三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析

1、三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析兼析三道高考选择题周林（宁波市鄞州区正始中学， 浙江 宁波 315131）近几年高考题中，有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的物理分析就可以判断结论是否正确。因此，不仅要提升物理关系式的分析鉴别能力，而且更要挖掘出其中蕴含的物理思想和方法。让学生知其然还要知其所以然，本文拟用高等数学的定积分推导出三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度的表达式，并分析三道高考选择题。模型1：均匀带电的圆圈中心轴线上的电场强度如图1所示，均匀带电且单位长度带电量为的一个半径为r的圆圈，求其中心轴线上任意一点p（坐标为x）的电场强度图1在圆环上选取长

2、为dl的带电微元圆弧，根据点电荷的电场强度，在点p产生的电场方向与x轴的夹角为，沿x轴方向的大小为由定积分得 根据对称性和叠加性，均匀带电圆圈在点p产生的合场强必沿x轴方向，正负由电荷符号决定，大小为。若均匀带电圆圈的电量为q，即，则。讨论1：（1）当xr时，则e=0，相当于圆圈中心处的场强，根据对称性可得场强为零。 （2）当xr时，则，相当于点电荷的场强。若x时，则有e0。模型拓展1：两个彼此平行且共轴的均匀带电圆圈中心轴线上的电场强度（1）两圆圈带同种电荷例1：（2010年福建卷）物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图2所示为两

3、个彼此平行且共轴的半径分别为r1和r2的圆环，两圆环上的电荷量均为q(q0)，而且电荷均匀分布。两圆环的圆心o1和o2相距为2a，连线的中点为o，轴线上的a点在o点右侧与o点相距为r(r0）可得半径分别为r1、r2的两圆圈在点p产生的电场方向必然沿x轴方向，大小分别为 得点评：该题利用均匀带电的两个半径不同的两圆圈中心轴上某点的电场叠加进行求解，上述方法对学生来讲有很大难度，巧妙之处在于通过一定的物理分析可以判断出正确的结论。用物理思想中的单位法：根据电场强度定义式中场强的单位，采用单位判断法，满足条件的答案是b、d。特殊值法：当r=a时，由对称性可知，在右边圆圈中心o2处的合场强为零，即各表

4、达式中的第二项的值应为零，满足条件的答案是c、d。极值法：当r1、r20时，两圆圈上的电荷均匀分布且电荷量均为q(q0)，轴线上的a处的合场强不为零，满足条件的答案是c、d。故选项d正确。（2）两圆圈带异种电荷模型2：均匀带电的圆盘中心轴线上的电场强度如图3所示，半径为r的均匀带电圆盘，单位面积带电量为，求其中心轴线上任意一点p（坐标为x）的电场强度图3以o为圆心，以r为半径，在圆环上选取宽为dr的带电微元圆环，根据模型1结论，微元圆环在点p产生的电场方向必然沿x轴方向，大小为 由定积分得 讨论2：（1）当xr时，则，相当于无限大均匀带电平面附近的电场，可看成是均匀电场，场强垂直于板面，正负由

5、电荷符号决定。 （2）当xr时，根据泰勒公式：（x1）。得，故（），在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。若x时，则有e0。模型拓展2：无限大均匀带电平面中心轴线上的电场强度如图4所示，单位面积带电量为的无限大均匀带电平板，求其中心轴线上任意一点p（坐标为x）的电场强度图4图5以o为圆心，以r为半径，在圆环上选取宽为dr的带电微元圆环，根据模型1结论，微元圆环在点p产生的电场方向必然沿x轴方向，大小为由定积分得 即与讨论2（1）中的结论一致。模型拓展3：中间挖去一半径为r的圆盘的无限大均匀带电平面中心轴线上的电场强度如图5所示，单位面积带电量为的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板

6、，求其中心轴线上任意一点p（坐标为x）的电场强度以o为圆心，以r为半径，在圆环上选取宽为dr的带电微元圆环，根据模型1结论，微元圆环在点p产生的电场方向必然沿x轴方向，大小为由定积分得 例2：（2012年安徽卷）如图6所示，半径为r均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点p（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图7所示。则圆孔轴线上任意一点q（坐标为x）的电场强度为（ ）图6图7abcd解析：由模型拓展3结论可得，选项a正确。点评：用物理思想中的极值法，当r0时，电场

7、强度恒为定值，利用补偿法求解： ，故选项a正确。有助于提升学生对物理关系式的分析鉴别能力。模型拓展4：两个彼此平行且共轴均匀带电的圆盘中心轴线上的电场强度如图8所示，单位面积带电量分别为1、2的两个彼此平行且共轴的半径分别为r1和r2的圆盘平面，两圆的圆心o1和o2相距为l，求其轴线上任意一点p（与o1点相距为x，并在两圆心之间）的电场强度图8由模型2结论和电场叠加原理可得（1）两圆环带同种电荷（2）两圆环带异种电荷模型3：均匀带电的圆环中心轴线上的电场强度如图9所示，单位面积带电量为的一个内、外半径分别为r1和r2的圆环状均匀带电平面，求其中心轴线上任意一点p（坐标为x）的电场强度以o为圆心

8、，以r为半径，在圆环上选取宽为dr的带电微元圆环，根据模型1结论，微元圆环在点p产生的电场方向必然沿x轴方向，大小为图9由定积分得 讨论3：（1）当xr1时，则e=0，相当于圆环中心处的场强，根据对称性可得场强为零。 （2）当xr2时，根据泰勒公式得：（），在远离带电圆环处，相当于点电荷的场强。若x时，则有e0。例3：（2009年北京卷）如图9所示为一个内、外半径分别为r1和r2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为。取环面中心o为原点，以垂直于环面的轴线为x轴。设轴上任意点p到o点的的距离为x，p点电场强度的大小为e。下面给出e的四个表达式（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的。你可

9、能不会求解此处的场强e，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，e的合理表达式应为（ ） a bc d解析：由模型3结论可得，选项b正确。图10点评：该题也可以根据两个半径不同的模型2进行对比，利用补偿法求解，即半径大的圆盘减去半径小的圆盘在中心轴上的电场。上述两种方法对学生来讲有很大难度，巧妙之处在于通过一定的物理分析可以判断出正确的结论。用物理思想中的补偿法：把带电圆环看做从一个完整的圆盘中挖去一个较小的圆盘后形成的，则形成的电场应该是这两个带电圆盘各自形成的两个电场的差值，满足条件的答案是a、b。单位法：根据电场强度定义式中场强的单位，采用单位判断法，满

10、足条件的答案是b、d。极值法：当r10时，对于选项a而言接得e0，故a项错误。当x时，应该有e0，可知场强应接近零，故c、d错误。故选项b正确。模型拓展5：两个彼此平行且共轴均匀带电的圆环中心轴线上的电场强度如图10所示，单位面积带电量分别为1、2的两个彼此平行且共轴的圆环平面，左侧圆环的内、外半径分别为r1和r2，右侧圆环的内、外半径分别为r3和r4，两圆的圆心o1和o2相距为l，求其中心轴线上任意一点p（与o1点相距为x，并在两圆心之间）的电场强度由模型3结论和电场叠加原理可得（1）两圆环带同种电荷（2）两圆环带异种电荷这三道高考选择题的解答一改过去传统教学中“重结果，轻过程”的思维方法，貌似复杂的问题通过物理方法进行分析，能使物理问题的本质迅速暴露出来，