数学建模论文基于生灭过程理论的眼科病床分类安排模型

1、基于生灭过程理论的眼科病床分类安排模型 摘 要基于fcfs住院规则的病床安排模型，医院病床的使用率和周转率较低，并且病人的等待时间和住院时间较长。本文通过对该眼科医院现有医疗资源和病人统计信息的分析，综合考虑各类眼科病人的特殊性（如急诊等）和医院目前治疗环境（如病床和手术医生）限制性的基础上，提出一种基于生灭过程理论的病床分类安排模型，应用多状态概率转移方法较准确地反映出医院病人的流动情况；应用并行组合方式，提高了单位时间内病人入院的人数。通过对比，该模型的病床利用率比fcfs的高，而且能够缩短病人的平均等待时间和住院时间。另外，依据此模型，能够方便医院根据第二天病人出院情况安排当天的入院病人

2、，并能够根据病人的门诊时间较准确的推算出其入院时间范围。关键词： 泊松分布；多状态概率转移方程；病床利用率；病人的平均逗留时间；生灭过程理论1.问题的提出医院肩负着为全民服务的重大使命。然而在现实生活中，看病住院问题却给病人和医院双方带来麻烦。病人患病总类繁多，但是医院的各种设备等资源有限。因此，满足病人需求的同时充分地利用有限的资源成为各个医院迫需解决的问题。如针对某医院的眼科疾病而言，常见患病类型有四种：白内障（分单眼和双眼）、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，

3、大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部共有病床79张，对全体非急症病人是按照fcfs（first come, first s

4、erve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。现在我们通过建立数学模型来解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。2.问题的分析针对此问题，我们作一假设，若医院的病床数无限，则在现有条件下显然不会导致等待住院的人排队过长这一问题，但结合现实，我们不可能去无限增加医院病床数量，那么此问题的解决要求我们只能从病床安排，病人门诊时间安排，病人住院天数安排等几方面考虑。3.符号说明m : 该医院的病床总数（定值） ：病人的平均等待时间 ：医院病床的使用率n ：医院单位时间的接诊（住院）人数：分给外伤病人的病床数：分给白内障病人的病床数 ：分给青光眼病人的病床数 : 分给视网膜

5、疾病病人的病床数: 每种病人平均的等待时间（i=1、2、3、4）：各类病人每天的门诊人数（i=1、2、3、4）: 各类病人每天的0等待人数（i=1、2、3、4）: 平均每天门诊人数：各类病人的住院时间（i=1、2、3、4）：某一天各类病人的出院人数（i=1、2、3、4）a、b、c为正参数，且满足：a+b+c=1注： 上述符号中i的取值1表示外伤，2表示白内障，3表示青光眼 ，4表示视网膜疾病。4.评价指标体系的建立4.1 数据分析在门诊服务中，病人的到达一般可以用泊松分布描述，对病人流做如下合理的假设：（1） 在不相重迭的时间区间内病人到达数是相互独立的。（2） 设表示在区间内有n(n0)个病

6、人到达的概率。对于充分小的，在时间区间内有一位病人到达的概率与 t 无关，与区间长成正比。=，是关于 的高价无穷小量。（3） 对于充分小的，在时间区间内有两个病人到达的概率可以视为零。有以上可知，在区间没病人到达的概率为： 这里求时，用通常建立未知函数的微分方程，考虑区间，可以分为两个子区间和，因此： 。 通过对上式的化简，并利用初始条件，可以得到以下方程： 解上面的微分方程得：表示长为t的时间区间内到达n个病人的概率，由可知，在时间区间内到达的病人数 n 服从泊松分布。其数学期望和方差分别是：，通过对该院的病人门诊情况来确定其中的参数。患者数（i）45678910111213141516出现

7、的频数2343142330111表一 患者频数表根据表一计算可得，病人平均到达率=8.8（人/天）根据泊松分布的检验，取=0.1，自由度n=28，每天门诊人数适合参数为8.8的泊松分布,即平均每天有约8.8人来门诊。根据所给数据统计分析可确定这8.8个病人中患白内障，患视网膜，患青光眼，外伤各类病人的人数大致是：3.9，2.6，1.2，1.1。检验统计量患者数出现的频数卡方.000a2.769bdf124渐近显著性1.000.597精确显著性1.000.656点概率.000.080表二 每天门诊人数泊松分布检验注：(1)、13 个单元 (100.0%) 具有小于 5 的期望频率。单元最小期望频

8、率为 1.0。(2)、 5 个单元 (100.0%) 具有小于 5 的期望频率。单元最小期望频率为 2.6。利用附录中给出的数据，通过统计分析计算可得：外伤病人的平均住院时间=7（天）白内障病人（单、双眼）的平均住院时间=6.9（天）视网膜病人的平均住院时间=12.5（天）青光眼病人的平均住院时间=10.5（天） 4.2建立评价指标体系 目前，国际惯用的病床使用率计算公式为：=据此可计算得到该医院目前的病床使用率为：3264/（60*79）=73.84%。但是根据国家卫生部标准，医院年病床使用率范围为85%-93%。因此，医院的病床利用还不充分。现在我们从病床安排、病人等待时间和住院天数及医院

9、的接诊率等因素来考虑此问题。现建立如下的评价指标体系： 其中 ；病人平均等待时间越小、病床利用率越大、单位时间内治疗人数越大，则在其它两者不变的情况下，p与第三者成正比。 我们将 p 作为一个综合评价指标体系，即 p 值越大时，方案越优。而在具体评价模型的优劣时，可选取其中的部分指标。 由于医院工作的特殊性，医院系统中的病人队列等待时间、住院时间等这些因素会影响到病人对医院的选择，病床使用率的提高，会增加相同时间内的就诊人数和提高医院的效益。因此，综合评价指标体系的选择，应从病人和医院两个方面考虑。 如果患者排队的时间过长, 超过他的承受极限, 必将会导致患者的流失, 给医院造成一定的损失,

10、同时也可能会影响患者的诊断和救治, 造成医疗事故。在有限幅度内缩短平均住院日可以有效提高病床周转率，同时对医疗质量不会有明显的负面影响。只有为病人提供最少的等待时间，缩短平均住院日以及提高病床的使用率，才能获得区别于其它医院的明显优势，使病人有更高的满意度，争取到更多的病人5.模型假设（1）在模型研究的整个过程中没有任何特殊情况，完全按门诊，住院，手术，出院流程进行，即整个过程完全按以下流程图进行： 出院 门诊白内障青光眼外伤视网膜疾病手术住院患者 图一 医院将四种病的病床分开且单独治疗 图二 每类病床的动态过程（2）由于病人排队较长，设在分配好各类病人病床张数后，每类病人每天的等待人数仍然存

11、在。（3）每类病人等待时间（门诊到住院的时间段）和住院时间（住院到出院的时间段）是统一确定的，其值由已知的人数统计求均值代替。（4）新方案推出时，医院的病人处于一种动态的平衡，即有人进也有人出。（5）医院的服务时间即为病人的住院时间。6.模型建立及求解6.1 病床安排模型 在统计数据进行处理的时候发现外伤病人的门诊人数很少，但考虑到该病属于急诊，因此从目前该医院的79张病床中抽出 2 张固定的病床留作外伤病人专用，即。就剩下的77张病床分配给三种病人，则有+=77。根据假设 = - 0（i=1、2、3） 记 ，即在min(x)的情况下， 尽量取 （默认出院的人数就等于当天住院的人数） 的最大值

12、。 在该方案中，外伤病人可以随时住院，下面我们研究其它三种病，鉴于白内障病人只能在周一周三进行手术，且术前的准备时间只需一到两天，因此医院作如下硬性规定： 白内障病人只能在周六周天住院，而青光眼病人和视网膜病人只能在周一到周五住院。我们讨论某一天的出院入院情况，假定在某一天要出院的各类病人的人数为，必有 (i=2,3,4) 则在某一天可以入院的人数，我们只有在较详细统计当天病人的出院情况时才能相对准确的估计出当天的病人的入住情况，在这个统计过程中，我们将病人分类统计，同时兼顾病床的安排，即要避免以下情况：即使还有不是供该类病人使用的病床，就不让该病人入院，即不能因偶然情况而打破以前的安排。我们

13、进一步利用统计数据得到每天出院的人数与时间具有如下关系图：图三 出院人数变化情况上图说明每天出院的人数是上下波动的，因此我们可以推测在这之前的某一天住院的人数也是大致按此规律变化的。统计原来数据中的前349组，除去外伤病人，可得白内障病人占前来门诊人数的 52.4%，青光眼占前来门诊人数的13.3%，视网膜患者人数占前来门诊人数的34.3%。通过对给出的数据进行分析统计，宏观上看出各类病人的人数基本稳定，现按各类病人占门诊总人数的比例情况确定如下的病床分配方案： 供白内障病人使用的病床数：77*52.4% = 40（张） 供青光眼病人使用的病床数：77*13.3% = 11（张） 供视网膜病人

14、使用的病床数：77*34.3% = 26（张） 针对此分配方案展开如下讨论：由于此种病床分配方案是按前段时间统计的各类病人的分布情况而定，因此它在病床使用率方面要优于原来简单的fcfs模式，要注意的是，在我们的模型中，我们将fcfs原则应用于每一个小系统（即与每一类病床有关的系统）。而在整个系统的实现过程中，我们重点按病床当前的占有情况来决定各类医院接纳病人的住院情况。 现在我们对某个星期开始前的一天同时门诊的个人进行讨论，以7天为一个周期进行研究，对于白内障病人，由于他们只能在周六周天住院，其平均等待时间为6.5天，对于外伤病人由于它是急诊，其等待时间为一天（假设有空的病床），对于其它两类病

15、人，其平均等待时间为3天，由此我们得出所有病人的总的平均等待时间为： 经过计算 = 8 （ 天） 但是通过统计原数据中病人的等待时间，我们发现其等待时间除急诊外伤之外，均在 12 天以上，这说明我们在此假设下的模型从病人的平均等待时间时间来看要优于原方案。通过统计分析原数据可得如下图表：方程模型汇总参数估计值r 方fdf1df2sig.常数b1线性.2845.549114.03437.146-1.460幂.1662.778114.11878.546-.708增长.3627.944114.0144.031-.119指数.3627.944114.01456.316-.119表三 模型汇总和参数估计

16、值图四 平均住院时间 分析上图可得服务时间分布是一个负指数分布。事实上，三类病人（白内障、视网膜疾病、青光眼）在单位时间里都是安照 poisson 流独立进入医院，设其每类病人相继到达的时间间隔为 （i=1、2、3;n=1、2、3），则： （i=1、2、3;n=1、2、3；t0）而三类病人排成等待队伍，等待队伍长无限制，三类病人按照 的一定比例作为一批进院进行治疗，第 i批病人的住院时间相互独立且同分布，有： （）则有： ； +;(n=1、2、)除外伤外，现在将病床分为三类（白内障、视网膜疾病、青光眼）。通过对每个系统的多状态概率转移模型hom的分析来研究计算每类病床的利用率。现在假设、分别为

17、第 i 类病人的平均服务率（表示第i类病人的平均住院时间），表示第i类病床中有j 张病床被占用的稳态概率。显然，每个病区的病床是一定的，分析每个病区不同情况下病人的出入情况，我们可以画出以下的状态转移图。根据排队论中的生灭过程理论，建立多状态概率转移模型。状态转移如下所示： 。 则有如下所示表达式：(1)当n=0时，有：(2)当n=1、2、3时，有：(3)当n=时，有：由以上的表达式可以求得： （其中n=1、2、3）在由期望的定义和以上分布可以得到每类病床的使用率：带入数据可以得到：=75.2；=78.1；=80.1在此模型下，病床的使用率较之前的方案有很大提高，即跟之前比较，医院的资源利用更

18、为充分，这显然是医院所希望看到的。6.2 入院时间预测模型建立及计算 现对模型中用到的相关符号进行说明：该白内障病人在同类病人队列中的位置；：该青光眼病人在同类病人队列中的位置；：该视网膜病人在同类病人队列中的位置；：该白内障病人的入院时间;:该青光眼病人的入院时间；：该视网膜病人的入院时间；：当前医院里白内障病人出院的时间（距离当天的时间）；：当前医院里青光眼病人出院的时间（距离当天的时间）：当前医院里视网膜病人出院的时间（距离当天的时间）其中，可以根据当时住院病人的情况统计得出。 对外伤除外的其它三种病人进行考虑，并将当前排队等待住院的病人分类后重新处理，即将各类病人取出后仍按原来的相对顺

19、序排列，则有以下式子成立： （n=1，2，3，4，）分析上述模型，根据医院对当前住院病人的出院时间（即，的值）和等待住院的病人情况（即，）进行统计，就能在病人门诊告诉其大概的入院时间（即，的值）。6.4 模型调整如果周六周天不安排手术，则对方案中的各类病人的住院时间重新做安排，做规定如下： 对于外伤仍然是任何时候均可住院。（预留病床用完后可增加临时病床）对于白内障病人，由于其手术只能安排在周一和周三且术前只需1到2天的准备时间，所以他们仍然安排在周六周天入院（这两天又按fcfs原则）； 对于青光眼病人和视网膜病人，规定其只能在周一到周三入院，也就是说周四周五这两天不让这两类病人入院。 这样病人

20、的平均住院天数就会缩短，例如，假定有一个视网膜患者，若让其在周四入院，本来其准备2天后可以在周天手术，但现在不行，那他至少必须等到下周二才能进行手术，也就是说该病人从入院到手术最好情况下也要等5天，但是如果我们干脆让其在下周一再入院，则最好情况下这个周四即可手术，那么他从入院到手术只需等3天，这样就会使得他的住院天数有所缩短。不过同时我们要意识到，在这种方案下，病人的等待时间会适当的增长，但是从病人的角度看，住院天数缩短其所花费用肯定要减少，因此医院采取这种方案，同样会博得病人满意。7.模型的优缺点及其优化根据计算，模型的病床利用率比fcfs的高；应用并行组合方式，提高了单位时间里病人入院的人

21、数；应用多状态概率转移模型能较准确地反映医院病人的流动情况。根据此模型，在不增加病床和其他医疗设施的情况下,通过调整住院体制，适度缩短平均住院日，可以有效地提高病床周转率,而对住院病人的治疗效果不会产生消极影响。这种调整可以充分发挥医院先进的医疗条件和医护人员的技术优势,体现出积极的社会效益并产生良好的经济效益。另外，我们分析采用的都是整个医院关于这四种眼科疾病的平均资料数据，但我们设计模型的核心却是将此四种眼科疾病分类考虑，而这四种疾病在不同时间段的变化我们并没有涉及全面，因此很难对病床做确切的划分，模型有待于进一步从以下几个方面进行改进和优化：（1） 模型中的参数 均可改变，但对现实中的医

22、院来说，需要大量的统计数据来确定这两个参数。（2） 在本模型中，将各类病分开处理，忽略了各个科室之间的关系。但在实际中，医院是一个大系统，只有其中每个科室病床负荷均衡，整个医院的病床使用率才能达到最优，但是由于病重、病因及各类病人的差异，这种均衡在医院中很难实现，因此还需要做进一步的研究。（3） 我们的模型大多只是就确定的评价指标体系中的一个或两个进行讨论，在现实生活中我们可以根据实际情况，给每个指标确定一个权重，即确定我们建立的评价指标体系中参数a,b,c的值。（4） 由于现实生活中有很多不确定因素存在，例如急诊人数所需要的医疗设备（病床等）可能会超过医院之前给其的预留数，因此建议医院要有临

23、时设备，也就是说医院要具备处理较大突发事件的能力。参考文献1 李泉林，j， 系统科学与数学，1996.72 何建勇，最优化方法m，北京，清华大学出版社，2007.13 姚晨，多状态概率转移模型在医院住院管理系统的应用j，解放军总医院医学统计室4 赵树进，杨哲，基于排队论的医疗工作流程重组j，中国医院管理，2003.45 张静文，医院病床设置系统的仿真j，系统工程理论方法应用，2004.46 唐应辉，排队模型中计算队长分布的递推式j，电子科技大学学报，1997.67 钱晓红，排队理论在医院康复超短波理疗的应用j，医学与社会，2007.7附件(论文用到的部分主要代码)： k= length (x

24、(1, : ) ) ; x isnan= isnan (x) ; t vub= inf;t vubm = inf3 ones ( size (x) ) ; f op t= nan3 ones ( size (x) ) ; d op t= f op t;tmp 1= f ind (x isnan (: , k) ) ; tmp 2= length ( tmp 1) ;fo r i= 1: tmp 2u= feval (decisfun, k, x ( i, k) ) ; tmp 3= length (u) ;fo r j= 1: tmp 3tmp= feval (subo b jfun, k,

25、x ( tmp 1 ( i) , k) , u ( j) ) ;if tmp= t vub, f op t ( i, k) = tmp; d op t ( i, k) = u ( j) ; t vub= tmp;end; end; endfo r ii= k- 1: - 1: 1tmp 10= f ind (x isnan (: , ii) ) ; tmp 20= length ( tmp 10) ;fo r i= 1: tmp 20u= feval (decisfun, ii, x ( i, ii) ) ; tmp 30= length (u) ;fo r j= 1: tmp 30tmp 0

26、0= feval (subo b jfun, ii, x ( tmp 10 ( i) , ii) , u ( j) ) ;tmp 40= feval (t ran sfun, ii, x ( tmp 10 ( i) , ii) , u ( j) ) ;tmp 50= x (: , ii+ 1) - tmp 40; tmp 60= f ind ( tmp 50= = 0) ;if isemp ty ( tmp 60) ,if nargin5, tmp 00= tmp 00+ f op t ( tmp 60 (1) , ii+ 1) ;else, tmp 00= feval (o b jfun,

27、tmp 00, f op t ( tmp 60 (1) , ii+ 1) ) ; endif tmp 00= t vubm ( i, ii)f op t ( i, ii) = tmp 00; d op t ( i, ii) = u ( j) ; t vubm ( i, ii) = tmp 00;end; end; end; end; end; fval= f op t ( tmp 1, 1) ; fval= fval (f ind ( isnan (fval) ) , 1) ;p op t= ; tmpx= ; tmpd= ; tmpf= ;tmp 0= f ind (x isnan (: , 1) ) ; tmp 01= length ( tmp 0) ;fo r i= 1: tmp 01tmpd ( i) = d op t ( tmp 0 ( i) , 1) ; tmpx ( i) = x (