人教a版必修4学案：2.3.1平面向量基本定理(含答案)

1、数学大师 2.3平面向量的基本定理及坐标表示2. 3.1 平面向量基本定理自主学习知识梳理1 .平面向量基本定理（1）定理：如果 ei, 金是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a, 实数 ？i,红，使a =.（2）基底：把 的向量ei, e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.2 .两向量的夹角与垂直（1）夹角：已知两个 a和b,作oa = a , ob = b，则 = 0 （0 v 陛180）,叫做向量 a与b的夹角.范围：向量a与b的夹角的范围是 .当0= 0时，a与b.当0= 180时，a与b.（2）垂直：如果a与b的夹角是 ,则称a与b垂直，记作 .口自主探究设e1、e

2、2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量.通过作图法可以证明：一定存在一组实数 （4，尬）使a=归e1 +力及成立，并且（比 物是唯一的，请你根据 图1和图2叙述这一过程.对点讲练知识点一对基底概念的理解陟如果e1，e2是平面“内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）41+2（米 衣r）可以表不平面 a内的所有向量；对于平面a内任一向量a,使a= 21+2的实数对（入山有无穷多个；若向量 4e1+即2与 泅+区e2共线，则有且只有一个实数 使得 加e1+即2= 乂泅 + e2）；若存在实数 入使得 41+2=0,则|1= 0.a.b.c.d.回顾归纳 考查两个向量是否能

3、构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一 个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.变式训练1设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e与 e1 + e2；e1一2e2 与 e2 2e1；e1 一2e2 与 4e22e1；e1+e2 与 e1 一e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 .（写出所有满足条件的序号） 知识点二用基底表示向量【仞2 如图，梯形abcd中，ab/cd,且ab = 2cd, m、n分别是 dc和ab的中点, 若 ab = a, ad=b 试用 a, b 表示 dc、bc mn.回顾归纳 用基底表示向量的关键

4、是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向 量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形. 借助于平面几何知识和共线向量定理, 结合平面向量基本定理解决.变式训练2 如图，已知 abc中，d为bc的中点，e, f为bc的三等分点， 若ab = a, ac= b,用 a, b 表示 ad, ae, af.知识点三平面向量基本定理的应用31如图所示，在 abc中，点m是bc的中点，点n在边ac上，且an=2nc, am与bn相交于点 p,求证：ap ： pm = 4 ： 1.回顾归纳 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；(2)用基底表示向量也是运用向量解

5、决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握.变式训练3如图所示，已知 aob中，点c是以a为中点的点b的对称点，od = 2db, dc和oa交于点e,设oa=a, ob= b.(1)用a和b表示向量oc、dc;(2)若oe=肥)a,求实数入的值.9课堂小结1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量； 基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2,准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量

6、和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决课时作业、选择题12e1 + e2, e1 + 2e2e1 + e2, e1 e2）60d. 1201.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()a . e1 e2, e2 e1b .c. 2e23e1,6e1一4e2d.2 .等边 abc中，ab与bc的夹角是(a. 30b. 45c.3 .下面三种说法中，正确的是 ()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多

7、对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量.a.b.c.d.4.在 abc 中，d 于（）a.1e1 + 3e244c.te1 te244e, f依次是bc的四等分点，以ab = e1，ac=e2为基底，则af等b.4e1+4e2d.：e1+l445,已知 abc和点m满足ma+施+ mc = 0.若存在实数 m使得ab+ac=mam成立, 则m的值为()a. 2b. 3c. 4d. 5二、填空题6 .设向量 m=2a 3b, n= 4a- 2b, p=3a+2b,试用 m, n表示p的结果是 7 .在 abc 中，ab = c, ac=b.若点 d 满足bd = 2d

8、c,则ad =.三、解答题8 .如图在平行四边形 abcd中，m, n分别为dc, bc的中点，已知am = c, an = d, 试用c, d表示ab, ad.9 .如图所示，在aoab中，oc = 4oa, od = 1ob, ad与bc交于点 m ,设oa= a, ob =b,以a、b为基底表示 om.2.3平面向量的基本定理及坐标表示2. 3.1平面向量基本定理答案知识梳理1. (1)不共线 任意 有且只有一对?1e1+江e2(2)不共线所有2. (1)非零向量/aob 0,180 同向反向 (2)90 ab自主探究解 在平面内任取一点 o.作oa=e1, ob = e2, o = a

9、.过点c作平行于直线 ob的直线, 与直线oa交于点m;过点c作平行于直线 oa的直线，与直线 ob交于点n.由共线向量定理知，存在实数为、次使 尸尸,一 -t 广om=?iei, on= ?2e2,由于 oc =om+ on,所以 a= hei + 22e2.卜面说明这里的为、？2是唯一的.设 a= x iei + x 2e2为ei+ 2ef22=入iei+ 入2e2.（万一xi ）ei+（江一忒）e2= 0,ei、e2 不共线./一t =江一江=0.k = i 江=沦（九，m）是唯一存在的.对点讲练【仞md b 由平面向量基本定理可知,是正确的.对于，由平面向量基本定理可知, 基底下的实数

10、对是唯一的.一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此对于，当两向量的系数均为零，即方=尬=3=22= 0时，这样的 入有无数个，故选b.变式训练i解析 对于 4e2 2ei = - 2ei + 4e2= 2(ei 2e2),1- ei-2e2与4e22ei共线，不能作为基底.陟21解是平行四边形.如图所示，连接 cn,则四边形ancd_.一 一 i一 i则 dc = an=2ab = 2a,一 一 一 一 i 一bc=nc-nb= ad-2abib 2a，一 一 一 一 i 一mn = cn-cm = -ad-cdi =-ad-2变式训练2 f i - = ab+2bc一彳 ab =：a

11、b. 24解 ad = ab+ bd=a+、i!_a)= 2a+ 2b ；一 一 i 一ae = ab + be = ab + 3bc =a + 3(b-a)2 i= 3a+3b；一 一 一 一 2 一 2af = ab+bf = ab + 3bc =a + 3(b-a)=% +2b.33陟31 解设ab=b, ac=c,则am = 1b + 1c, an=|ac, bn=e3a+an = |c-b. 2233. ap/i am, bp / bn,存在n代r,使得ap=瓜m, bp=廊,又ap+pb = ab,一 、 4、11由入,b+ 2c3 3。一 b = b 得2.冷m脚=ab,2 计b

12、 + 2 卜 3 科 c= b.又与c不共线.4入=5；122人一尸0.，.4 f 一故 ap=am,即5变式训练3解且 od=2ob,解得ap ： pm = 4 ： 1.(1)由题意，a是bc的中点,._一一. f f f由平行四边形法则，ob+ oc = 2oa.一.oc=2oa-ob=2a-b, dc = oc od=(2 a b) 3b = 2a 3b.(2)ec / dc. 又ec= oc- oe =(2a- b)-后一 5= (2-4ab, dc = 2a-b, 32一入1. =253课时作业3.b1. d 2.d4. a /d, e, f依次是bc的四等分点, =1(,3 +ac

13、) = 1(e1 + e2),f t r. af = ae+ ef11 一bc= ac ab= e2 e1=2(e1 + e2) + bc11=2(e1 + e2) + 4(e2-e1)1一，3-4e1+4e2.5. b 设bc的中点为 d,由已知条件可得 m为4abc的重心，ab + ac=2ad, 2 f -又am = ad,故 m=3.7136. p= m + -8n解析 tsi p = xm + yn ,贝 u 3a+2b = x(2a3b) +y(4a2b)= (2x+ 4y)a+(3x 2y)b_72x+ 4y= 3x= 4? 小-3x-2y=2、，13y= 8217.3b +3c解析 ad = ab+ bd = ab+ -bc 3= ab+|(ac-ab)3=1ab + 2ac = 2b+ 1c. 3333-、心8 .解设ab=a, ad = b,因为m, n分别为dc, bc的中点, 所以 bn=|b, dm =|a,c= b + 2a1 d= a + |ba = 3 2d c,解得 2b = 2c- d3rr -2-2即ab=3(2dc), ad = 3(2c d).- 、9 .解 设om = ma+nb (m, nc