小学奥数同余问题

1、同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是 7时30分， 再过52小时是几时几分？我们知道一天是 24小时，52+ 24:24 ,也就是说52小时里包含两 个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题 的着眼点是放在余数上了。1 .同余的表达式和特殊符号37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。记作：37 =44 （ mod7）“三”读作同余。一般地，两个整数a和b,除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同 余，记作：二一二二”？2 .同余的性质（1）a三小

2、血od阳）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若,那么方三口（mod（这称作同余的对称性）（3）若a三附），方三4modm,贝相三e（mod切）（这称为同余的传递性）（4）若，e三d（mod冲，则三idd （mod加）（这称为同余的可加性、可 减性）axembxd（mod）（称为同余的可乘性）（5）若a三nmod那），则/三（mod网，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果二一：工”;那么都（6的差一定能被k整除）这是为什么呢？& a = i（mod k）口二切十八, 色=弓）占=刈+弓a-b =+/一(制 +&)=依l+rkqh-r2=孙一妫= siflk也就是ml，机的

3、公约数，所以有 啊%-%)下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几?分析与解答：(412 - 257),矶257-13假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以 .(412 13,说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数(155, 124, 279) = 31所以a最大是31例2. 249 x388x234除以19,余数是几?分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以 19,就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了249 = 2(mod

4、19)383 = 8(modl9)234 = 6(mod 19)234x 388x249 6 x8x 2(modl9)6x8x2 = l(modl9)所以4.；4 一二此题应用了同余的可乘性，同余的传递性2222a，例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2, 1997个2 这个数除以13,商的第100位是几？最 后余数是几？分析与解答：22221997个2这个数除以13,商是有规律的。22221997 -13=170940170940商是170940六个数循环，那么 1。0+6=164 ，即 1。三 4(mod6),我们从左向右数 “170940 ”的第4个数就是我们找的那个数 “9”，所

5、以商的第100位是9。余数是几呢？2222回温而 43 = 1709401709401 ”1996+6=3324则1.一二所以商的个位数字应是 “170940 ”中的第4个，商应是9,相应的余数是5。【模拟试题】(答题时间：20分钟)1 .求下列算式中的余数。1111222111,2s /、/(1) 1997个 1s1997 个 2声33334444、 /、 /(3) 1997个 3m3(4)1997 个 4132 . 6254与37的积除以7,余数是几？3 .如果某数除482, 992 , 1094都余74 ,这个数是几?同余问题(二)【例题分析】例1. 1997血除以7,余数是几？分析与解

6、答：0 1997 + 7 = 2852.1997 三 2(nwd7)1997* 2期(mod7)性质521 = 2(mod7)2: =4(mod7)23 - l(mod7)1997m 三 2 x23 x23 x x23x2133个三1 x 1，1 xx 2=2 (mod 7).1997100 = 2(mod7)例2. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为a那么-，二1as3(mod5)a=l(mod7)这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以3余2,

7、除以5余2,除以7余2,那么，这个自然数若减去2,便同时是3, 5, 7的倍数，这样的自然数有：105, 210, 315,分别被3, 5, 7除余2的数是2, 107, 212, 317,最小的自然数是2。回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：a = 5 = 8(mod3)a = 8(mod5)a = 3(mjod7)这样同时是3, 5, 7倍数的数有105, 210, 315,那么同时被3, 5, 7余8的数有：8, 113, 218, 323,其中最小的自然数为8。例3.在求51173526被7除的余数时，小明这样做：51173526t51126t212

8、6 t5所以余数是5刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？分析与解答：看了下面的算式，你就会明白的。51173526= 51100026+70000 + 3500=49000000 + 2100026+70000 + 3500二 49000000 + 2100000+70000 + 3500+21+5=7的倍数4-5小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为 “拼凑法”在解关于用几除的余数的问题 时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以 “置之不理”，这样可以使解答 过程简化。例4. 1+23+33 +4*+55 + 6( +7 +黑+ 9除以3

9、的余数是几？为什么？分析与解答：在上式的加项中，支1显然可以被3整除，因此只须计算l + 2+4+f+7+炉被3 除余数是几。由于4三7三5三 8三 2mod3)因此 工j7,三 f 三 l(mod355$ 三 25(mod3)83 = 2 (mod 3)由此可知，只须计算1+2“+1 + 25+ 1+2被3除的余数，它又等于7x(1+2,+2)被3除的 余数。由于2, kmog ,所以2a x(l+23+2) = 1x(l+2+l) = l(mod3)所以余数是1精品资料【模拟试题】1.今天是星期日，再过365湖大又是星期几?5.若将一批货物共3部千克装入纸箱，每箱装102.求2002迎口除

10、以3所得的余数。千克，最后余多少千克？若每箱装 后还余多少千克？17千克，最3.某数除680 , 970和1521 ,余数相同，这个6、1309被一个质数相除，余数是 21,求这个质数。数最大是几?7、1796被一个质数相除，余数是 24,求这个质数。4.有一列数排成一行，其中第一个数是 3,第二 个数是7,从第三个数开始，每个数恰好是前两 个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是 几？12 、 两个自然数相除， 商 15 ， 余 3 ， 被除数、 除数、 商、8、求2001 x2000除以7的余数。余数的和是853 ,求被除数。9、求123 m45+234 m56除以11的余数。13 、

11、有一个数除以 3 余 1 ，除以 4 余 2，问这个数除以12 ，余数是几？10 、有一个大于1 的整数，它除1000 、 1975 、 2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？14 、一个数除以 5 余 1 ，除以 6 余 3 ，除以 7 余 4 ，这11 、有三个数 1989 、 901 和 306 被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。个数最小是几？精品资料19 、 当 2002 和 1781 除以某一个自然数， 余数分别是2精品资料和 1 ，那么这个数最大是多少？4937 x15、3867 x4253 = 1644 0351 ,求口里的数。6845 =3379 口65

12、,求口里的数。数是多少？21 、有一个数，除以 3 余数是 1 ，除以 4 余数是 3 。这个数除以 12 ，余数是多少。16 、两个自然数相除，商8 余 16 ，被除数、除数、商20 、一个数除以 17 的余数是 5 ，被除数扩大2 倍，余与余数的和为265 ，求除数是多少？17 、写出除以 8 所得的商和余数（不为 0 ）相同的所有 的数。18、2002 x2002-2001 除以9的余数是多少?22 、 570 被一个两位数除， 余数是 15 ， 这个两位数是多精品资料少？28 、 求被 4 除余 2 ， 被 6 除余 2 ， 被 9 除余 5 的两位数。29 、一个数能被3、 5、 7 整除，若用 11 去除则余 7，这个数最小是几？23 、有一个数加上22 的和被 9 除余 3 ，这个数加上35的和被 9 被余几？b组26 、把几十个苹果平均分成若干份，每份 9 个余 8 个，每份 8 个余 7 个每份 4个余 3个。 这堆苹果共有多少个？27 、有一个数被 5 和 11 整除均余 4 ，被 3 正好整除，这个数最小是几？30 、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组 6.3 元，第二组 7.7 元，第三组6.3 元，