37.正态分布与3σ原则

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(三-37):正态分布与3原则(807) 0295 正态分布与3原则 母题(三-37):(北师大a版选修2-3p75例题)某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数=500g,2=1.为了检查设备运行是否正常,质量检查员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品,测得其质量为504g,他立即要求停止生产检查设备.他的决定是否有道理呢？解析:如果设备正常运行,产品质量服从正态分布.根据题意和正态分布的性质可知,产品质量在500-3=497g和500+

2、3=503g之间的概率为0.9974,而质量超过这个范围的概率只有0.0026,这是一个几乎不可能出现的事件.但是确实抽出了504g的产品,说明设备的运行极可能不正常,所以检验员的决定是有道理的.点评:正态分布是高中唯一连续型随机变量的概率分布,也是概率论中的最重要的分布之一,许多概率分布(统计中的频率分布)都可以用正态分布模拟研究;若xn(,2),则:p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3x+3)=0.0.9974;正态分布的一个重要应用是3原则:因x的取值几乎全部集中在区间(-3,+3)内,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%,其概率只有0.0026,通常认为

3、:随机变量x在区间(-3,+3)之外的取值几乎不可能发生(小概率事件);随机变量x只取区间(-3,+3)内的值,这就是3原则. 子题(1):(2014年课标高考试题)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:()求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);()由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值z服从正态分布n(,2),其中近似为样本平均数,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求p(187.8z212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记x表示这100件产品中

4、质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求ex.附:12.2,若xn(,2),则p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544.解析:()由=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200s2=(170-200)20.02+(180-200)20.09+(190-200)20.22+(200-200)20.33+(210-200)20.24+(220-200)20.08+(230-200)20.02=150;()(i)由()知zn(200,150)=200,=12.2p(187

5、.8z212.2)=p(200-12.2z200+12.2)=0.6826;(ii)由(i)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826xb(100,0.6826)ex=1000.6826=68.26. 注:由参考数据:若xn(,2),有p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3x+3)=0.0.9974,求p(axb)是正态分布的基本问题之一,基本方法是由-k=a或b=+k求k,并由其对称性,求解. 子题(2):(2013年湖北高考试题)假设每天从甲地去乙地的旅客人数x是服从正态分布n(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙

6、地的旅客人数不超过900的概率为p0.()求p0的值(参考数据:若xn(,2),有p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3x+3)=0.0.9974); 0296 母题(三-37):正态分布与3原则(807) ()某客运公司用a、b两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.a、b两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求b型车不多于a型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备a型车

7、、b型车各多少辆？解析:()由xn(800,502)=800,=50p(x900)=p(x800)+p(800x900)=p(x800)+p(700x900)=p(x800)+p(800-250x800+250)=p(x)+p(-2x+)=+0.9544=0.9772;()设a型、b型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本z=1600x+2400y;依题意x,y还需满足:x+y21,yx+7,p(x36x+60y)p0=0.977236x+60y900可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为p(5,12),q(7,14),r(15,6);由图知,当直线z=1600x+2400y经过可行域

8、的点p时,直线:z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值应配备a型车、b型车各5、12辆. 注:由参考数据:若xn(,2),有p(-x+)=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3a)是正态分布的又一基本问题,基本方法是:当b时,则p(xb)=p(x)+p(xb)=+p(2-bxb);当b时,则p(xb)=p(x)-p(bx)=-p(bxa). 子题(3):(2006年湖北高考试题)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布n(70,100),己知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.()试问此次参赛的学生总数约为多少人？()若该校计划

9、奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的(部分)标准正态分布表(x0)=p(xx0):解析:()设参赛学生的分数为,(法一)由n(70,102)p(90)=1-p(90)=1-()=1-(2)=0.0228成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%参赛的学生总数为526;(法二)由p(90)=1-p(50x90)=1-p(-2x+2)=(1-0.9544)=0.0228,以下同上;()假定设奖的分数线为x分,则p(n)=1-p(x)=1-()=0.0951()=0.9049,查表得:1.31x83.1设奖得分数线约为83.1分. 注:正态分

10、布与标准正态分布的互换公式:p(x)=(),p(ab)=()-(). 子题系列:1.(2012年课标高考试题)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布n(1000,502),且各个元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .2.(人教a版选修2-3习题2.4.a组第2题(p75)商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布n(10,0.12)(单位:kg),任选一袋这种大米,质量在9.810.2kg的概率是多少？ 母题(三-37):正态分布与3原则(807) 0297 子题详解:1.解:三个电子元