ul分解与高斯消元法实验报告

1、数值方法实验报告课程名称：lu分解法与高斯消元法 学 院：数学与财经学院 专 业：信息与计算科学（金融软件） 年 级：2011级 姓 名：郑 荐 学 号：201102334023 指导教师：李 梦 实验一【实验名称】实现lu算法，并利用该算法求解线性方程组【实验目的】了解如何用lu三角分解法解线性方程组，利用lu三角分解法解线性方程组【实验原理】设无行交换变换的高斯消去法可求解一般线性方程组ax=b，则矩阵a可分解为一个下三角矩阵l和一个上三角矩阵u乘积：a=lu而且l的对角线元素为1，u的对角线元素非零。得到l和u后，可通过如下步骤得到x：1. 利用向前替换法对方程组ly=b求解y。2. 利

2、用回带法对方程组ux=y求解x。【实验步骤】1. 输入矩阵a2. lu分解a，得到l矩阵与u矩阵的值 l u=lu_1(a)3. 输入矩阵b，利用向前回带法求出y值 y=upsub(l,b)4. 利用回带发求出x值 x=backsub(u,y)【实验程序】1. lu分解代码：function l u=lu_1(a) n=length(a(1,:); l=eye(n); u=zeros(n); for j=1:n u(1,j)=a(1,j); end for i=2:n l(i,1)=a(i,1)/u(1,1); end for k=2:n for j=k:n u(k,j)=a(k,j)-l(k

3、,1:k-1)*u(1:k-1,j); end for i=k+1:n l(i,k)=(a(i,k)-l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k)/u(k,k); end end结果：2. 向前回带法代码：%向前代入法function y=upsub(a,b)n=length(b);y=zeros(n,1);y(1)=b(1)/a(1,1);for k=2:n y(k)=(b(k)-a(k,1:k-1)*y(1:k-1)/a(k,k);end结果：3. 回带法代码：%回代法function x=backsub(a,b)n=length(b);x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/a(n

4、,n);for k=n-1:(-1):1 x(k)=(b(k)-a(k,k+1:n)*x(k+1:n)/a(k,k);end结果：【实验分析】lu分解法比较简便迅速，当解多个系数矩阵为a的线性方程做时，lu分解法就显得特别优越，只要对系数矩阵做一次lu分解，以后只要解三角形方程即可。也可以根据系数矩阵的形状来设计算法。实验二【实验名称】高斯消元法解线性方程组【实验目的】了解如何用高斯消元法解线性方程组，利用高斯消元法解线性方程组【实验原理】消元过程：设，令乘数，做（消去第i个方程组的）操作第1个方程+第i个方程（i=2，3，.n）则第i个方程变为这样消去第2，3，。，n个方程的变元后。原线性方

5、程组变为：这样就完成了第1步消元。回代过程：在最后的一方程中解出，得：再将的值代入倒数第二个方程，解出，依次往上反推，即可求出方程组的解：其通项为【实验步骤】1、输入a和b2、判断是否有解b=a bif rarb,无解return,endelse ra=rb 转33、if ra=rb=n 有唯一解对 k=1:n-1 做a(k,k)=0,breakfor i=k+1:nl(i,k)=a(i,k)/a(k,k)a(i,k)=a(i,j)-l(i,k)*a(i,j)endend4、elseif ra=rb0 disp(rarb,此方程无解); return;endif ra=rb if ra=n d

6、isp(ra=rb=n,次方程组有唯一解); x=zeros(n,1); for p=1:n-1 for k=p+1:n m=b(k,p)/b(p,p); b(k,p:n+1)=b(k,p:n+1)-m*b(p,p:n+1); end end x=backsub(b(1:n,1:n),b(1:n,n+1); x else disp(ra=rbn,次方程组有无穷解。) endend结果：【实验分析】高斯消元法代码更为复杂。lu分解的方法，求解方程组的方法使得得出的结果更加精确。高斯消元法能更快判断出是由有解。lu分解法在lu分解前矩阵a不知道能否可以分解。【实验心得】本次试验涉及到了用高斯消元法，lu分解法两种方法。需要对这些方法的原理都要掌握才能写出程序，由于理论知识的欠缺，我花了很大一部分时间在看懂实验的原理上，看懂了实验原理之后就开始根据原理编写程序，程序中还是出现了很多的