三年高考高考数学试题分项版解析专题12平面向量理1102343

1、1专题专题 1212 平面向量平面向量1.【2017 课标 3，理 12】在矩形abcd中，ab=1，ad=2，动点p在以点c为圆心且与bd相切的圆上.若ap =ab +ad，则+的最大值为a3b22c5d2【答案】a【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系设0,1 ,0,0 ,2,0 ,2,1 ,abcdp x y ,设12xzy，即102xyz ，点,p x y在圆22425xy上，所以圆心到直线的距离dr，即221514z，解得13z，所以的最大值是 3，即的最大值是 3，故选a.2【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利

2、用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.2.【2017 北京，理 6】设m m,n n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0m n”的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】a【解析】试题分析：若0，使mn，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m nm nm n t，若0m n ，那么两向量的夹角为0090 ,180 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件

3、，故选 a.【考点】1.向量；2.充分必要条件.3 【2015 高考安徽，理 8】ca是边长为的等边三角形，已知向量，b满足2aa ，c2aba ，则下列结论正确的是（）（a）1b （b）ab（c）1a b（d）4cab 【答案】d【解析】如图，3由题意，(2)2bcacababab ，则| 2b ，故a错误；|2 | 2| 2aa，所以| 1a ，又22(2)4|22 2cos602ab acaabaab ，所以1a b ，故,b c错误；设,b c点为d，则2abacad ，且adbc ，而22(2)4adaabab，所以4cab ，故选 d.【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向

4、量的数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差oaobba ，这是一个易错点，两个向量的和2oaobod （d点是ab的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,ab ac ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.4.【2016 高考山东理数】已知非零向量m m，n n满足 4m m=3n n，cos=13.若n n（tm m+n n） ，则实数t的值为（）（a）4 （b）4 （c）94（d）94【答案】b【解析】试题分析：由43mn，可设3 ,4 (0)mk nk k，又()ntmn，

5、所以22221()cos,34(4 )41603ntmnn tmn nt mnm nntkkktkk 所以4t ，故选 b.考点：平面向量的数量积5.【2016 高考新课标 2 理数】已知向量(1,)(3, 2)am a，=，且()abb+，则m （ ）（a）8 （b）6 （c）6 （d）8【答案】d4【解析】试题分析：向量ab(4,m2)，由(ab)b得4 3(m2) ( 2)0 ，解得m8，故选 d.考点：平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)：结论几何表示坐标表示模|a a|a aa a|a a|x2 1y2 1夹角cos a ab

6、 b| |a a| | |b b| |cos x1x2y1y2x2 1y2 1x2 2y2 2a ab b的充要条件abab0 x1x2y1y206.【2015 高考山东，理 4】已知菱形abcd的边长为，60abc,则bd cd （）（a）232a（b）234a（c）234a（d）232a【答案】d【解析】因为bd cdbd bababcba 22223cos602babc baaaa 故选 d.【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.7

7、.【2015 高考陕西，理 7】对任意向量, a b ，下列关系式中不恒成立的是（）a| |a ba b b| |ababc22()|abab d22()()ab abab 【答案】b【解析】因为cos,a ba ba ba b，所以选项 a 正确；当与b方向相反时，abab不成立，所以选项 b 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 c 正确；22ababab，所以选项 d 正确故选 b522aa8.【2015 高考四川，理 7】设四边形 abcd 为平行四边形，6ab ，4ad .若点 m，n 满足3bmmc ，2dnnc，则am nm （）（a）20 （b）15 （c）9 （d）6

8、【答案】c【解析】311,443amabad nmcmcnadab ，所以221111(43)(43)(169)(16 369 16)94124848am nmabadabadabad ，选 c.【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6ab ，4ad 故可选,ab ad 作为基底.9.【2015 高考新课标 1，理 7】设d为abc所在平面内一点3bccd ，则（）（a）1433adabac (b)1433adabac （c）4133adabac (d)4133adabac 【答案】a【解析】

9、由题知11()33adaccdacbcacacab =1433abac ，故选 a.【考点定位】平面向量的线性运算610.【2016 高考新课标 3 理数】已知向量13( ,)22ba uu v，3 1(, )22bc uu u v，则abc（ ）(a)30 (b)45 (c)60 (d)120【答案】a【解析】试题分析：由题意，得133132222cos1 12|ba bcabcba bc ，所以30abc，故选 a考点：向量夹角公式【思维拓展】 （1）平面向量与的数量积为cosa ba b ，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180；（2）由向量的数量积的性质有| |=aa

10、 a ，cosa ba b ，0a bab ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题11.【2016 年高考北京理数】设，是向量，则“| |ab”是“| |abab”的（）a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件【答案】d【解析】试题分析：由22| |()()0ababababa bab ，故是既不充分也不必要条件，故选 d.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.12.【2015 高考重庆，理 6】若非零向量a a，b b满足|a a| |=2 23| |b b| |，且（a a-b b）（3 3a a+2b b） ，

11、则a a与b b的夹角为（）7a、4 b、2 c、34 d、【答案】a【解析】由题意22() (32 )320ababaa bb ，即223cos20aa bb ，所以22 22 23 ()cos2033，2cos2，4，选a.【考点定位】向量的夹角.【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.13.【2016 高考天津理数】已知abc是边长为 1 的等边三角形，点ed,分别是边bcab,的中点，连接de并延长到点f，使得efde2，则bcaf 的值为（）（a）85（b）81（c）41（d）811

12、【答案】b【解析】试题分析：设baa ，bcb ，11()22deacba，33()24dfdeba，1353()2444afaddfabaab ，25353144848af bca bb ，故选 b.考点：向量数量积运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解14.【2016 年高考四川理数】在平面内，定点a，b，c，d满足da =db =dc,da db =db dc=dcda =-2，动点p，m满足ap =1，pm =mc ，则2bm 的最大值是( )（a）434（b）494（c）376 34（d）372 3348【答案】b【解析】试题分析：甴已知易得12

13、20 , daadcadbddbdcbc .以d为原点，直线da为轴建立平面直角坐标系，则 2 , 0 ,1,3 ,1,3 .abc设,p xy由已知1ap ，得2221xy，又1313 3,2222xyxypmmcmbm 22213 34xybm ，它表示圆2221xy上点,x y与点1,3 3距离平方的14，2222max14933 3144bm ，故选 b考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.15.【2015 高考福建，理 9】已知1,abac abactt ，若p点是abc所在平面内一点，且4abacapabac ，则pb pc 的最大值等于（）

14、a13 b15 c19 d21【答案】a9【解析】以a为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1( ,0)bt，(0, )ct，1ap （，0)+4(0, 1)=(1, 4)，即1p （，4)，所以11pbt =（，-4)，1pc =（，t -4)，因此pb pc 11416tt 117(4 ) tt，因为114244tttt，所以pb pc 的最大值等于13，当14tt，即12t 时取等号【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问

15、题，本题容易出错的地方是对abab 的理解不到位，从而导致解题失败24.【2015 湖南理 2】已知点a，b，c在圆221xy上运动，且abbc，若点p的坐标为(2,0)，则papbpc 的最大值为（）a.6 b.7 c.8 d.9【答案】b.【解析】试题分析：由题意得，ac为圆的直径，故可设),(nma，),(nmc，),(yxb，(6, )papbpcxy ，22= (6)papbpcxy 的最大值为圆221xy上的动点到点)0 , 6(距离的最大值，从而易得当01yx时papbpc 的最大值为，故选 b.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.1016.【2017

16、浙江，10】如图，已知平面四边形abcd，abbc，abbcad2，cd3，ac与bd交于点o，记1ioaob ，2ioboc ，3ioc od ，则a321iiib231iiic213iiid312iii【答案】c【解析】试题分析：因为90aobcod ，所以0(,)ob ocoa oboc odoaoc obod 选c【考点】平面向量数量积运算17.【2017 课标 1，理 13】已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则| a a +2 b b |= .【答案】2 3【解析】11试题分析：222|2 |44|44 2 1 cos60412abaa bb 所以

17、|2 |122 3ab.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2ab的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度，则为2 3.【考点】平面向量的运算.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.18【2017 浙江，15】已知向量a a，b b满足1,2, ab则abab的最小值是_，最大值是_【答案】4，2 5【解析】【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量, a b 的夹角，结合模长公式，解得1254cos5

18、4cosabab，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求19.【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量oa ,ob ,oc的模分别为 1,1,2,oa 与oc的夹角为,且 tan=7,ob 与oc的夹角为 45.若ocmoanob ( ,)m nr,则mn.【答案】3【解析】由tan7可得7 2sin10，2cos10，根据向量的分解，易得cos45cos2sin45sin0nmnm，即22221027 20210nmnm，即510570nmnm，即得57,44mn，所以3mn.【考点】向量表示20.【2017 天津，理 13】在abc

19、中，60a ，3ab ，2ac .若2bddc ，()aeacabr ，且4ad ae ，则的值为_.acbo(第 12 题)13【答案】311【解析】0123 2 cos603,33ab acadabac ,则122123()()3493433333311ad aeabacacab .【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,ab ac 已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.21.【2017 山东，理 12】已知12,e e是互相垂直的单位向量，若123ee与

20、12ee的夹角为60，则实数的值是.【答案】33【解析】试题分析：2212121121223333eeeeee ee ee ，222121211223332 32eeeeee ee ，222221212112221eeeeee ee ，22321cos601，解得：33【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.【名师点睛】1.平面向量a与b的数量积为cosa ba b ，其中是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180.2.由向量的数量积的性质有| |=aa a ，cosa ba b ，0a bab ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关

21、的问题3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.22.【2016 高考新课标 1 卷】设向量a a=(m,1),b b=(1,2),且|a a+b b|2=|a a|2+|b b|2,则m=.【答案】2【解析】14试题分析：由222|abab,得ab,所以1 1 20m ,解得2m .考点：向量的数量积及坐标运算23.【2015 高考北京，理 13】在abc中，点m，n满足2ammc ，bnnc若mnxabyac ，则x ；y 【答案】11,26【解析】特殊化，不妨设,4,3acab abac，利用坐标法，以 a 为原点，ab 为x轴，ac为y轴，建立直

22、角坐标系，3(0, 0),(0, 2), (0, 3), (4, 0),(2,)2amcbn，1(2,),(4, 0),2m nab (0, 3)ac ，则1(2,)(4, 0)(0, 3)2xy，11142, 3,226xyxy .【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.24.【 2014 湖南 16】在平面直角坐标系中,o为原点,),0 , 3(),3, 0(,0 , 1cba 动点d满足cd =1，则oaobod 的最大值是_.15【答案】17【解析】因为c坐标为3,0且1cd ,所以动点d的轨迹为以c为圆心的单位圆,则d满足参数方程3cossinddxy(为参数

23、且0,2),所以设d的坐标为为3cos ,sin0,2,则223cos1sin3oaobod 82 2cos3sin,因为2cos3sin的最大值为 22237,所以oaobod 的最大值为282 71717 ,故填17.【考点定位】参数方程 圆 三角函数【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程，解决问题的关键是根据所给条件cd 得到对应点 c 的轨迹，然后得到其参数方程，根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式，运用三角函数知识不难得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.25.【2015 江苏高考，6】已知向量a a=) 1 , 2(，b=b=)2, 1 ( , 若ma a+nb b

24、=)8, 9( (rnm,), 则nm 的值为_.【答案】3【解析】由题意得：29,282,5,3.mnmnmnmn 【考点定位】向量相等【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若1122()()axybxy，则a b12210 x yx y -.向量垂直的充要条件的坐标表示：若1122()()axybxy，则ab1212+0 x xy y .26. 【2016 高考江苏卷】如图，在abc中，d是bc的中点，,e f是,a d上的两个三等分点，4bc ca ，1bf cf ，则be ce 的值是. 16【答案】78

25、【解析】因为2222436444aobcfobcba ca ,22414fobcbf cf ,因此22513,bc82fo ，22224167448eobcfobcbe ce 考点：向量数量积27.【2015 江苏高考，14】设向量a ak(cos,sincos)(0,1,2,12)666kkkk，则110k(a aka ak+1)的值为【答案】9 3【解析】a aka ak+1(1)(1)(1)(cos,sincos) (cos,sincos)666666kkkkkk(1)(1)(1)coscos(sincos) (sincos)666666kkkkkk(1)(1)(1)(1)(1)(cos

26、cossinsin)(sincoscossin)coscos6666666666kkkkkkkkkk22(1)3231cossincoscossincoscossin66662626266kkkkkkk3231sin(1cos)sin264343kkk3 321(21)sincos4626kk因为21(21)sincos626kk，的周期皆为，一个周期的和皆为零，因此110k(a aka ak+1)3 3129 34.17【考点定位】向量数量积，三角函数性质28.【2016 高考浙江理数】已知向量a a、b b, a a=1，b b =2，若对任意单位向量e e，均有a ae e+b be e

27、6 ,则a ab b的最大值是【答案】12【解析】试题分析：221|(ab)| |a|b|6|ab|6|a |b|2a b6a b2eee ，即最大值为12考点：平面向量的数量积【易错点睛】在6ab两边同时平方，转化为2226aba b的过程中，很容易忘记右边的6进行平方而导致错误29.【2015 高考新课标 2，理 13】设向量，不平行，向量ab与2ab平行，则实数_【答案】12【解析】因为向量ab与2ab平行，所以2abk ab（），则12 ,kk，所以12【考点定位】向量共线【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题30.【2015 高考浙江，理 15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e，若空间向量满足1252,2b eb e ，且对于任意, x yr，12010200()()1(,)bxeyebx ey exyr ，则0 x ，0y ，b 18【答案】 ， ，22.【解析】问题等价于12()bxeye 当且仅当0 xx ，0yy 时取到最小值 1，两边平方即xyyxyx| b |5422在0 xx ，0yy 时，取到最小值 1，2245|b| xyxyxy22(4)5|xyxyb22243()(2)7 |24yxyb ，22|211|702024002000byxbyyx.【考点定位】1.平面向量的