《信号分析与处理》第一章 连续时间信号分析2

1、1第一章第一章 连续时间信号分析连续时间信号分析第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱 工程工程电气电气 控制控制电子电子 通信通信正弦信号正弦信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号傅里叶变换傅里叶变换傅里叶级数傅里叶级数一系列不同频率一系列不同频率 正弦信号线性组合正弦信号线性组合频域频域 分析分析方法方法频谱：频谱： 利用数学方法将信号分解利用数学方法将信号分解, ,得到的构成原得到的构成原信号的一系列不同频率的正弦信号信号的一系列不同频率的正弦信号, ,称为原信号在称为原信号在频域频域上的谱上的谱, ,简称频谱。简称频谱。2第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号周期信号

2、0002 = 2f =T如果周期信号满足狄里赫利（如果周期信号满足狄里赫利（DirichletDirichlet）条件，即：）条件，即：（1 1）周期信号在任意有限区间连续或只有有限个第一类间断点；）周期信号在任意有限区间连续或只有有限个第一类间断点；（2 2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值，且在一个）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值，且在一个 周期内信号绝对可积。周期内信号绝对可积。 则，它可以展开表示为则，它可以展开表示为：0000001,cos t,cos2 t.cosk t.sin t,sin2 t.sink t.pf (t),，由傅里叶级数，由傅里叶级数三角函数集三

3、角函数集3第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱000000000+p0k0k0k=1t +T0pt0t +Tkp0t0t +Tkp0t0f (t)= a +a cosk t +b sink t1a =f (t)dtT2a =f (t)cosk tdt,k = 1, 2, .T2b =f (t)sink tdt,k = 1, 2, .T周期信号的傅里叶级数展开形式周期信号的傅里叶级数展开形式4第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱+p0k0kk=10022kkk-1kkkf (t)= c +c cos(k t +)c = ac =a +b ,k = 1, 2, .b= -tan,k =

4、 1, 2, .a直流分量直流分量谐波分量谐波分量 任意一个周期信号都可以用它的直流分量、基波分量和任意一个周期信号都可以用它的直流分量、基波分量和各次谐波分量来表示，也就是说这些频率分量组成了该周期各次谐波分量来表示，也就是说这些频率分量组成了该周期信号。信号。 5第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱频域分析：频域分析： 周期信号与其直流分量、基波分量和各次谐波分量存周期信号与其直流分量、基波分量和各次谐波分量存在着在着一一对应一一对应的关系，所以，的关系，所以，一个周期信号的时域分析一个周期信号的时域分析就就可以转化为可以转化为对该周期信号的各个频率分量的频域分析对该周期信号的各个频

5、率分量的频域分析。频谱（频率特性）频谱（频率特性） ： 这些频率分量称为周期信号的频率谱（简称频谱），这些频率分量称为周期信号的频率谱（简称频谱），也称作周期信号的频率特性。也称作周期信号的频率特性。频谱图：频谱图： 以角频率（或频率）为横坐标画出的各个频率分量的以角频率（或频率）为横坐标画出的各个频率分量的图形称为周期信号的频谱图。图形称为周期信号的频谱图。6第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱幅度谱：以角频率（或频率）为横坐标，以各个频率分量幅度谱：以角频率（或频率）为横坐标，以各个频率分量 振幅（或有效值）画出的频谱图称为幅度频谱图，简称振幅（或有效值）画出的频谱图称为幅度频谱图，

6、简称幅度谱，又称为幅度谱，又称为幅频特性幅频特性。相位谱：以角频率（或频率）为横坐标，以各个频率分量相位谱：以角频率（或频率）为横坐标，以各个频率分量初相位画出的频谱图称为相位频谱图，简称相位谱，又初相位画出的频谱图称为相位频谱图，简称相位谱，又称为称为相频特性相频特性。 周期信号的频谱图在角频率（或频率）轴是周期信号的频谱图在角频率（或频率）轴是离散离散的，周期信号呈现出的这种离散频谱又称为的，周期信号呈现出的这种离散频谱又称为谱线谱线。显然，周期信号的谱线间隔为周期信号的。显然，周期信号的谱线间隔为周期信号的角频率角频率 （或频率（或频率 ）。）。00f7第二节第二节 周期信号的频谱周期信

7、号的频谱 例例1-11-1：设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为：设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为 ，脉冲幅度为，脉冲幅度为A A，周期为周期为 ，如图所示。求该信号的频谱，并画出该信号的频，如图所示。求该信号的频谱，并画出该信号的频谱图。谱图。 0T8第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱结论：（结论：（1 1）周期信号的频谱在频域上是周期信号的频谱在频域上是离散离散的的，两相邻谱线的，两相邻谱线的间隔间隔为周期信号的角频率，周期信号周期越长，相邻谱线的间隔越小，为周期信号的角频率，周期信号周期越长，相邻谱线的间隔越小，谱线越密；谱线越密； （2 2）周期信号的频谱包含了无限多条谱线，这说明周期

8、信号含有无）周期信号的频谱包含了无限多条谱线，这说明周期信号含有无限多个频率分量，随着角频率（或谐波次数）的增加，周期信号的限多个频率分量，随着角频率（或谐波次数）的增加，周期信号的高次谐波分量呈现衰减趋势，角频率越高，高次谐波分量越小。高次谐波分量呈现衰减趋势，角频率越高，高次谐波分量越小。 9第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱频带宽度频带宽度 ： 从零频率到这个高次谐波分量将趋于从零频率到这个高次谐波分量将趋于零的确定频率之间的频率范围被称为周期信号的零的确定频率之间的频率范围被称为周期信号的有效占有频率，有效占有频率，称为周期信号的频带宽度称为周期信号的频带宽度 。对。对应的角频

9、率范围被称为角频率宽度，记作应的角频率范围被称为角频率宽度，记作 对于频谱包络线为采样函数的信号，实际中对于频谱包络线为采样函数的信号，实际中常常把第一个过零点对应的频率作为信号的频带常常把第一个过零点对应的频率作为信号的频带宽度，即宽度，即 B B = 2B12B =,B =B10第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期矩形脉冲信号的频带宽度与该信号的脉冲宽度周期矩形脉冲信号的频带宽度与该信号的脉冲宽度成反比。脉冲宽度越宽，频带宽度越窄；反之，脉冲成反比。脉冲宽度越宽，频带宽度越窄；反之，脉冲宽度越窄，频带宽度越宽。宽度越窄，频带宽度越宽。信号变化越快，频带宽度越宽信号变化越快，频带

10、宽度越宽信号作用时间越短，包含的频率信息越多信号作用时间越短，包含的频率信息越多11第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱周期矩形脉冲信号的时域与频域合成图周期矩形脉冲信号的时域与频域合成图 加深加深理解理解12第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱例例1-21-2：13第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的有效值：周期信号的有效值： +p0mk0k0k0kk=1k=1i (t)= I +Icos(k t +)= I +2I cos(k t +)00T22Tp-021I =i (t)dtT00T+2222222T0k0k0k-k=1k=1021I =I+2I cos (k

11、 t +) dt = I +IT帕斯瓦尔恒等式帕斯瓦尔恒等式时域时域频域频域14第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的帕斯瓦尔定理周期信号的帕斯瓦尔定理 ：00T22Tp-021P =f (t)dtT+0kk=1P = P +P00T222T000-021P =c dt = cT00T2222Tkk0kk-0211P =c cos (k t +)dt =cT2其中其中15第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的指数频谱周期信号的指数频谱： 00000000jk t-jk tjk t-jk t+p0kkk=1+jk t-jk tkkkk0k=1k=1-1+jk tjk

12、t-k-kkk0k=1k =-e+ee-ef (t)= a +a+b2j2a - jba + jb= a +e+e22a+ jba - jb=e+a +e22欧拉公式：欧拉公式：cos2sin2jxjxjxjxeexeexj16第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱0+jk tpkk=-f (t)=F e00kk-kk-kkF = c cF = F=, k = 1, 2, . 2 = -=, k = 1, 2, . -1kkkk-1k-kkk000b22-jtanjkkajkkkkkb22jtanjkka-jkkk-k-kF = a = ca +ba - jbcF = F e=e=e222

13、a +ba + jbcF = Fe=e=e222其中其中周期信号傅里叶级数的指数形式周期信号傅里叶级数的指数形式17第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱直接计算展开系数的方法直接计算展开系数的方法： 0000t +T-jk tkpt01F =f (t)edt , k = 0, 1, 2, .T 指数频谱：指数频谱：按照傅里叶级数的指数形式定义周期信号的频谱，按照傅里叶级数的指数形式定义周期信号的频谱，这种频谱称为指数频谱，简称指数谱。这种频谱称为指数频谱，简称指数谱。 展开系数为展开系数为kF一般表现为一般表现为复数复数18第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱幅频特性幅频特性 幅频

14、特性关于幅频特性关于纵轴纵轴左右对称，为偶函数左右对称，为偶函数 相频特性相频特性相频特性关于相频特性关于纵轴纵轴左右反对称，为奇函数左右反对称，为奇函数 kFk = 0 = 0例题例题1-31-3：试求出例题：试求出例题1-11-1中周期矩形脉冲信号的指数中周期矩形脉冲信号的指数谱，并画出它的幅度谱和相位谱。谱，并画出它的幅度谱和相位谱。19第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱20第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号指数谱的帕斯瓦尔定理：周期信号指数谱的帕斯瓦尔定理： +2kk=-P =F周期信号的对称性周期信号的对称性： 周期信号为偶函数：周期信号为偶函数： 傅里叶级数中只含有直流分量和余弦项傅里叶级数中只含有直流分量和余弦项 000+jk t-jk tjk tkp0k00kk=1k=1k=-af (t)= a +a cosk t = F +(e+e)=F e2kF为实数为实数21第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期信号为奇函数：周期信号为奇函数： 傅里叶级数中只含有正弦项傅里叶级数中只含有正弦项 kF为虚数为虚数000+jk t-jk tjk tkpk0kk=1k=1k=-jbf (t)=b sink t =(e-e)=F e222第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期信号为奇谐波