高考数学试题分类汇编：数列含详解

1、第 1 页 共 31 页2010 年高考数学试题分类汇编数列 含详解（2010 上海文数）21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2个小题满分 8 分。已知数列 na的前n项和为ns，且585nnsna，*nn(1)证明：1na 是等比数列；(2)求数列 ns的通项公式，并求出使得1nnss成立的最小正整数n.解析：(1) 当n1 时，a114；当n2 时，ansnsn15an5an11，所以151(1)6nnaa ，又a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：151156nna ，得151 156nna ，从而1575906nnsn(n

2、n*)；由sn1sn，得15265n，562log114.925n ，最小正整数n15（2010 湖南文数）20.（本小题满分 13 分）给出下面的数表序列：其中表 n（n=1,2,3 ）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，2n-1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（i）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推第 2 页 共 31 页广到表 n（n3） （不要求证明） ； （ii）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12，记此数列为 nb 求和：3241 22 31nnnbbbbbb bb b 第 3

3、 页 共 31 页（2010 全国卷 2 理数） （18） （本小题满分 12 分）已知数列 na的前n项和2() 3nnsnn（）求limnnnas；（）证明：12222312nnaaan【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)(2)nnns nassn的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】第 4 页 共 31 页【点评】2010 年高考数学全国 i、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低

4、难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.第 5 页 共 31 页（2010 陕西文数）16.（本小题满分 12 分）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和sn.解 （）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得121d1 812dd，解得d1，d0（舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n.()由（）知2ma=2n，由等比数列前 n 项和公式得sm=2+22+23+2n=2(1

5、2 )1 2n=2n+1-2.（2010 全国卷 2 文数） （18） （本小题满分 12 分）已知na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（）求na的通项公式；（）设21()nnnbaa，求数列 nb的前n项和nt。【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于1a与d的方程求得1a与d，可求得数列的通项公式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出 bn 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。（2010 江西理数）22. （本小题满分 14 分）证明以下命

6、题：（1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得222abc，成等差数列。（2）存在无穷多个互不相似的三角形n，其边长nnnabc，为正整数且第 6 页 共 31 页222nnnabc，成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证2222acb， ；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值2221 ,5 ,7满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整数 a 均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当222nnnabc，成等差数列，则222

7、2nnnnbacb，分解得：()()()()nnnnnnnnbabacbcb选取关于 n 的一个多项式，24 (1)n n 做两种途径的分解2224 (1)(22)(22 )(22 )(22)n nnnnnnn24 (1)n n 对比目标式，构造222211(4)21nnnannbnncnn，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数 m，n，若m，n相似：则三边对应成比例2222222112121121mmmmmnnnnn， 由比例的性质得：1111mmmnnn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。（2010 安徽文数） （21） （本小题满分

8、 13 分)设12,nc cc是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线33yx相切，对每一个正整数n,圆nc都与圆1nc相互外切，以nr表示nc的半径，已知 nr为递增数列.()证明： nr为等比数列；第 7 页 共 31 页（）设11r ，求数列 nnr的前n项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设nc的圆心为(,0)n，得2nnr，同理得112nnr，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 nr中1nr与nr的关系，证明 nr为等比数列

9、；（2）利用（1）的结论求 nr的通项公式，代入数列nnr，然后用错位相减法求和.nnnnnnn+1n+1n+1nnn+1n+1nnn+1nnn 11 nnnnn12331,sin,332r12r22rrr2r2rr3rrq3nr1q3r3n*3r12.rrxc解：（1）将直线y=的倾斜角记为, 则有t an =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。（）由于，故，从而，记s121n121n121n11,r12*33*3. *31*32*3.(1)*3*331 33.3*331 333*3()*3 ,22239139(23)*3()*34224nnnn

10、nnnnnnnnnnnnnnnnsn 则有ss, 得2s【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项na与1na之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出第 8 页 共 31 页通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前 n 项和ns乘以公比，然后错位相减解决.（2010 重庆文数） （16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ）已知 na是首项为 19，公差为-2 的等差数列，ns为 na的前n项和.（）求通项na及ns；（）设nnba是

11、首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb的通项公式及其前n项和nt.（2010 浙江文数） （19） （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 sn，满足56s s+15=0。（）若5s=5，求6s及 a1；（）求 d 的取值范围。第 9 页 共 31 页（2010 重庆理数） （21） （本小题满分 12 分， （i）小问 5 分， （ii）小问 7 分）在数列 na中，1a=1，1121*nnnacacnnn，其中实数0c 。（i）求 na的通项公式；（ii）若对一切*kn有21kzkaa，求 c 的取值范围。第 10 页

12、 共 31 页第 11 页 共 31 页（2010 山东文数） （18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 na满足：37a ，5726aa. na的前 n 项和为ns. （）求na 及ns；（）令211nnba（nn）,求数列 nb的前 n 项和nt.第 12 页 共 31 页（2010 北京文数） （16） （本小题共 13 分）已知|na为等差数列，且36a ，60a 。（）求|na的通项公式；（）若等差数列|nb满足18b ，2123baaa，求|nb的前 n 项和公式解：（）设等差数列na的公差d。 因为366,0aa 所以112650adad 解得110,2ad 所以10(1

13、) 2212nann （）设等比数列 nb的公比为q 因为212324,8baaab 所以824q 即q=3所以 nb的前n项和公式为1(1)4(1 3 )1nnnbqsq第 13 页 共 31 页（2010 北京理数） （20） （本小题共 13 分）已知集合121|( ,),0,1,1,2, (2)nnsx xx xxxin n ，对于12(,)naa aa，12( ,)nnbb bbs，定义 a 与 b 的差为1122(|,|,|);nnababababa 与 b 之间的距离为111( , )|id a bab（）证明：, ,nna b csabs有，且(,)( , )d ac bcd

14、a b;（）证明：, , ( , ), ( ,), ( ,)na b csd a b d a c d b c三个数中至少有一个是偶数() 设 pns，p 中有 m(m2)个元素，记 p 中所有两元素间距离的平均值为d(p). 证明：d（p）2(1)mnm.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）证明：（i）设12(,.,)naa aa，12( ,.,)nbb bb，12( ,.,)ncc ccns 因为ia， 0,1ib ，所以 0,1iiab,(1,2,., )in 从而1122(|,|,.,|)nnnababababs 又1(,)| |niiiiid ac bcacbc由题意知ia

15、，ib，ic 0,1(1,2,., )in.当0ic 时，| |iiiiiia cbcab; 当1ic 时，| |(1)(1)| |iiiiiiiia cbcabab所以1(,)|( , )niiid ac bcabd a b(ii)设12(,.,)naa aa，12( ,.,)nbb bb，12( ,.,)ncc ccns ( , )d a bk，( ,)d a cl，( ,)d b ch.第 14 页 共 31 页 记(0,0,.,0)nos，由（i）可知 ( , )(,)( ,)d a bd aa bad o bak ( ,)(,)( ,)d a cd aa cad o cal ( ,)

16、(,)d b cd ba cah 所以|(1,2,., )iibain中 1 的个数为k，|(1,2,., )iicain的 1 的个数为l。 设t是使| | 1iiiibaca成立的i的个数，则2hlkt 由此可知，, ,k l h三个数不可能都是奇数， 即( , )d a b,( ,)d a c,( ,)d b c三个数中至少有一个是偶数。（iii）2,1( )( , )a b pmd pd a bc,其中,( , )a b pd a b表示p中所有两个元素间距离的总和，设p种所有元素的第i个位置的数字中共有it个 1，imt个 0则,( , )a b pd a b=1()niiit mt

17、由于it ()imt2(1,2,., )4min所以,( , )a b pd a b24nm从而222,1( )( , )42(1)a b pmmnmmnd pd a bccm（2010 四川理数） （21） （本小题满分 12 分）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nn*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；第 15 页 共 31 页（）设bna2n1a2n1(nn*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nn*)，求数列cn的前n项和sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解

18、：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202 分(2)当nn *时，由已知(以n2 代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差为 8 的等差数列5 分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为 8 的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an2112naa-(n1)2.那么an1an21212nnaa2n1 822n2n1 2n于是cn2nqn1.当q1 时，sn2462nn(n1)当q1 时，sn2q04q

19、16q22nqn1.两边同乘以q，可得第 16 页 共 31 页 qsn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)sn2(1qq2qn1)2nqn 211nqq2nqn 211 (1)1nnnqnqq所以sn212(1)1(1)nnnqnqq综上所述，sn12(1)(1)(1)12(1)(1)nnn nqnqnqqq12 分（2010 天津文数） （22） （本小题满分 14 分）在数列 na中，1a=0，且对任意 k*n，2k 12k2k+1a,a,a成等差数列，其公差为 2k.（）证明456a ,a ,a成等比数列；（）求数列 na的通项公式；（）记2222323nnntaaa，

20、证明n32nt2 n2（2）.【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。（i）证明：由题设可知，2122aa，3224aa，4348aa，54412aa，65618aa。第 17 页 共 31 页从而655432aaaa，所以4a，5a，6a成等比数列。（ii）解：由题设可得21214 ,*kkaak kn所以 2112121212331.kkkkkaaaaaaaa 441.4 1kk 21 ,*k kkn.由10a ，得2121kak k ，从而2221

21、22kkaakk.所以数列 na的通项公式为221,2,2nnnann为奇数为偶数或写为 21124nnna，*nn。（iii）证明：由（ii）可知2121kak k，222kak，以下分两种情况进行讨论：（1）当 n 为偶数时，设 n=2m*mn若1m ，则2222nkkkna，若2m ，则22222112211112212214441221nmmmmkkkkkkkkkkkkkkaaakk k 211114411 11222212121mmkkkkmmk kk kkk 11312211222mmnmn.所以223122nkkknan，从而22322,4,6,8,.2nkkknna（2）当 n

22、 为奇数时，设21*nmmn。第 18 页 共 31 页22222222121213142221nmkkkkmmmkkmaaamm m11314222121mnmn所以2231221nkkknan，从而22322,3,5,7,.2nkkknna综合（1）和（2）可知，对任意2,*,nnn有322.2nnt（2010 天津理数） （22） （本小题满分 14 分）在数列 na中，10a ，且对任意*kn.21ka，2ka，21ka成等差数列，其公差为kd。（）若kd=2k，证明2ka，21ka，22ka成等比数列（*kn）（）若对任意*kn，2ka，21ka，22ka成等比数列，其公比为kq。【

23、解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。（）证明：由题设，可得*4 ,2121aak knkk。所以131()().()2121212123aaaaaaaakkkkk=44(1).4 1kk =2k(k+1)由1a=0，得222 (1),22,2(1) .2122122ak kaakkakkkkk从而于是1121222221,221212aaaakkkkkkakakaakkkk所以。所以*2,22122kdkknaaakkk时，对任意成等比数列。

24、（）证法一：（i）证明：由2,2121kaaakk成等差数列，及第 19 页 共 31 页,22122aaakkk成等比数列，得212112,222121221kaakkaaaqkkkaaqkkk当1q1 时，可知kq1，k*n从而111111,1(2)1111111211kqqqqkkkkqk即所以11qk是等差数列，公差为 1。（）证明：10a ，22a ，可得34a ，从而142,2q 111q =1.由（）有*1111,1kkkkqknqkk 得所以2*222211221,2122aaakkkkkknaakakkkk（）从而因此，2222*2222(1)222214.22.2 (1),

25、2212(1)(2)122242kaaakkkkkaak aak kknkkaaakkkkk以下分两种情况进行讨论：（1）当 n 为偶数时，设 n=2m(*mn)若 m=1,则2222nkkkna.若 m2，则2222122111221(2 )(21)42nmmmkkkkkkkkkkkaaak+第 20 页 共 31 页221111114414411 112222 (1)2 (1)2 (1)21113122(1)(1)222.mmmkkkkkkkmmk kk kk kkkmmnmn所以22223132,22,4,6,8.22nnkkkkkknnnana从而(2)当 n 为奇数时，设 n=2m+

26、1（*mn）222222221(21)31(21)4222 (1)nmkkkkmkkmmmaaamm m11314222(1)21mnmn所以22312,21nkkknan从而22322,3,5,72nkkknna综合（1） （2）可知，对任意2n ,nn,有223222nkkkna证法二：（i）证明：由题设，可得212222(1),kkkkkkkkdaaq aaaq212221222(1),kkkkkkkkkkdaaq aq aa q q所以1kkkdq d232211122222221111kkkkkkkkkkkkkkaadddqqaaq aq aq 由11q 可知1,*kqkn。可得11

27、1111111kkkkkqqqqq，所以11kq是等差数列，公差为 1。（ii）证明：因为120,2,aa所以1212daa。所以3214aad，从而3122aqa，1111q。于是，由（i）可知所以11kq是公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得11kq = 11kk，故1kkqk。第 21 页 共 31 页从而11kkkdkqdk。所以12112112.121kkkkkddddkkkddddkk，由12d ，可得2kdk。于是，由（i）可知221221 ,2,*kkak kakkn以下同证法一。（2010 全国卷 1 理数） （22）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答

28、无效）已知数列 na中，1111,nnaaca .（）设51,22nncba，求数列 nb的通项公式；（）求使不等式13nnaa成立的c的取值范围 .第 22 页 共 31 页（2010 四川文数） （20） （本小题满分 12 分）已知等差数列na的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。（）求数列na的通项公式；（）设1*(4)(0,)nnnba qqnn，求数列 nb的前 n 项和ns（2010 山东理数） （18） （本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足：37a ，5726aa， na的前n项和为ns（）求na及ns；第 23 页 共 31 页（）令bn=211na(nn*)，

29、求数列 nb的前n项和nt【解析】 （）设等差数列 na的公差为 d，因为37a ，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；ns=n(n-1)3n+22=2n +2n。（）由（）知2n+1na ，所以bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4n n+1，所以nt=111111(1-+-)4223n n+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列 nb的前n项和nt=n4(n+1)。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。（2010 湖南理数）21 （本小题满分 13 分）数列 *()nann中，是函数322211( )(3)332nnnfxxanxn a x的极小值点（）当 a=0 时，求通项na； （）是否存在 a，使数列 na是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。第 24 页 共 31 页