2012-2013年理工线性代数考试A卷答案最新（精华版）

1、线性代数考试a 卷答案及评分标准第 10 页 共 8 页课程教 2012 2013 学年第一学期线性代数 (理科 )试题师填授课教师写 考试时间 2013 年 1月日姓名课程类别必修 选修 考试方式开卷 闭卷 试卷类别 (a 、 b、 ) a共 8页得分评阅人一、填空题 （共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1. 已知a, b 均为三阶矩阵，且 a(,), b(,) ，及 a2,b3，*则 a2b72.2. 设 a, b 均为三阶矩阵，且 a184, b2 ， a为矩阵 a 的伴随矩阵，则行列式(3 b)a.273设矩阵a2112， e 为 2 阶单位矩阵，矩阵b 满足 bab2e

2、，则矩阵b1111.24. 设矩阵 a 满足 aa4 e0 ，则 ( ae ) 11 ( a22e ).x1kx 2x 305. 齐次线性方程组2 x1x 2x 30 只有 0 解，则 k 应满足的条件是k3.5kx 23 x 306设向量组(1,0,1)t ,(2, k,1)t , y( 1,1, 4)t线性相关， 则 k1.7. 设 3 阶矩阵 a 的特征值互不相同，若行列式a0 ,则矩阵 a 的秩为 2.8. 设 3 阶矩阵 a 的特征值 1，2，2，则行列式4 a 1e3.9. 二次型f ( x , x, x )x 22 x x2 x 2 的规范形是y 2y2y 2.123112312

3、310. 当 t 满足0t1时，二次型f ( x , x , x )x 2x 2tx 22tx x 为正定12312312得分评阅人二、选择题 （共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）注意： 将选择的答案填入下表中，填入表外不给分。二次型。题号12345678910答案bcaabdcbdc1. 若a15a42a3 ja21ak 4 是五阶行列式 a 的一项( 除去符号 ) ，则有( b )（ a） j3, k5 ，此项为正（b）j3, k5 ，此项为负（ c） j5, k3 ，此项为正（d） 以上全不对2. 若三阶行列式 d 的第三行的元素依次为 1、2、3，它们的余子式分别为 2、3

4、、4， 则行列式 d =（ c ）（ a） -8（ b） -20（c） 8（d） 203. 已知向量组1 ,2,3 线性相关，2 ,3,4线性无关，则：（ a ）（ a） 1 必能由 2 ,3 ,4 线性表示。（ b） 2 必能由 1 ,3 线性表示。（ c）3 必能由 2 ,4 线性表示。（d）4 必能由 1 ,2 ,3 线性表示。4. 设 a 为mn 矩阵，则齐次线性方程组 ax0 仅有零解的充分条件是 （ a ） .（ a） a 的列向量线性无关（b） a 的列向量线性相关（ c） a 的行向量线性无关（d） a 的行向量线性相关5. 若n 阶矩阵 a 满足r( a)rn ，则下列叙述错

5、误的是（ b ）*（a） ） a的每个列向量都是 ax0 的解；（b） ） a 中任意 r 个列向量都线性无关；（c） ） a 中任意多于 r 个列向量都线性相关；（d） ） 0 是矩阵 a 的特征值。6.已知 1 ,2 ,3 为 axb的解，则下列哪一个是ax0 的解？（d）（ a） 123（b） 123（ c）111313233（ d） 12237已知 n 阶矩阵 a 为可逆矩阵， b 为nm 矩阵，则有 ( c )（ a） r( a)（ c） r( b )r( ab )r( ab )（c）（d）r(b 1)r( a 1)r( ab )r( ab )8设1 ,2 是矩阵 a 的两个不同的特

6、征值，对应的特征向量分别为p1 , p2 ，则向量组 p1 ,a( p1p2 ) 线性无关的充分必要条件是（b ）（ a） 10 .（ b） 20 .（ c）10 .（d）20 .9. 如果 n 阶方阵 a 与 n 阶方阵 b 相似，则下列结论不正确的是（d）（ a） a 与 b 有相同的特征值（ b） a 与 b 有相同的特征方程（ c） a 与 b 有相同的行列式（ d） a 与 b 有相同的特征矩阵10. 下列矩阵中不能对角化的是 ( c )123000000100（ a）204.（b）012.（c）100.（ d）200.345023023300得分评阅人三、判断题 （共 10 小题，

7、每小题 1 分，共 10 分）注意： 将选择的答案填入下表中，正确的填“对” ，错误的填“错” 。题号12345678910答案对错对错错对对对错错001001001. 行列式100011000（对）2. 若 a 与 b 是同阶方阵， 则 a 2b 2( ab )( ab).（错）23. n 阶矩阵 a 满足a3a2 e0 ，则 a3e 可逆.（对）4. 如果向量组a1 ,a2 ,l,ar线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示.5. 对于矩阵am n ，齐次线性方程组 ax（错）0 仅有零解的充要条件是行向量组线性无关.（错）6. 一个特征向量不能属于不同的特征值.（对）7. 如果 n

8、阶矩阵 a 的行列式 a0 ，则 a 至少有一个特征值为零 .（对）8. 若矩阵 a 可逆，则矩阵 ab 与 ba 相似.（对）t9. 二次型 xax 经非退化线性变换 xcy 后，变为二次型yt by ，则矩阵 a 与 b 相似.（错）10. 设三阶实对称矩阵 a 的特征值为 -1,2,3，则矩阵 a 是正定矩阵 .（错）得分评阅人四、计算题 （共 4 小题，共 40 分）4004141.（本题 8 分） 已知 ba3bc ，其中矩阵 a043 ,c703 ，004520求矩阵 b .解：由 ba3bc得b ( a3 e )c又 a3 e1000130 ，知 a0013e可逆，3 分1310

9、10110031由，得 ( a13e )013001，5 分bc ( a13e )4141004117030137038 分5200015262.（本题 8 分）求如下向量组的最大无关组， 并将其余向量用该最大无关组线性表示：1231a10, a22, a35 , a431022解：对矩阵 a( a1 , a2 ,a3 ,a4 ) 仅施以初等行变换：1 分1231a02531022123102530253123102530000102210220253015/ 23/ 25分00000000由最后一个矩阵可知：a1 ,a2 为一个极大无关组，且6 分a2a5 a ， a2a3 a8 分3122

10、4122注意：本题亦可能有其它结果。3（本题 12 分） 设方程组x1x1x 22 x 23 x 34 x 311 ， 问a, b 取何值时，线性2 x 12 x 2(a3) x 3b方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解时，求方程组通解？解：对增广矩阵 b( a, b) 进行初等行变换：1131r2r11131b( a, b)1241r32r101123分故有:22a3b00a3b2（1） ） 当 a3 时，r( a)r( b )3 ，方程组有唯一解。5 分（2） ） 当 a3且 b2 时，r( a)2,r(b )3 ，方程组无解。7 分（3） ） 当 a3且 b2 时，r( a)r

11、(b )23 ，方程组有无穷多解 .9分11311023b0112011200000000x12 x33同解方程组，x2x32x132c故方程组通解为：x 22cx 3c(cr)12 分4（本题 12 分） 设矩阵 a101020101，求正交矩阵 p ,使p1ap 为对角矩阵 .解：特征方程为101|ea |020(2) 20101所以 a 的特征值为 10,2324分当 10 时,解齐次方程组 ax0 得基础解系(1,0,1)t ,1单位化得122tp111(,0,)7分22当 232 时,解齐次方程组 ( a2e ) x0 得基础解系23(0,1,0)t ,(1,0,1)t .向量 2

12、,3 已正交，只须将2 ,3 单位化为p2 ,p3 即可.p(0,1,0)t ,p(2 ,0,2 )t10分23222222令p( p1 , p2 , p3 )010,022022则有p1ap00002000212 分注意：正交矩阵 p 亦可能有其它结果。得分评阅人五、证明题 （共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）1. 设向量组 1 ,2 ,l,s 线性无关，非零向量与1 ,2 ,l,s 均正交，求证：向量组 1,2 ,l ,s,线性无关 .证 1：若有k11k 22lkssks 10t用左乘上式两边，得2 分kttkttt11k22lssks 10由与 1 ,2 ,l,s 均正交，得

13、ks 104分再由向量非零，知 ks10 ，代入（ 1）中，由 1 ,2 ,l,s 线性无关得 k1k 2lks0因此 1,2 ,l ,s,仍线性无关。5 分证 2：假设向量组1 ,2 ,l ,s,线性相关又1,2 ,l,s 线性无关，则向量可由向量组 1 ,2 ,l,s 唯一地线性表示，即存在数k1 ,k 2 ,l, ks ，使得k11k22lk ss2 分用 t 左乘上式两边，得tkttktt11k22lss由于与1 ,2 ,l,s 均正交，得04分0 ，这与为非零向量矛盾 .因此 1,2 ,l ,s,仍线性无关。5 分2. 设 1 和 2 是矩阵 a 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为p1和p2 ，证明p1p2 不是矩阵