函数的表示法教学设计

1、函数的表示法教学设计教学设计2.2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的

2、思维过程三维目标了解函数的一些基本表示法，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识重点难点教学重点： 函数的三种表示方法， 分段函数和映射的概念教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解课时安排课时教学过程第 1 课时张新军导入新思路 1 语言是

3、沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法例如，简体中文中的“生日快乐！ ”用繁体中文为：生日快h!英文为：happybirthday !法文是 bonanniversaire ！德文是 allesgutezugeburtstag ！印度尼西亚文是 selaatulangtahun !那么对于函数， 又有 什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法思路 2 我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题推进新新知探究提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样

4、表示函数的？讨论结果：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式图象法：以自变量x 的取值为横坐标，对应的函数值y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法列表法：列一个两行多列的表格，行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法应用示例例 1 某种笔记本的单价是5元， 买 x 个笔记本需要y 元 试 用函数的三种表示法表示函数活动：学生思考函数的表示法的规定注意本例的设问，此处“y=f”有三种含义，它可以是解析

5、表达式，可以是图象，也可以是对应值表本题的定义域是有限集，且仅有 5个元素解：这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5，用解析法可将函数y=f表示为y=5x, xs 1,2,3,4,5.用列表法可将函数y=f表示为笔记本数 x12345钱数y510152025用图象法可将函数y = f表示为图1.图1点评： 本题主要考查函数的三种表示法 解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性

6、质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示例如：张丹的年龄n 每取一个值，那么他的身高y 总有唯一确定的值与之对应，因此身高 y 是年龄n的函数y = f,但是这个函数的解析式不存在，函数 y =f不能用解析法来表示.注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；解析法：必须注明

7、函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；图象法：根据实际情境来决定是否连线；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 .变式训练.如图所示为y= ax2+bx +c的图象，下列结论正确的是 图2a . abc0b . a+ b+ c0d. 2cv3b解析：由图象研究二次函数 y=ax2 + bx+c的性质，易知 av0, b0, c0.当 x=1 时，y = a + b + c0;当 x = 1 时，a-b+c0,故 a, b, c 都错.答案： d.已知 2f +f = 3x + 2,则 f =.解析：由题意得把 f 和 f 看成未知数，解方程即得答

8、案： 3x 23例 2 下面是某校高一班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：次第二次第三次第四次第五次第六次王 伟 988791928895张 城 907688758680赵 磊 686573727582班平均分 88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、 张城、 赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分 由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势

9、解：把“成绩” y 看成“测试序号” x 的函数，用图象所示.3,如图f=y法表示函数.图3由图 3 可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点 .变式训练.函数 y = x2 4x + 6, x

10、61,5)的值域是.答案： 2,11)将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象分析：解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积 y 表示为 x 的函数，用数学的方法解决，然后再回到实际中去解：设矩形一边长为 x,则另一边长为12,则面积y = 12x =x2 + 12ax.又得0vxva2,即定义域为 0, a2.由于y = -x-a42+116a2v02,即水深为一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半a 中 v vv02, c、d中 v =v02,故排除 a, c, d.答案： b知能训练课本本节练习 2,3.【补充练习】等

11、腰三角形的周长是20 ，底边长y 是一腰长 x 的函数，-10 = y. ab . y= 10 xc . y = 202xd . y = 20-2x解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式.2x + y=20,，y=20 2x.则 202x0.，xv 10.由构 成三角形的条件可知 2x20 2x,得x5, .函数的定义 域为x|5 vxv10.，y = 202x.答案： d.定义在r上的函数y=f的值域为a , b,则y=f的值 域为a a ， bb a 1， b 1c a 1， b 1d 无法确定解析：将函数y=f的图象向左平移一个单位得函数y = f的图象，由于定义域均是r,则这两个函数

12、图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以 y=f的值域也是a , b.答案： a.函数f = 11 + x2的值域是a b d 0,1解析：定义域是 r,由于x20,则1 + x2a1,从而0v11 + x21时，f =x+1;当xw1时，f = x,请写出函数 f 的解析式这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题思路2.化简函数y=|x|的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题推进新新知探究提出问题函数 h = x, x+1, x0, x0, 1, x=0, 1x, x0, x = 0, x0上的图象，合在一起得函数的图象如图 12 所示，画法略图12f =12=1, f = 1

13、1 = 1, ff =f = 1.某人驱车以 52 千米 / 时的速度从a 地驶往260 千米远时的/千米65小时后，再以1.5地并停留b地，到达b处的.速度返回 a 地试将此人驱车走过的路程s 表示为时间 t 的函数分析：本题中的函数是分段函数，要由时间 t 属于哪个时间段，得到相应的解析式解：从a地到b地，路上的时间为 26052 = 5;从b地回到 a地，路上的时间为 26065=4.所以走过的路程 s与时间t 的函数关系式为s =52t , 260, 260+65, 0 t5 , 5t 6.5 , 6.5t 10.5. 拓展提升问题：已知函数f满足f = 1, f = f+2, nsn

14、*求： f ， f ， f ， f ；猜想f , n 6 n*探究：由题意得f = 1,则有f =f+2=1 + 2=3,f =f+2=3+2=5,f =f+2=5+2=7,f =f+2=7+2=9.由得f =1 = 2x 1 1,f =3=2x21,f =5=2x31,f =7=2x41f =9=2x51.因此猜想f = 2n1, nw n*课堂小结本节课学习了：画分段函数的图象；求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用作业课本习题 1.2b 组 3,4.设计感想本节教学设计容量较大，特别是例题涉及图象，建议使用信息技术来完成本节重点为分段函数，这是课标明确要求也是高考的重点，通过分段函数问

15、题能够区分学生的思维层次，因此教学中应予以重视第 3 课时林大华导入新思路 1 复习初中常见的对应关系 对于任何一个实数a， 数轴上都有唯一的点 p 和它对应.对于坐标平面内任何一个点a,都有唯一的有序实数对和它对应都有唯一确定的面积和它对应对于任意一个三角形， 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应函数的概念我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件 “非空数集” 弱化为 “任意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射思路2.前面学习了函数的概念是：一般地，设 a, b是两个非空数集，如果按照某种对应法则

16、f ，对于集合a 中的每个元素 x ，在集合 b 中都有唯一的元素y 和它对应对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射，引出课题推进新新知探究提出问题给出以下对应关系：图 13这三个对应关系有什么共同特点？像问题中的对应我们称为映射，请给由映射的定义?“都有唯一”是什么意思？函数与映射有什么关系？讨论结果：集合 a, b均为非空集合，并且集合 a中的元素在集合b 中都有唯一的元素与之对应一般地，设 a, b是两个非空的集合，如果按莫一个确定的对应法则 f

17、 ，使对于集合a 中的任意一个元素 x ，在集合 b 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应 f ： a-b为从集合a到集合b的一个映射，记作“ f: a- b”.如果集合a中的元素x对应集合b中的元素y,那么集合a 中的元素 x 叫集合b 中元素y 的原象，集合b 中元素 y 叫集合 a 中的元素 x 的象包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一函数是特殊的映射，映射是函数的推广.应用示例例题下列哪些对应是从集合a到集合b的映射？集合a= p|p是数轴上的点,集合b= r,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应；集合a= p|p

18、是平面直角坐标系中的点 ,集合b=|x : 平面直角坐标系中的点与它的坐f,对应关系r6y, r6 .标对应；集合a= x|x是三角形,集合b= x|x是圆,对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；集合a= x|x是新华中学的班级,集合b= x|x是新华中学的学生 ，对应关系 f ：每一个班级都对应班里的学生活动：学生思考映射的定义判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义中数轴上的点对应着唯一的实数；中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；中每一个三角形都有唯一的内切圆；中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生解：是映射；是映射；是映射；不是映射新华中学的每个班级对应其班内的多个学生

19、，是一对多，不符合映射的定义.变式训练图 14， ，用箭头所标明的 a 中元素与 b 中元素的对应法则，是不是映射？图 14答案：不是；是；是 在图 15 中的映射中， a 中元素 60 对应的元素是什么？在 a 中的什么元素与b 中元素 22 对应？15答案：a 中元素60对应的元素是32 ， 在 a 中的元素 45与 b 中元素 22 对应 .知能训练下列对应是从集合s 到 t 的映射的是a . s= n, t= -1,1,对应法则是 n, nssb.s=0,1,4,9,t= 3, 2, 1,0,1,2,3,对应法则是开平方c.s=0,1,2,5,t= 1 , 12, 15,对应法则是取倒

20、数d . s= x|x sr, t= y|y sr,对应法则是 xfy=1 + x1 x解析：判断映射的方法简单地说应考虑a 中的元素是否都可以受对应法则 f 的作用，作用的结果是否一定在b 中，作用的结果是否唯一这三个方面.很明显a符合定义；b是一对多的对应； c 中集合 s 中的元素 0 没有象； d 中集合 s 中的元素 1 也无象答案： a.已知集合=x|0 wxw6, p= y|0 y3,则下列对应关系中不能看作从到 p 的映射的是a . f : xfy = 12xb . f : x-y= 13x xd . f : x-y = 16x解析：选项c 中， 集合中部分元素没有象， 其他均

21、是映射答案：c.已知集合 a= n*, b= a|a =2n1, n 6 z,映射 f : a -b,使a中任一元素a与b中元素2a 1对应，则与b中 元素 17 对应的 a 中元素是a 3b 5c 17d 9解析：利用对应法则转化为解方程.由题意得2a 1 = 17,解得a =9.答案： d.若映射f : a- b的象的集合是y,原象的集合是x,则x 与 a 的关系是 ； y 与 b 的关系是 解析：根据映射的定义，可知集合a 中的元素必有象且唯一；集合 b 中的元素在集合a 中不一定有原象故象的集合是b的子集.所以x= a, y?b.答案：x= a y ?b.已知集合=a, b, c, d

22、, p= x , y, z,则从到p能 建立不同映射的个数是 解析：集合中有4 个元素，集合p 中有 3 个元素，则从到p能建立34=81个不同的映射.答案： 81下列对应哪个是集合到集合n 的映射？哪个不是映射？为什么？设=矩形, n= 实数，对应法则f为矩形到它的面积 的对应设=实数, nl= 正实数，对应法则f为x-1冈.设=30 wxw100, nl= x0 x 100,对应法则 f 为开方再乘 10.解：是到 n 的映射，因为它是多对一的对应不是映射，因为当x=0时，集合n中没有元素与之对应.是映射，因为它是一对一的对应.设集合a和b都是自然数集，映射 f : a-b把a中的元 素n

23、映射到b中的元素2n+n,则在映射f下，a中的元素 对应 b 中的元素 3.a 1b 3c 9d 11解析：对应法则为f : nf2n+n,根据选项验证2n + n=3, 可得n=1.答案： a.已知集合 a= 1,2,3 , , b= 4,7 , a4, a2 + 3a,且 a 6 n, 6 n, xs a, y 6 b,映射 f : afb,使 b 中元素 y=3x + 1和a中元素x对应，求a及的值.入手，同时考虑集合中 f 和对应法则a 分析：先从集合元素的互异性，可以分析由此映射必为一一映射，再由3f10，求得 a 值，进而求得值解：:b中元素y = 3x + 1和a中元素x对应，.

24、a中元素1的象是4; 2的象是7; 3的象是10,即a4=10 或 a2 + 3a=10. as n,.二由 a2+3a=10,得 a=2.的象是a4,3+ 1 = 16,得=5. . a= 2, =5.已知集合 a= |x +y3,xsn, y6n,b= 0,1,2 ,f:-x + y,则这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由.解：是映射，不是函数.由题意得 a= , ,显然对于 a 中的每一个有序实数对，它们的和是0 或 1 或 2，则在b 中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合a 不是数集而是点集，所以不是函数拓展提升问题：集合中有个元素，集合n 中有 n 个元素，则从到 n

25、能建立多少个不同的映射？探究：当=1, n=1时，从到n能建立1 = 11个不同的映射；当=2, n=1时，从到n能建立1 = 12个不同的映射;当=3, n=1时，从到n能建立1 = 13个不同的映射；当=2, n=2时，从到n能建立4= 22个不同的映射；当=2, n=3时，从到n能建立9= 32个不同的映射.集合中有个元素，集合n 中有 n 个元素，则从到n 能建立n 个不同的映射课堂小结本节课学习了：映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一” 映射由三个部分组成：集合a,集合b及对应法则f,称为映射的三要素映射中集合a， b 中的元素可以为任意的作业课本本节练习 4.补充作业：已知下列集合 a到b的对应，请判断哪些是a到b的映射, 并说明理由a =n, b= z,对应法则f为“取相反数”；a = 1,0,2 , b=1, 0, 12,对应法则：“取倒数”；a =1,2,3,4,5, b= r,对应法则：“求平方根”；b-a： f,对应法则0,1,4,9,64=b, 0,1,2,4=a2；a =n*, b= 0,1,对应法则：除以 2所得的余数.答案：不是映射，是映射设计感想本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习 本节重点为映射的概念， 对