直线与双曲线位置关系典例精析[科学书苑]

1、直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2弦长公式：设直线交双曲线于，则，或二、基础自测1经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条2直线y= kx与双曲线不可能（ ）（A）相交 （B）只有一个交点 （C）相离 （D）有两个公共点3过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是(A) (B) (C) (D) 4若一直线平行于双曲线的一条渐近线，则与双曲线的公共点个数为 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5经过双曲线

2、的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 6直线在双曲线上截得的弦长为4，且的斜率为2，求直线的方程三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1. 如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围有两个公共点呢？解，所以=， 所以，故选D. 2(2010安徽)若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 ()A. B. C. D.解：由得(1k2)x24kx100，解得k0进行验证即可6. 双曲线方程为.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由7、已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（）求双曲线的方程；（

3、）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。 题型三： 求双曲线方程8. 已知焦点在x轴上的双曲线上一点，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线被双曲线截得的弦长为，求此双曲线的标准方程9、设双曲线与直线相交于不同的点A、B.求双曲线的离心率的取值范围；设直线与轴的交点为，且，求的值。解：(1)将yx1代入双曲线y21中得(1a2)x22a2x2a20 由题设条件知，解得0a且a1， 又双曲线的离心率e，0a且e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1) ， (x1，y11)(x2，y21)x1x2，x1、x2是方程的两根，且1a20

4、， x2，x，消去x2得， a0，a.10. 已知双曲线的焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于、两点，若 (其中为原点），求双曲线方程。11. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程解：（）设， 由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,则离心率（）过直线方程为,与双曲线方程联立，将，代入，化简有 将数值代入，有, 解得 故所求的双曲线方程为。12、已知双曲线1(ba0)，O为坐标原点，离心率e2，点M(，)在双曲线上(1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l

5、与双曲线交于P，Q两点，且.求的值解： (1)e2，c2a，b2c2a23a2，双曲线方程为1，即3x2y23a2.点M(，)在双曲线上，1533a2.a24.所求双曲线的方程为1.(2)设直线OP的方程为ykx(k0)，联立1，得|OP|2x2y2. 则OQ的方程为yx，同理有|OQ|2， .13(2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点若l与圆x2y21相切，求证：OPOQ；(3)设椭圆C2：4x2y21.若M、N分别是C1

6、、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值解：(1)双曲线C1：，左顶点A，渐近线方程为：yx.过点A与渐近线yx平行的直线方程为，即yx1.解方程组，得. 所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)证明：设直线PQ的方程是yxb，直线PQ与已知圆相切，1，即b22.由得x22bxb210. 设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220. 故OPOQ.(3)证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|1，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为yk

7、x(显然)，则直线OM的方程为yx. 由得|ON|2.同理|OM|2. 设O到直线MN的距离为d.(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2， 3，即d.综上，O到直线MN的距离是定值五、能力提升1若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线总有公共点，则b的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D) 2过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条3过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ） (A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或44. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） (A) (1，2 (B)（1，2) (C) 2，+) (D) (2，+)6直线与双曲线的右支交于不同两点，则k的取值范围是 7. 已知倾斜角为的直线被双曲线截得的弦长，求