广东省中山市高三第一学期期末统一考试文科数学试题及答案

1、中山市高三级20132014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1设复数，则在复平面内对应的点在( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2设全集是实数集,

2、则（ ） ab cd3已知平面向量，若，则等于( )abcd4已知数列为等差数列，若，则a36b42c45d635在某次测量中得到的样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据,则,两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）a众数b平均数c中位数d标准差6如图，设a、b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离为50m，后，就可以计算出a、b两点的距离为（ ）a. b cd7如图，定义某种运算，运算原理如右图所示，则式子的值为（ ）a11 b13c8d48若一个底面为正三角形、侧棱

3、与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ） abcd69已知函数满足，且时，则当时，与的图象的交点个数为( )a11b10c9 d810对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（ ）a、b、c、 d、二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）11. .12已知函数，则 .13若变量满足线性约束条件，则的最大值为_14已知函数有3个零点，则实数的取值范围是 . 三、解答题（ 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15（本题满分12分）设平面向量，函数。（）求函数的值域和函数的单调递增区间;（）当,且时,求的值.16（本

4、题满分12分）某学校餐厅新推出a，b，c，d四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：满意一般不满意a套餐50%25%25%b套餐80%020%c套餐50%50%0d套餐40%20%40%（）若同学甲选择的是a款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是d款套餐的概率. 17（本题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,ae、df是圆柱的两条母线，过作圆柱

5、的截面交下底面于,四边形abcd是正方形，eoab.（）求证；（）求四棱锥e-abcd的体积.18（本小题满分14分） 数列的前n项和为，（）设，证明：数列是等比数列；（）求数列的前项和；19.（本小题满分14分）已知函数，.（）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：20. （本小题满分14分） 已知函数，其中，且.（）当时，求函数的最大值； （）求函数的单调区间；（iii）设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.中山市高三级20132014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）答案本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时12

6、0分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 daacd cbbcb二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分11. ; 12; 13. ; 14. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分12分）设平面向量，函数。（）求函数的值域和函数的单调递增区间;（）当,且时,求的值.15解： 依题意（2分） （4分）（） 函数的值域是；（5分）令，解得（7分）所以函数的单调增区间为.（8分）（）由得,因为所以得,（10分） （12分）16（本题满分12分）某学校餐厅新推出a，b，c，d四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.

7、为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：满意一般不满意a套餐50%25%25%b套餐80%020%c套餐50%50%0d套餐40%20%40%（）若同学甲选择的是a款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是d款套餐的概率. 解：（）由条形图可得，选择a，b，c，d四款套餐的学生共有200人， 其中选a款套餐的学生为40人， 由分层抽样可得从a款套餐问卷中抽取了 份. .（2分）设事件=“同学甲被选中进行问卷

8、调查”， 则 . .（5分）答：若甲选择的是a款套餐，甲被选中调查的概率是. .（6分）（ii）由图表可知，选a，b，c，d四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . .（7分）记对a款套餐不满意的学生是a；对b款套餐不满意的学生是b；对d款套餐不满意的学生是c，d. .（8分）设事件n=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是d款套餐”从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，而事件n有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件

9、， （10分）则. （12分）17（本题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,ae、df是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于, 四边形abcd是正方形.（）求证；（）求四棱锥e-abcd的体积.（）ae是圆柱的母线，下底面，又下底面，.3分又截面abcd是正方形，所以，又面，又面， （7分）（）因为母线垂直于底面，所以是三棱锥的高（8分），由（）知面，面，面面，又面面，面，面，即eo就是四棱锥的高（10分）设正方形的边长为, 则，又，为直径，即在中，, 即， （12分）18.（本小题满分14分）数列的前n项和为，（i）设，证明：数列是等比数列；（ii）求数列的前项和；（）若，求

10、不超过的最大整数的值。18【解析】(1) 因为，所以 当时，则， （2分） 当时，（4分）所以，即，所以，而， （6分）所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以（7分）（2）由(1)得所以 ， （9分）-得：， （12分）. （14分）19（本小题满分14分） 已知函数，.（i）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（ii）设函数，求证：19. 解:（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立（1分）由得当时，此时在上单调递增 故，符合题意（3分）当时，当变化时的变化情况如下表： （4分）单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是 （7分）（），又， （10分）， （12分）由此得:故成立. （14分）20已知函数，其中，且.当时，求函数的最大值； 求函数的单调区间；设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.解：当时， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减 （4分），（）当时，函数的增区间为，当时，当时，函数是减函数；当时，函数是增函数。综上得，当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为 （10分） 当，在