谈谈平面向量中未知参数值的求法

1、谈谈平面向量中未知参数值的求法 向量是既有大小又有方向的量.由于向量多了方向的特征，给处理含有未知参数的向量问题带来不便.本文就来谈谈这类问题的处理思路. 一、利用“平面向量的线性运算” 例1（江苏省苏北四市2011届高三第一次调研）在abc中，点m满足ma+mb+mc=0.若ab+ac+mam=0，则实数m的值为. 解法一注意到目标式ab+ac+mam=0中的向量均是以a为起点， 可将条件等式ma+mb+mc=0化为 am+（abam）+（acam）=0， 即ab+ac3am=0，故m=3. 解法二由条件式ma+mb+mc=0可知，m为abc的重心. 设点d为bc的中点，则 ab+ac=2a

2、d，am=2d3ad. 代入ab+ac+mam=0， 得（2+2d3m）ad=0. 因为ad0， 所以2+2d3m=0，故m=3. 例2（2009年湖南卷文）如图1，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，ad=xab+yac，则x=，y=. 解过d点作ab的垂线，交ab延长线于f点.由图知，abc为等腰直角三角形，不妨设ab=ac=1， 则de=bc=2. 在rtbed中，deb=60， bd=desin60=23d2=6d2. 因为dbf=180abccbd =1804590=45， 所以rtdbf为等腰直角三角形， bf=df=bdsin45=6d22d2=3d2. 由向量加法的三角形法则得

3、 ad=af+fd=（1+3d2）ab+3d2）ac， 故x=1+3d2，y=3d2. 例3（江苏省泰州市2011届高三第一学期期末）已知o是锐角abc的外接圆的圆心，且a=，若cosbdsincab+coscdsinbac=2mao，则m=（用表示）. 解如图2，连结ao，作oeac，ofab，则四边形aeof为平行四边形，故ae+af=ao. 在aoe中， aedsinaoe=aodsinaeo， 故ae=sinaoedsinaeoao. 在abc中，abdsinc=2ao （此处c指abc的内角acb，下同） 故ao=abd2sinc. 由oeac，得aoe=oac， aeo+=180，

4、 则sinaeo=sin. 延长ao交圆o于d点，连结bd，cd. 由圆的几何性质可得 oac+adc=90， adc=b（此处b指abc的内角abc，下同）， 所以aoe+b=90， 故sinaoe=cosb. 综合，式，可得 ae=cosbd2sincsinab. 注意到ae与ab方向相同，可得 ae=cosbd2sincsinab. 同理，可得af=coscd2sinbsinac. 所以ae+af=1d2sin（cosbdsincab+coscdsinbac）=1d2sin2mao=ao， 故m=sin. 评注例2、例3两个问题的实质是用ab，ac表示第三个向量.在表示第三个向量时，要尽

5、可能转化到三角形或平行四边形中去，选用首尾相连的向量或共起点的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算，把第三个向量转化为与ab，ac有直接关系的向量，从而得解. 二、利用“平面向量基本定理” 例4（2009年安徽卷文）在平行四边形abcd中，e和f分别是边cd和bc的中点，且ac=ae+af，其中，r，则+=. 解选bc，ba为基底.设bc=b，ba=a，则ac=ba，ae=b1d2a， af=1d2ba. 因为ac=ae+af， 所以ba=（b1d2a）+（1d2ba）， 即ba=（+1d2）b+（1d2）a. 由平面向量基本定理知 +1d2=1， 1d2=1， 两式相减并整理得+=4d3.

6、评注本题将条件等式两边的向量分别用基底a、b表示出来，然后根据平面向量基本定理，列出、的方程组，最后整体变形获得结果. 三、利用“平面向量的坐标相等的条件” 例5（2011年江苏省苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查）如图3，在正方形abcd中，e为ab的中点，p为以a为圆心、ab为半径的圆弧上的任意一点，设向量ac=de+ap，则+的最小值为. 解不妨设正方形abcd的边长为2，以ab所在直线为x轴，以ad所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 则a（0，0），c（2，2），d（0，2），e（1，0）， 所以ac=（2，2），de=（1，2）. 设pab= （0d2）， 则ap=（2cos，2si

7、n）. 因为ac=de+ap， 所以（2，2）=（1，2）+（2cos，2sin） =（+2cos，2+2sin）， 所以2=+2cos， 2=2+2sin. 解得=2sin2cosdsin+2cos， =3dsin+2cos. 于是+=2sin2cos+3dsin+2cos =3sin+3dsin+2cos1. 因为（+）=（3sin+3dsin+2cos1） =6+3sin3cosd（sin+2cos）20， 所以当0，d2时， +=3sin+3dsin+2cos1是增函数. 于是当=0时，+取最小值，最小值为3sin+3dsin+2cos1=1d2. 评注本题通过建立平面直角坐标系，将条

8、件等式ac=de+ap两边分别用坐标表示，依据向量相等的坐标条件，得到，与自变量之间的等量关系，进而建立了目标函数，用导数法求出最值. 四、利用“向量平行或垂直的充要条件” 例6已知点g为abc的重心，过点g作直线与ab、ac两边分别交于m、n两点，且am=xab，an=yac，求1dx+1dy的值. 解因为点g为abc的重心，所以 ag=1d3（ab+ac）. mg=agam=1d3（ab+ac）xab =（1d3x）ab+1d3ac， ng=agan=1d3（ab+ac）yac =1d3ab+（1d3y）ac. 因为mgng， 所以存在实数，使得mg=ng， 即（1d3x）ab+1d3ac

9、=1d3ab+（1d3y）ac， 因此1d3x=1d3， 1d3=（1d3y）. 消去得1d3=（13x）（1d3y）， 即x+y=3xy. 两边同除以xy得1dx+1dy=3. 例7（2005年全国卷理）abc的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，oh=m（oa+ob+oc），则实数m=. 解设bc边的中点为d，则 ob+oc=2od. 由于o为abc的外心， 故ob=oc，所以odbc， 因此odbc=0. 依题意有ah=ohoa =（m1）oa+2mod. 因为h为abc的垂心， 所以ahbc=0， 即（m1）oa+2modbc=（m1）oabc+2modbc=0. 所以（m1）o

10、abc=0. 由于oabc不恒为0， 故m1=0，即m=1. 评注在处理与平行、垂直有关的问题时，可依据平面向量平行、垂直的充要条件，建立关于未知参数的方程（组），进而得出结果. 五、 利用“向量的模的计算公式” 例8设平面内两个向量a=（cos，sin），b=（cos，sin），且0 若两个向量ka+b与akb的模相等，求的值（k0，kr）. 解法一ka+b=（kcos+cos，ksin+sin）， akb=（coskcos，sinksin）. 由条件得 （kcos+cos）2+（ksin+sin）2 =（coskcos）2+（sinksin）2. 两边平方并整理得 4k（coscos+si

11、nsin）=0， 即4kcos（）=0. 因为k0，所以cos（）=0. 又因为0 所以0 解法二由条件得a2=b2=1， ab=coscos+sinsin=cos（）. 因为|ka+b|2=|akb|2， 所以（k21）+4kcos（）+（1k2） =0， 即4kcos（）=0.下与解法一相同. 评注在处理与模有关的问题时，可利用平面向量的模的坐标公式，或把模平方后转化为数量积的运算，从而把有方向的向量问题，转化为数量问题. 六、利用“向量的数量积” 例9（2010年江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点a（1，2）、b（2，3）、c（2，1）.设实数t满足（abtoc）oc=0，求t的值.

12、解法一由条件得oc=（2，1）， abtoc=（3+2t，5+t）. 由（abtoc）oc=0， 得（3+2t）（2）+（5+t）（1）=0， 解得t=11d5. 解法二由条件得 ab=（3，5），oc=（2，1）， 故aboc=11，oc2=5. 因为（abtoc）oc=0， 所以aboc=toc2， 即t=abocdoc2=11d5. 评注本题在化简条件等式（abtoc）oc=0的左边时，有两种思路，一种是先代入坐标，再进行坐标运算；另一种是先进行向量符号的运算，再代入坐标化简. 例10同例3. 解如图4，连结ao并延长交圆o于d点，连结bd，连结cd. 设圆o的半径为r，ab=c，ac=

13、b， bad=，cad=. 因为cosbdsincab+coscdsinbac=2mao， 所以cosbdsincabao+coscdsinbacao =2maoao， 所以cosbdsinccrcos+coscdsinbbrcos =2mr2， 所以m=cosbdsinccd2rcos+coscdsinbbd2rcos. 在rtabd和rtacd中， cos=cd2r，cos=bd2r， 由正弦定理得cd2r=sinc，bd2r=sinb. 所以m=cosbdsincsincsinc+coscdsinbsinbsinb=cosbsinc+coscsinb=sin（b+c）=sin（a）=sina=sin. 例11（2009年安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量oa和ob，它们的夹角为120.如图5所示，点c在以o为圆心的圆弧ab上变动.若oc=xoa+yob，其中x，yr，则x+y的最大值是. 解设aoc=（02d3）， 则boc=120. 因为oc=xoa+yob，所以 ocoa=xoaoa+yoboa， ocob=xoaob+yobob， 即cos=x1d2y， cos（120）=1d