电路方程的矩阵形式课件

1、第第1212章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 在实际工程应用中，电路的规模日益增大，在实际工程应用中，电路的规模日益增大，结构日趋复杂。为了便于利用计算机作为辅助手结构日趋复杂。为了便于利用计算机作为辅助手段进行电路分析，有必要研究系统化建立电路方段进行电路分析，有必要研究系统化建立电路方程的方法。计算机辅助分析电路所需的基本知识：程的方法。计算机辅助分析电路所需的基本知识：电路图论电路图论和和矩阵代数矩阵代数。 下面主要介绍电路图论基础。下面主要介绍电路图论基础。12.1 电路的图电路的图12.2 回路、树、割集回路、树、割集12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵

2、、割集矩阵12.4 矩阵矩阵A、Bf、Qf之间的关系之间的关系第第1212章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式1 12.1 2.1 电路的图电路的图一、图一、图(Graph)1 1、图：、图：以线段代替电路中的支路，保留原电路中的以线段代替电路中的支路，保留原电路中的节点，所构成的点线图，称为原电路对应的图，用节点，所构成的点线图，称为原电路对应的图，用G G表示。表示。1 12.1 2.1 电路的图电路的图图反映了支路和节点关联的情况，而不能反映出各支图反映了支路和节点关联的情况，而不能反映出各支路的具体元件。路的具体元件。2 2、画图的目的：、画图的目的：表达给定电路的节点和支路的互

3、相连接表达给定电路的节点和支路的互相连接的约束关系的约束关系( (拓扑性质拓扑性质) )。1 12.1 2.1 电路的图电路的图3 3、同构电路：、同构电路： 具有相同图的电路。具有相同图的电路。G1 12.1 2.1 电路的图电路的图二、子图二、子图( (Subgraph)Subgraph)：若图若图G Gi i的节点和支路均属于的节点和支路均属于图图G G，则则G Gi i称为称为G G的子图。的子图。G123456 G1 345 1 12.1 2.1 电路的图电路的图子图子图G123456 G2 345 1 12.1 2.1 电路的图电路的图子图子图G123456 G3 1 12.1 2

4、.1 电路的图电路的图子图子图G123456 G44 1 12.1 2.1 电路的图电路的图注意：注意：1 1、支路必须连在节点间。移支路可保留节点。、支路必须连在节点间。移支路可保留节点。G123456 如移支路如移支路1 1，2 2，6 6，节点可保留。，节点可保留。 345 孤立孤立节点节点1 12.1 2.1 电路的图电路的图注意：注意：2 2、移节点必须移去与之相连的支路。、移节点必须移去与之相连的支路。G123456 如移节点，支路如移节点，支路1 1，2 2，6 6不能保留。不能保留。 345 1 12.1 2.1 电路的图电路的图注意：注意：3 3、支路可接在同一节点上。此即为

5、自环。、支路可接在同一节点上。此即为自环。支路支路7 7为为自环自环( (self-loop)self-loop)。G123456 71 12.1 2.1 电路的图电路的图三、路径三、路径：任两节点间支路的集合。任两节点间支路的集合。G123456 如：如：（2，4）（2，3，5）（1，5）（6）1 12.1 2.1 电路的图电路的图G123456 如：如：（2，3）（6，5）（1）（2，4，5）1 12.1 2.1 电路的图电路的图四、连通图四、连通图：任两节点间至少有一条路经。任两节点间至少有一条路经。G123456 7 123456 7 非连通图非连通图1 12.1 2.1 电路的图电路

6、的图五、有向图五、有向图1 12.1 2.1 电路的图电路的图若在图中各支路上标上方向（原电路中各支路电流的若在图中各支路上标上方向（原电路中各支路电流的方向），即形成方向），即形成有向图有向图。G5G3G6G2IS4IS1 G123456 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集一、回路一、回路( (Loop)Loop) 如果从起始节点出发，经过若干条支路回到原如果从起始节点出发，经过若干条支路回到原出发节点的过程中所经过的节点都是一次，则这条闭出发节点的过程中所经过的节点都是一次，则这条闭合路径就称为图合路径就称为图G G的一个回路。的一个回路。G123456 246 1 12.

7、2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集G123456 123 345 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集G123456 2356 12346 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集思考思考下图构不构成一个回路？下图构不构成一个回路？1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集二、树二、树( (Tree)Tree)树树 指图指图G G中的一个连通子图，它包含图中的一个连通子图，它包含图G G的全部节点的全部节点而不包含任一回路。而不包含任一回路。 显然，对含显然，对含n n个节点的电路来说，树支数目为个节点的电路来说，树支数目为n-1n-1。G123456 1

8、35 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集123456 135 136 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集G123456 245 134 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集完备图完备图123456 对一个完备图（每个节点关联对一个完备图（每个节点关联n-1条支路）来说，条支路）来说，树的总数为树的总数为nn-2。1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集三、单连支回路（基本回路）三、单连支回路（基本回路）Bf1 1、连支、连支 除去树支后所剩的支路除去树支后所剩的支路。123456 123456 显然，连支数为显然，连支数为b-(n-1)b

9、-(n-1)。1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集2 2、单连支回路（基本回路）、单连支回路（基本回路） 由一条连支和若干由一条连支和若干条树支组成的回路。条树支组成的回路。123456 （2，1，3）（4，3，5）（6，1，5）123456 （2，1，3）（4，3，1，6）（5，1，6）1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集123456 （2，1，3）（4，3，5）（6，1，5） 对某个树而言，全部单连支回对某个树而言，全部单连支回路的集合，构成单连支回路组或路的集合，构成单连支回路组或基本回路组。基本回路组。 基本回路组是独立回路组，但基本回路组是独立回路组，但独

10、立回路组不一定是单连支回路独立回路组不一定是单连支回路组。组。 基本回路的基本回路的KVL方程互相独立。方程互相独立。 不同的树对应不同的基本回路。不同的树对应不同的基本回路。1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集四、单树支割集（基本割集）四、单树支割集（基本割集）Qf1 1、割集、割集 是一组支路的集合是一组支路的集合。它必须满足：它必须满足： 把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。少移其中任一条支路，图还是连通的。135246 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、

11、树、割集四、单树支割集（基本割集）四、单树支割集（基本割集）Qf1 1、割集、割集 是一组支路的集合是一组支路的集合。它必须满足：它必须满足： 把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。少移其中任一条支路，图还是连通的。135246 1351351351 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集四、单树支割集（基本割集）四、单树支割集（基本割集）Qf1 1、割集、割集 是一组支路的集合是一组支路的集合。它必须满足：它必须满足： 把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括把这些支路移

12、去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。少移其中任一条支路，图还是连通的。246 13511 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集四、单树支割集（基本割集）四、单树支割集（基本割集）Qf1 1、割集、割集 是一组支路的集合是一组支路的集合。它必须满足：它必须满足： 把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。少移其中任一条支路，图还是连通的。246 13531 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集四、单树支割集（基本割集

13、）四、单树支割集（基本割集）Qf1 1、割集、割集 是一组支路的集合是一组支路的集合。它必须满足：它必须满足： 把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。少移其中任一条支路，图还是连通的。246 13551 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集2 2、找割集的方法、找割集的方法 任作一封闭面，让封闭面包围图任作一封闭面，让封闭面包围图G的某的某些节点。如果把被封闭面切割的支路移去，图些节点。如果把被封闭面切割的支路移去，图G即变为封闭即变为封闭面内外两个分离部分，则这些被封闭面所

14、切割的支路的集合面内外两个分离部分，则这些被封闭面所切割的支路的集合就构成图的一个割集。就构成图的一个割集。 G123456 Q1Q1(4，5，6)123 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集2 2、找割集的方法、找割集的方法 任作一封闭面，让封闭面包围图任作一封闭面，让封闭面包围图G的某些的某些节点。如果把被封闭面切割的支路移去，图节点。如果把被封闭面切割的支路移去，图G即变为封闭面内外即变为封闭面内外两个分离部分，则这些被封闭面所切割的支路的集合就构成图两个分离部分，则这些被封闭面所切割的支路的集合就构成图的一个割集。的一个割集。 G123456 Q2Q3(1，2，6)Q2(

15、2，3，4)G123456 Q31 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？ Q19123456 78 910正确！正确！ Q1(1，5，9)1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集Q29123456 78 910正确！正确！ Q2(1，2，3，4)试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？ 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集123456 78 910错误！错误！ 因为补上支路因为补上支路2仍为两个分离图。仍为两个分离图。试判断图中封闭面

16、所切割的支路是否构成割集？试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？ Q3912456 8 9 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集123456 78 910错误！错误！ 因为原图被分割成五个分离图。因为原图被分割成五个分离图。试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？ 1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集3 3、单树支割集（基本割集）、单树支割集（基本割集）Qf 由一条树支和若干由一条树支和若干条连支构成的割集。条连支构成的割集。 一个图的独立割集为一个图的独立割集为n-1。 基本割集组为独立割集组，但独立割集组不一定为基

17、本割集组为独立割集组，但独立割集组不一定为基本割集组基本割集组。123456 Q3Q2Q1Q1（1，2，4，5）Q2（3，2，4）Q3（6，4，5）1 12.2 2.2 回路、树、割集回路、树、割集04030201531654432621 iiiiiiiiiiii：节节点点：节节点点：节节点点：节节点点一、关联矩阵一、关联矩阵 G123456 1、完全关联矩阵、完全关联矩阵Aa1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵1234561100010111000000111101010i

18、iiiii 矩阵形式：矩阵形式：1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵04030201531654432621 iiiiiiiiiiii：节节点点：节节点点：节节点点：节节点点 G123456 矩阵形式：矩阵形式：0iA aKCLKCL的矩阵形的矩阵形式式Aa为完全关联为完全关联矩阵矩阵完全关联矩阵反映节点和支路关联的关系。完全关联矩阵反映节点和支路关联的关系。1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 G123456 1234561100010111000000111101010iiiiii 110001011100

19、A000111101010a 1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵特点：特点：每列均有每列均有两个非零元素两个非零元素 G123456 1234561100010111000000111101010iiiiii 节节点点非非关关联联。支支路路和和节节点点。指指向向节节点点关关联联，且且支支路路方方向向支支路路和和节节点点。离离开开节节点点关关联联，且且支支路路方方向向支支路路和和jkjjkjjkajk0111 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 G123456 123456 1234561100010111000

20、000111iiiiii 矩阵形式：矩阵形式：（降阶）（降阶）关联矩阵关联矩阵A A(incidence matrix)2、（降阶）关联矩阵、（降阶）关联矩阵A1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵形式：矩阵形式：0Ai KCL的另一种的另一种形式形式1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 G123456 G123456 0:0:0:642354323211 uuuluuuluuul0101010011100000111654321 uuuuuu二、回路矩阵二、回路矩阵 描述有向图中回路和支路关联的性质描述有向

21、图中回路和支路关联的性质1 1、独立回路矩阵、独立回路矩阵B Bl3l1l21 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 123456 0101010011100000111654321 uuuuuul3l1l2Bu=0独立回路矩阵独立回路矩阵bnbB )1(1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 123456 l3l1l2 101010011100000111B 回路与支路非关联回路与支路非关联。路方向与支路方向相反路方向与支路方向相反回路与支路关联，且回回路与支路关联，且回。路方向与支路方向一致路方向与支路方向一致回

22、路与支路关联，且回回路与支路关联，且回011jkB1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 123456 2 2、基本回路矩阵、基本回路矩阵Bf写写Bf步骤：步骤：1、首先、首先选定一棵树选定一棵树。2、将连支、将连支按连支号依次排列按连支号依次排列为为1l（ l为连支数）列，将树支号依次为连支数）列，将树支号依次排列为排列为l+1b列。列。3、将基本回路号与连支的列号对、将基本回路号与连支的列号对应，且应，且取连支方向取连支方向为基本回路方向。为基本回路方向。l3l1l2:1:101100110010011001531642321tltlfBBBlllB

23、 BlBt1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 G123456 000654531621 iiiiiiiii三、割集矩阵三、割集矩阵 描述有向图中割集和支路关联的性质描述有向图中割集和支路关联的性质1 1、独立割集矩阵、独立割集矩阵Q:Q: 独立割集的个数为独立割集的个数为n-1个个 给割集赋一方向给割集赋一方向1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 G123456 三、割集矩阵三、割集矩阵 描述有向图中割集和支路关联的性质描述有向图中割集和支路关联的性质1 1、独立割集矩阵、独立割集矩阵Q:Q: 独立割集的个数

24、为独立割集的个数为n-1个个 给割集赋一方向给割集赋一方向0111000010101100011654321 iiiiii1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 123456 0111000010101100011654321 iiiiiiQi=0割集意义割集意义下的下的KCLKCL方程方程独独立立割割集集矩矩阵阵bnQ )1(1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 割割集集与与支支路路非非关关联联。集集方方向向与与支支路路方方向向相相反反割割集集与与支支路路关关联联，且且割割。集集方方向向与与支支路路方方向向一一

25、致致割割集集与与支支路路关关联联，且且割割011jkQ 111000010101100011Q 123456 1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵2 2、基本割集矩阵、基本割集矩阵Qf写写Qf步骤：步骤：1、首先、首先选定一棵树选定一棵树。2、将树支、将树支按树支号依次排按树支号依次排列为列为1n-1列，将连支号依次排列为列，将连支号依次排列为nb列。列。3、将基本割集号与树支的列号对、将基本割集号与树支的列号对应，且应，且取树支方向取树支方向为基本割集方向。为基本割集方向。:1:110100011010101001642531321ltltfQQQQQQQ QtQl 123456 Q1Q2Q31 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵:1:110100011010101001642531321ltltfQQQQQQQ :1 :101100110010011001531642321tltlfBBBlllB TltQB 1 12.3 2.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵26918354107已知：已知：T（5，6，7，8）试写出