数学论文一类线性变换多项式的维数特征

1、一类线性变换多项式的维数特征（孝感学院数学系021114228，湖北孝感432100）摘要：本文给出了一类线性变换多项式的维数特征定理，将该定理应用于矩阵多项式的秩问题，获得或推广了现行文献中许多结果。本文的主要结果是：定理1设，是数域上维线性空间的一个线性变换，则的充分必要条件是.定理2设，两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换.则.关键词：矩阵的秩；矩阵多项式；线性变换a kind of linear substitution multinomial dimension characteristicsun tian( department of mathematics, xiaogan

2、 university 021114228 )abstract: this article has produced a kind of linear substitution multinomial dimension characteristic theorem, applies this theorem in the matrix multinomial order question, obtained or has promoted in the present literature many results the main results of this paper are: th

3、eroem1 soppose ，is on number field p a n uygur linear space v linear substitution,then is the full essential condition of theroem2 let ,if are coprime. is on number field p a n uygur linear space v linear substitution.then .key words: rank of matrix; matrix polynomial;linear transformation引言与主要结果在近几

4、年的一些重点院校数学专业研究生入学考试中，经常出现下列一类试题：1设是数域上维线性空间上的一个线性变换，用表示上的恒等变换，证明.（北京大学2005）2设是阶矩阵，是阶单位阵，证明：的充分必要条件是其中表示矩阵的秩.（重庆大学2001）3.设是阶矩阵，证明为幂等矩阵当且仅当. （华中科技大学2004）4设是阶矩阵，证明：的充分必要条件是. （四川大学2000）以上命题中必要性的证明相对容易一些，充分性的证明在目前国内流行的两种版本（北大版与北师大版）的高等代数教材中没有涉及到，考生往往感到无从下手。对于这类问题的讨论，在高等代数教科书上，也只是在习题中出现过以下结论：结论1设阶矩阵满足，则.结

5、论2设阶矩阵满足，则.实际上结论1、结论2的逆命题也成立，它们刻画了幂等矩阵与对合阵的秩特征，但对其逆命题及证明问题，一般很少有资料或文献所涉及.本文将对以上结果进行推广，得到一个更一般的定理，并将该结论应用于线性变换或矩阵多项式，较简单的获得现行文献18中许多结果.本文的主要结果是：定理1设，是数域上维线性空间的一个线性变换，则的充分必要条件是.定理2 设，是数域上维线性空间上一个线性变换，则.定理3 设两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换，则.定理4设，两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换.则.本文中用表示单位矩阵，表示线性空间的恒等变换，表示线性变换的核，表示线性变换的象，表

6、示.引理及定理证明引理1设，是数域上维线性空间的一个线性变换，则.证明因为，所以存在，使得，则，这里是线性空间的恒等变换.设，下证：设，则，由上式得.记，则. 由，得，同理得到，故，即得又易知，故，于是.再证：，则，那么，即，所以.定理的证明由引理1得到：.于是.(必要性)若，则注意到:与即得.(充分性)若，则，于是.在文献7中，对矩阵秩的一个重要不等式，给出了它取等号的一个充分必要条件，即下面的引理2，借助该引理，我们可以把定理1推广成一个更一般的结果（前文的定理2）：引理27设、分别为和矩阵，则的充分必要条件为存在矩阵、，使得.定理2的证明设为的一组基，在该基下的矩阵为，则、在该基下的矩阵

7、分别为、，而且、及因为，所以存在，使得，则，由引理2，得于是.推论1 设，则.推论2 设两两互素，则.定理3的证明因为，由定理2，得，所以-=-即得+=)+.定理4的证明对作归纳：时由定理2即知结论成立，假设结论对成立.由于两两互素，令，则与也互素，由归纳法假设，得于是由定理2及上式，得.结果应用下面将利用我们的结果（定理1-定理4），把国内近期一些文献中许多结果统一起来，重新给出其推导，其方法较相关文献更简单，某些结果较原结论更优.为行文方便，下面的一些结论以命题形式给出：命题1设，则的充分必要条件是.证明由推论1即得.注在本命题的相同条件下，文献2仅得到：我们通过命题1把它推广成一个充分必

8、要条件.命题2 设，两两互素，且，则.证明把定理4关于线性变换的结果转化为矩阵的相应结果，得到并注意到，于是有，推论3得证.注本结果比文献2中定理3的相应结论更为精确.命题3设是阶方阵，是的特征多项式或最小多项式，而是矩阵的所有互不相同的特征值，则.证明记，则，而且两两互素，若是的特征多项式或最小多项式，由哈密尔顿定理或最小多项式定义，得，于是由命题2得.注本结果比文献2中问题3的相应结论更为精确.命题41 设皆为自然数， 对任意，有（1）特别当时有（2）证明注意到，由定理2或推论1，则有如下等式即得-=-，亦即.特别当时有.注在文献1中，作者是先利用schur补给出矩阵秩的一个基本关系式：

9、然后结合矩阵广义逆的性质获得（1）与（2）的，本文方法更显初等、简单一些.命题51设，则为三幂等阵（即）的充分必要条件是.（3）证明因为是两两互素，根据定理2及定理4，有 （4） （5） （6）由（4）、（5）、（6）得 （7）故.注文献1得到矩阵秩关系式是为三幂等阵的一个必要条件，文献7中证明了它还是一个充分条件，这里我们用较简单的方法重新给出了证明，而且获得了一个更一般的秩关系式:.命题6设是数域上维线性空间的线性变换，则下列命题等价:() ，是恒等变换；() 的特征值只能是1或的-1,且v=分别是属于特征值1与-1的特征子空间；() .证明由及定理2，得则，() 的等价性参见5或10，这

10、里从略.致谢：在撰写本文时，得到胡付高副教授的悉心指导，在此表示衷心的感谢！ 参考文献1 史及民.关于schur补应用的注记j.应用数学学报,vl.25 no.2 apr.20022 蒋永泉.互素多项式在矩阵中的应用j.徐州师范大学学报,vol.22,no.3 sep.20043 方晓华.用维数公式证明有关矩阵的等式j.重庆师范大学学报,vol.20 no4 dec.20034 郭华.实幂等矩阵的几个等价条件j.渝州大学学报j,vol.18 no.2 jun20045 张树青,王晓静.线性空间的幂等变换与对合变换的几个等价表示j,烟台师范学院报,2004,20(1):4-56 许甫华.线性映射方法在矩阵理论和运算中的应用j,大学数学,vol20.no.1 feb.2oo47 胡付高.关于一类矩阵秩的