浅谈向量中蕴含的数形结合思想

1、浅谈向量中蕴含的数形结合思想 研究与解决数学问题时，将反映问题的抽象的数量关系与直观的空间图形结合起来考查，即将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种重要的数学解题方法，称为“数形结合的思想方法”。数形结合思想作为最基本的数学思想方法之一，在中学数学中占有重要地位。向量既具有数的特性，又具有形的特征，是中学数学知识的一个重要交汇点，其广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何之中，运用向量法和坐标法可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。在处理有关度量、角度、平行、垂直、共线、夹角、距离等问题时，运用向量知识，可以使问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量

2、”研究，因而成为数学解题的强力工具，成为联系代数关系与几何图形的纽带。下面结合例题来说明向量学习中的数形结合思想。 一、“形”中觅“数” 很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形。向量的代数表示是向量的坐标，引入向量的坐标表示后，可以使向量的运算转化为代数运算，很多几何问题，像共线、共点等较难问题的证明就可以转化为较为熟练的代数运算的论证，使问题获解。wtbx 例1 设抛物线c：y=x2的焦点为f，动点p在直线l：x-y-2=o上运动，过p作抛物线c的两条切线pa、pb且与抛物线c分别相切于a、b两点。 求证：pfa=pfb。 证明：设切点a，b的坐标分别为（x0，x

3、02），（x1，x12）（x1x0）， 则fa = （x0，x02-14）， fp=（x0+x12x0x114）， fb=（x1，x12-14）。 由于p点在抛物线外，则|fp|0， cosafp=fpfa|fp|fa| =x0+x12x0+(x0x114)(x0214)|fp|x20+(x0214)2 =x0x1+14fp。 同理，cosbfp=fpfb|fp|fb| =x0+x12x1+(x0x114)(x214)|fp|x12+(x1214)2 =(x0x1+14)fp。afp=bfp。 例2 在rtabc中，已知bc=a，若长为2a的线段pq以点a为中点，问pq与bc的夹角取何值时，b

4、pcq的值最大？并求出这个最大值。 解：以直角顶点a为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系。 设|ab|=c，|ac|=b，则a（o，o），b（c，o），c（o，b）， 且|pq|=2a，|bc|=a，设点p的坐标为（x，y），则q（- x，-y）， bp=（x-c，y）,cq=（- x，-y-b）， bc=（-c，b）,pq=（-2x，-2y）， bpcq=（x-c，y）（-x，-y-b） =-（x2+y2）+cx-by。 cos=pqbc|pq|bc|=cxbya2， cx-by=a2cos， bpcq=-a2+ a2cos， 故当cos=1，即=0（pq与bc方向相同）

5、时，bpcq最大，最大值为0。 二、“数”上构“形” 很多数学问题，本身是代数问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，从而将代数问题化为几何问题。向量的双重身份，注定成为联系数与形的纽带，许多代数问题可通过构造向量来处理解决。wtbx 例3 求证：（ac+bd）2（a2+b2）(c2+d2)。 证明：设oa=（a,b），ob=（c,d）， 当oa，ob中至少有一个为零向量时，所证不等式00成立。 当oa，ob均不是零向量时，设其夹角为，则有 cos=oaob|oa|ob|=ac+bda2+b2c2+d2。 |cos|1， |ac+bda2+b2c2+

6、d2|1， 即（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2）。 三、数形结合 用形研究数，用数研究形，相互结合，互为补充，相得益彰，使问题变得直观、简捷、思路易寻。向量中向量法和坐标法的运用，是数形结合思想在解决数学问题上的完美体现。 例4 已知抛物线y2=x+1,定点a（3，1）,b为抛物线上任意一点，点p在线段ab上，且有bppa=12，当点b在抛物线上变动时，求点p的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线 ？ 解：设点p的坐标为（x，y）,点b的坐标为（x1，y1），则 oa=（3，1），op=（x，y），ob=（x1，y1）。 pa=oa-op=（3-x，1-y）， bp=op-ob=（x-x1,y-y1）。 b，p，a三点共线，且bppa=12， jb(3-x=2x-2x, 1-y=2y-2y1，jb)得jb(x1=sx(12sx)(3x-3)，y1=sx(12sx)(3y-1)。jb) 点b（x1，y1）在抛物线y2=x+1上， （3y12）2=32（x-1）+1， 化简得x=32y2-y+12,即为p点的轨迹方程，其轨迹为抛物线。 华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休。”向量使“数”与“形”有机地结合在了一起，将数学的解题领入了