;若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=8212,故错;由指数型函数模型的图象上升特征可知错.故选B.3. 2011年12月,某人的工资纳税额是245元,若不考虑其他因素,则他该月工资收入为()级

3、数全月应纳税所得额税率(%)1不超过1 500元321 5004 500元10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3 500元(起征点)后的余额.(A)7 000元(B)7 500元(C)6 600元(D)5 950元【答案】A【解析】设此人该月工资收入为x元.1 5003%=45元.(x-3 500-1 500)10%=245-45,得x=7 000元.4.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率P与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系P=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验数据,根据上述函数模型和实验数据,可得

4、到最佳加工时间为()(A)3.50分钟(B)3.75分钟(C)4.00分钟(D)4.25分钟【答案】B【解析】依题意有0.7=9a+3b+c,0.8=16a+4b+c,0.5=25a+5b+c,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.所以P=-0.2t2+1.5t-2=-15(t-154)2+1316.所以当t=154=3.75时,P取得最大值.即最佳加工时间为3.75分钟.5.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01(A)

5、y=2x-2(B)y=12(x2-1)(C)y=log2x(D)y=log12x【答案】B【解析】由题意可得表中数据y随x的变化趋势.函数在(0,+)上是增函数,且y的变化随x的增大越来越快.因为A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数,所以排除A,C,D;所以B中函数y=12(x2-1)符合题意.6.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.【答案】35【解析】Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2

6、-70v)+4.27=0.002 5(v-35)2-352+4.27=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h时,耗油量最少.7.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg 20.30,lg 30.48).【答案】2【解析】设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.根据题意,有0.3(1-25%)n0.2,则有nlg3

7、4=n(lg 3-2lg 2)lg 23=lg 2-lg 3,将已知数据代入,得n(0.48-0.60)0.30-0.48,n32,故至少要经过2小时才能开车.8.如图所示,已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【答案】（1）y=-12x+10,定义域为4,8.（2）当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48 m2.【解析】(1)如图所示,延长

8、NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.在EDF中,EQPQ=EFFD,x-48-y=42.y=-12x+10,定义域为4,8.(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x10-x2=-12(x-10)2+50.又x4,8,所以当x=8时,S取最大值48.所以当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48 m2.能力提升9.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600

9、只D.700只【答案】A【解析】将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.10.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+110x2,Q=a+xb,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有()A.a=45,b=-30B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-30【答案】A【解析】设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=xa+xb1 000+5x+110x

10、2=1b-110x2+(a-5)x-1 000,其中x(0,+).由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.-a-521b-110=150,a+150b=40,整理得a=35-300b,a=40-150b,解得a=45,b=-30.11.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元,它们与投入的资金x万元的关系是Q1=15x,Q2=35x.今年有3万元资金投入使用,则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润? 【答案】为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1.05万元.【解析】设对甲种商品投资x万元,则对

11、乙种商品投资(3-x)万元,总利润为y万元,则Q1=15x,Q2=353-x.所以y=15x+353-x(0x3).令t=3-x(0t3),则x=3-t2,所以y=15(3-t2)+35t=-15t-322+2120.当t=32时,ymax=2120=1.05(万元),这时x=34=0.75(万元),所以3-x=2.25(万元).由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1.05万元.素养达成12.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元

12、,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【答案】（1）y=14.4x,0x45,20.4x-4.8,4543.（2）甲户用水量为7.5(吨);付费17.70(元);乙户用水量为4.5(吨),付费8.70(元).【解析】 (1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;当甲的用水量超过4吨时,乙的用水量不超过4吨,即3x4,且5x4时,y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x4时,y=241.8+3(3x-4)+(5x-4)=24x-9.6.所以y=14.4x,0x45,20.4