教案_空间几何体的表面积和体积_

1、空间几何体的外表积和体积【学习目标】1. 通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的外表积和体积的求法；2. 能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3. 了解球的外表积和体积公式推导的根本思想，掌握球的外表积和体积的计算公式，并会求球的外表积和体积；4. 会用柱、锥、台体和球的外表积和体积公式求简单几何体的外表积和体积【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的外表积和体积395219空间几何体的外表积】要点一、棱柱、棱锥、棱台的外表积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的外表积就是各个面的面积之和.计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面

2、积再求和棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底高棱锥平面多边形三角形1面积=丄底高2棱台平面多边形梯形1面积=1 上底+下底高2要点诠释：求多面体的外表积时，只需将它们沿着假设干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表 面积.要点二、圆柱、圆锥、圆台的外表积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面 展开为平面图形，再去求其面积.r,母线长I，那么1 .圆柱的外表积1圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如以下图，圆柱的底面半径为这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2n r，宽等于圆柱侧面的母

3、线长 I 也是高，由此可得S圆柱侧=Cl =2 n r I .(2)圆柱的外表积:2S圆柱表2 r 2 rl 2 r(r l)-2. 圆锥的外表积(1)圆锥的侧面积：如以下图(1)所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r,母线长为I，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=n r，半径等于圆锥侧面的母线长为I，由此可得它的侧面积是S圆锥侧2C1rl .(2)圆锥的外表积:(1) 圆台的侧面积：如上图(2)所示，圆台的侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底面半径 分别为r /、r，母线长为I，那么这个扇形的面积为n(r z +r) I，即圆台的侧面积为 S圆台侧=n (r z +

4、r) I .(2) 圆台的外表积：2圆台表(r2 r2 r I rI).要点诠释：求旋转体的外表积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求外表积，但要搞清它 们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如以下图所示.令要点三、柱体、锥体、台体的体积1. 柱体的体积公式圆柱的体积：底面半径是r，咼是h的圆柱的体积是 V圆柱=Sh=n r h.综上，柱体的体积公式为V=Sh.2.锥体的体积公式棱锥的体积：1如果任意棱锥的底面积是S,高是h,那么它的体积 V棱锥Sh .3圆锥的体积：1如果圆锥的底面积是S,咼是h,那么它的体积V圆

5、锥 -Sh ；如果底面积半径是r，用n32 一 1 2 r表示S,那么V圆锥r h .1综上，锥体的体积公式为 V - Sh.33. 台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为SJ S ,高是h ,那么它的体积是 V棱台 3h(S 菸 S).3圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r J r，高是h,那么它的体积是V圆台-h(S 、両 S) - h(r2 rr r2).33综上，台体的体积公式为 V -h(S . SS* S).34. 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如以下图所示.要点四、球的外表积和体积1 .球的外表积(1) 球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积

6、.(2) 球的外表积设球的半径为R那么球的外表积公式S球=4 n於.即球面面积等于它的大圆面积的四倍.2. 球的体积设球的半径为 R它的体积只与半径 R有关，是以R为自变量的函数.43球的体积公式为V球R3.3要点五、侧面积与体积的计算1多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的根底上，对于一些较简单的几何组合体的 外表积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等) 以求得其外表积与体积.要注意对各几何体相重叠局部的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用.(1)棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成

7、的小棱锥中，有如下比例关系：S小锥底Sj、锥全s大锥底s大锥全s小锥侧 对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比. s大锥侧要点诠释:这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程在求台体的侧面积、 底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式.(2)有关棱柱直截面的补充知识.在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的 截面棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S棱柱侧=C直截I (其中C直截、I分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，V棱柱=S直截I (其中S直截、I分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)2.旋转体的侧面积和体积的

8、计算(1) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展 开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键.(2) 计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的 有关问题的关键.【典型例题】类型一、简单几何体的外表积2例1 如右图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长a分别为3a、4a、5a(a 0) 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，那么a的取值范围是【答案】0 a-15 3【解析】底面积为 6a，侧面面积分别为 6、8、10,拼成三棱柱时，有三种情况:Si2 6a22(1086)1

9、2a248 ,S224 a22(108)24a236,S324a22(106)24a232,拼成四棱柱时只有一种情况：外表积为(8 6) 2 4 6a224a2 28 ,由题意得24a22812a248，解得0 a3【总结升华】(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；外表积等于它的侧面积与上、下两 个底面的面积之和.(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法所谓定义法就是利用侧面积为各 侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解.例2 .在底面半径为 R,高为h的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面 最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值.【思路点拨】一般要画出其轴截面

10、来分析，利用相似三角形求解。h1【答案】高为一侧面积的最大值为- Rh22r h x【解析】如右图，设圆柱的高为 x，其底面半径为r，那么-h x ,R hR(h x)圆柱的侧面积hx)h2 RS侧2 rxx(h x)h2 Rr/h 2 h n2 Rh 2hR(x) (x )2h24h2当x 时，侧最大值hR2即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为-，此时侧面积的最大值为21-Rh 2【总结升华】与旋转体有关的问题，常作轴截面，利用相似比得出变量之间的关系，进一步转化成代 数问题解决.80 mm例3粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图，它的两底面边长分别是和440 mm高是220 mm计算制造这一下料

11、斗所需铁板的面积.【思路点拨】问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需先求出斜高.可在有关的直角梯形中求出斜高.【答案】x 105【解析】如以下图， O O是两底面的中心，那么 OO是正棱台的高.设 EE是斜高，过 Ei作EiF/ OO交OE于 F,贝U EiF丄OE在直角梯形 OOEiE中，EEi EiF2 EF2,00；(E。EQ)22002 (44： 80)2269(mm).边数 n=4,两底面边长 a=440 mm, a =80 mm 斜高 h269 mm1 iS正棱台侧(c c) h n(a a) h2 21 5 24 (80 440) 2692.8 105 (mm2).2答：

12、制造这一下料斗约需铁板x105 mm?.【总结升华】1解决与正棱台有关的计算问题，关键是利用有关直角梯形，即上图中的梯形OEEO、 梯形OAAO、梯形AEEA.2求棱台的侧面积，只需利用公式求解即可，这就需要求出上、下底面半径以及母线长.类型二、简单几何体的体积例4 .一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体 积.【答案】4、3cm 1900cm2D CT分别是【解析】如右图所示，在三棱台ABC-A B C中，O、O分别为上、下底面的中心,BC B，C，的中点，贝U DD是梯形 BCC B，的高,所

13、以S侧13(20 30) DD 75DD .2=20 cm, AB=30 cm,那么上、下底面面积之和为(202302)325、3(cm2).4由 Sw=S上+S下，得 75DD 325 3 ,所以DD *1 Q亍巧(cm),OD OD 3065.3(cm),所以棱台的高hOO DD2(OD OD)253 1叮4.3(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V 3(St4 33Sr202 3024虫 20 30421900(cm ).【总结升华】注意构造简单几何体中的特殊三角形与特殊梯形,它们的数量关系往往是连接与未知的桥梁，要注意利用.例5.一个几何体的三视图如以下图单位：m，那么这个几何

14、体的体积为【答案】6【解析】 由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的.其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和.1 2 12即Vr2h abc12 3 3 2 133=6 m5【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或外表积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解此类题目是新课标高考的热点，应引起重视.【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥2所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即8 3类型三、球的外表积与体积例6 .过球面上三点 A、B C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6 AB=4求球面面积与球的体积.【

15、答案】54 n 27 .6【解析】如右图，设球心为 O球半径为R,作OO丄平面ABC于点0,由于0A=0B=0C=F那么0是厶ABC的外心，设 M是AB的中点，由于 AC=BC贝U 0 CM设0M=x连接 0A 0B,易知 0M丄AB,那么 0,A .;22x2,0Q CM QM 62 22 x.又 0A=0C,解得x7.2 O1AO1B O1C在 Rt OOA 中，O1O2，/ oz , oa=r9.24R2R 2由勾股定理得-2解得R3622贝y S 球=4n R=54 n, V球4 R3 27 6【总结升华】此题利用球面的性质，根据条件中的等量关系建立方程.例7 正四棱锥的底面边长为 a,侧棱长为一 2a .(1) 求它的外接球的体积.(2) 求它的内切球的外表积.【答案】(1)辽2734.7a(2)3【解析】如右图，作 PE垂直底面 ABCD于 E,贝U E在AC上.(1)设外接球的半径为R,球心为 0,连接 0A OC贝U 0A=0C=QP 0PAC的外心，即 PAC的外接圆半径就是球的半径./ AB=BC=a - AC 2a ./ PA PC AC 、2a , PAC为正三角形.AEcos 0AE2acos30-R2863a .(2)设内切球