2021年人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)5.3.2《极值与最值》（解析版）

1、5.3.2 极值与最值思维导图常见考法考点一 求极值及极值点【例3】（2020安徽滁州高二期末（理）已知函数在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】（1），切线为，即斜率，纵坐标即，解得，解析式（2） ，定义域为得到在单增，在单减，在单增极大值，极小值.【一隅三反】1（2020重庆高二期末）函数的极小值点为_【答案】2【解析】因为，所以，令，得，所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以在时取得极小值，故填：2.2（2020广东云浮高二期末）函数的极大值为_【答案】【解析】依题意得.所以当时，；当时

2、，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，函数有极大值故答案为：.3（2020四川内江高二期末（文）已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）或.【解析】（1），定义域为，.令，解得或；令，解得.所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，函数的极大值为，极小值为；（2）令，解得或，所以，切点坐标为或，则有或，解得或.考点二 求最值点最值【例2】（2020兴仁市凤凰中学高二月考（文）已知函数f（x）=x2（x-1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间-

3、1，2上的最大值和最小值【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为(2) 最大值，最小值【解析】（1），由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，所以最大值，最小值【一隅三反】1（2020四川射洪中学高二期中（文）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值【答案】（1），；（2）13【解析】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，所以，即， 又由，则，而由切线的斜率可知，即，由，解得，(2)由(1)知，则，令，得或，当变化时，的变化情况如下表： 321008极大值极小值4的极大值为，极小值为

4、，又，所以函数在上的最大值为132（2020霍邱县第二中学高二月考（文）已知函数().（1）若，求在上的最小值和最大值；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值是，最大值是；（2）.【解析】（1），由得，解得，令，即，解得或，极小值在上的最小值是，最大值是；（2）由题意得：在区间上恒成立，又当时，是增函数，其最小值为，即实数的取值范围是.3（2020山东中区济南外国语学校高二月考）设函数过点（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）增区间，减区间，极大值，极小值（2）最大值，最小值【解析】（1）点在函数的图象上,解得,当或时, ,单调递增

5、;当时, ,单调递减.当时, 有极大值,且极大值为,当时, 有极小值,且极小值为（2）由1可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. ,又, 考点三 已知极值及最值求参数【例3-1】（2020霍邱县第二中学高二开学考试（文）已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A(，0)BC(0,1)D(0，)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnxax），则f（x）=lnxax+x（a）=lnx2ax+1，令f（x）=lnx2ax+1=0得lnx=2ax1，函数f（x）=x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）=lnx2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y

6、=2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0a时，y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B【例3-2】（2020山东高三月考）已知函数（1）求的极值；（2）求在上的最大值【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）函数的定义域为，当时，恒成立，则在上是减函数，无极值；当时，令，解得，则在上是减函数，在上是增函数，所以当时，有极小值，无极大值，综上，当时，无极值，当时，有极小值，无极大值；（2）当时，由（1）知在上是减函数，所以当时，有最大值；当时，由（1）知在上

7、是减函数，在上是增函数，（i）当，即时，在上是增函数，所以当时，有最大值；（ii）当即时，在上是减兩数，在上是增函数.若，即时，有最大值；若，即时，有最大值；（）当即时，在上是减函数，所以当时，有最大值，综上所述，当时，有最大值；当时，有最大值.【一隅三反】1（2020重庆北碚西南大学附中高二期末）已知函数在处取得极值，则（ ）A1B2CD-2【答案】C【解析】，依题意，即.此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.所以.故选：C2（2020山西应县一中高二期中（理）已知函数的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【

8、解析】由函数f（x）x3+2ax2+3bx+c，求导f（x）3x2+4ax+3b，f（x）的两个极值点分别在区间（1，0）与（0，1）内，由3x2+4ax+3b0的两个根分别在区间（0，1）与（1，0）内，即，令z2ab，转化为在约束条件为时，求z2ab的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为z2ab，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，因为可行域不包含边界，z2ab的取值范围（，）故选B3（2020四川省绵阳江油中学高二开学考试（理）若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可得：，因为函数恰有两个极值点，所以函数有

9、两个不同的零点.令，等价转化成有两个不同的实数根，记：，所以，当时，此时函数在此区间上递增，当时，此时函数在此区间上递增，当时，此时函数在此区间上递减，作出的简图如下：要使得有两个不同的实数根，则，即：，整理得：.故选D4（2020江苏溧水高二期中）已知函数（）当时，求函数的单调增区间；（）求函数在区间上的最小值【答案】（）(0，)，(1，) （）【解析】（）当时，定义域为令，得或 列表如下所以函数的单调增区间为和 （）令，得或 当时，不论还是，在区间上，均为增函数所以； 当时，0极小值所以； 当时，1所以综上，.5（2020邢台市第二中学高二期末）设函数（）.（1）讨论函数的极值；（2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.【答案】（1）当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）【解析】（1）.当时，在R上单调递增；无极值当时，解得，由，解得.函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增，函数在上的最小值为，即，矛