二次函数导学案全章38826解析

1、新人教版九年级数学第二十二章导学案审批人：李春山 班级：九年一班 课型：新授课22. 1. 1二次函数主备人：刘春友审核人：梅耀发执教人：刘春友使用时间：2016. 09课题：22. 1. 1二次函数 课时：第一课时 学习目标：1 . 了解二次函数的有关概念.2 .会确定二次函数关系式中各项的系数。3 .通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，确定函数的关系式。 学习重点：理解二次函数的定义。学习难点：确定实际问题中二次函数的关系式。学法指导：利用小组合作、交流、探究，类比一次函数来学习二次函数，注意 知识结构的建立。导学过程：一、课前测评1 .函数2 .正比例函数的一般形式一次函数的一般形

2、式3 .一元二次方程的一般形式二、自主学习：看引言中正方体的表面积的问题正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x,表面积为y,显然 对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，他们的具体关系可 以表示为.问题1.n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n 有什么关系？问题2.某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年 的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定, y与x之间的关系应怎样表示？观察上述函数关系有哪些共同之处?归纳：一般地，形如,（，c是常数，且a）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，。是

3、，b是, c是巩固二次函数的定义例某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为xm,宽为ym,面积为s m 2 （xy）.（1）如果用18 m的建筑材料来修建绿地的边缘（即周长），求s与x的 函数关系，并求出x的取值范围.（2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18m2,在满足（1） 的条件下，矩形的长和宽各为多少m ?9三、课堂练习:1.观察：）=6匕 ,，=-3/+5；了=200/+400*+200；3=一2。. x ；）一（1+1）一”.这六个式子中二次函数有 o（只填序号）2 . y = （， + l）/i3x+l是二次函数，则m的值为.3 .若物体运动的路段s （米）与时间t （秒

4、）之间的关系为s = 5/+2/,则当t =4秒时，该物体所经过的路程s为。4 .二次函数=一/+法+ 3.当x = 2时，y = 3,则这个二次函数解析式 为.5、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上 修建一个矩形绿化带abcd,绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围 住（如图）.若设绿化带的bc边长为x m,绿化带的面积为ym.求y与x之 间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.四、课堂检测：1函数y (rn 2)x- mx 3 (m为常数).(1)当m 时，这个函数为二次函数；(2)当m 时，这个函数为一次函数2填空：(1) 一个圆柱的高等于底面半径

5、，则它的表面积s与底面半径r之间的关系式是;(2) 22支球队参加比赛，每两队之间进行两场比赛，则比赛场次数卬与球队数a之间的关系式是3正方形边长为x,它的面积尸.4已知y = (k2+k)x2+kx 是二次函数，则k必须满足的条件是5如果函数y = (k-3)k2+kx+ 是二次函数，则k的值一定是6.用16nl长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(nf)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 口五、课堂小结：(1)一个函数是否为二次函数的关键是什么？(2)实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？六、课后作业：必做：教科书第29页1.2题.习题22. 1第1, 2题.选做：能力培养第页对应

6、练习七、板书设计22.1. 1二次函数引例问题1问题2归纳例题八、课后反思1 .若在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值，y都有唯 一的值与它对应，那么就说y是x的, x叫做 o2 .形如）=8工）的函数是一次函数，当=时.,它是函数；1.分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x米，则宽为 米,如果将面积记为）平方米，那么与x之间的函数关系式为y=,整理为二.3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为，的扇形，求扇形的面积s与它的半径，.之间的函数关系式是 o（1）二次项系数。为什么不等于0?答：（2） 一次项系数和常数项。可以为0吗？26.l 2二次函数 =x的图象【学习

7、目标】1 .知道二次函数的图象是一条抛物线；2 .会画二次函数y = a/的图象；3 .掌握二次函数y = ay的性质，并会灵活应用.（重点）【学法指导】数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.【学习过程】一、知识链接：1 .画一个函数图象的一般过程是：;口2 . 一次函数图象的形状是：二、自主学习（）画二次函数y=y的图象.列表:x -3-2-10123 y=x 在图（3）中描点，并连线与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线）的顶点坐标是;它是抛物线的最点（填“高”或低”），即当x=0时，y有最 值等于0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往

8、右呈 趋势；即大0时，随戈的增大而，工0时，随的增大而y = x2 c ）（二）例1在图（4）中，画出函数.2 , y = x ,3 = 2x的图象.解：列表：x -4-3-2-101234 1 ，y = 一厂 2 x -2-1.l 0-1-o.500.511.52 y = 2x2 例2 请在图（4）中画出函数 2,）, = _/,旷=-2寸的图象列表:x -4-3-2-101234 1 )y =尸 2 x -3-2-10123 v = -.v2 x-2-1.5-1-o.500.511.52 y = -2x2 三、合作交流: 归纳：抛物线的性质图象（草图）称 对轴顶点口 向开方有最高或 最低点

9、最值a 0当*=一时，y有最值，是.a 0时，在对称轴的左侧，即x0时，）随x的增大而在对称轴的右侧，即x 0时随x的增大而 o3 .在前面图（4）中，关于尤轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答：o由此可知和抛物线）=内2关于x轴对称的抛物线是 o4 .当0时，。越大，抛物线的开口越；当时，。越大，抛物线的开口越:因此，回越大，抛物线的开口越o四、课堂训练3 2 v = x1 .函数.7 的图象顶点是,对称轴是,开口向，当*=时，有最 值是.2 .函数,=-6的图象顶点是,对称轴是,开口向 ，当*=时，有最 值是.3 .二次函数）=佃一3）/的图象开口向下，则皿.4 .二次函数y=mx-有

10、最高点，则m=5 .二次函数y=（k+l）x二的图象如图所示, 则k的取值范围为.6 .若二次函数）=办 的图象过点（1, -2）,7 .抛物线=一5./丁 二 -2/y = 5/y = 7/开口从小到大排列是 ：（只填序号）其中关于4轴对称的两条抛物线是 和 o8 .点ab）是抛物线上的一点，则b=；过点a作x轴的平行线交抛物线另一点b的坐标是 o9 .如图，a、b分别为 = /上两点，且线段i 产3ab_ly 轴于点（0,6）,若 ab=6,则该抛物线的表达式为。出 .10 .当m=时，抛物线y =（t）”-”开口向下.m.二次函数尸.与直线） =21-3交于点p a,丸（1）求a、b的值

11、；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而 减小.22.1.3二次函数）=乩4+的图象（一）【学习目标】1 .知道二次函数） = +%与）=*的联系.2 .掌握二次函数） = /+攵的性质，并会应用；【学法指导】类比一次函数的平移和二次函数）=.一的性质学习，要构建一个知识体系。【学习过程】一、知识链接：直线 = 2x + l可以看做是由直线y = 2x 得到的。练：若一个一次函数的图象是由） = -2x平移得到，并且过点（-1,3）,求这个 函数的解析式。解：由此你能推测二次函数f =/与 = / -2的图象之间乂有何关系吗？猜想，二、自主学习（一）在同一直角坐标

12、系中，画出二次函数） = /, y = x, + i,= 的 图象列表x 3210123 y = x2 +1 y抛物线=把抛物线）句 平移 个单位，就得到抛物线厂/一1.3 .抛物线y = x y = /+i,） =/t的形状.开口 大小相同。三、知识梳理：（一）抛物线特点：1 .当。时，开口向;当v。时，开口;2 .顶点坐标是：3 . 对称轴是 o（二）抛物线产.+与尸.形状相同，位置不同，y=6+*是由）=2 平移得到的。（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上下 o（三）。的正负决定开口的; m决定开口的,即时 不变，则抛物线的形状 0因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前

13、后的两条抛物线。值。 三、跟踪练习：1 .抛物线y = 2/向上平移3个单位，就得到抛物线抛物线） =2/向下平移4个单位，就得到抛物线2 .抛物线 = -3/+2向上平移3个单位后的解析式 为，它们的形状，当心时，有最 值是。3 .由抛物线 = 5/-3平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式 是，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。4 .写出一个顶点坐标为（0, -3）,开口方向与抛物线的方 向相反，形状相同的抛物线解析式5 .抛物线,=4./+1关于*轴对称的抛物线解析式为6 .二次函数） = *+k（ah）的经过点 a （1, -1）、b （2, 5）.求该函数的表达式；若点c（-2,

14、 d,d （，7）也在函数的上，求“、的值。26. 1.3二次函数）=小一犷+攵的图象（二）【学习目标】1 .会画二次函数的图象；2 .知道二次函数）=a i）2与y =如二的联系.3 .掌握二次函数）尸的性质，并会应用；【学习过程】一、知识链接：1 .将二次函数y = 2/的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式 为。2 .将抛物线nt+l的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析 式为。二、自主学习画出二次函数y=+i）=一犷的图象；先列表：x 0123v 4321y = + 1)2 / y = (x-l)2 / 归纳：（i） y =（x+i）2 的开口 向,对称轴是直线，顶点坐标是 o图象有

15、最点，即、=时，有最值是；在对称轴的左侧，即x 时，随x的增大而；在对称轴的右侧，即x 时）随x的增大而。y = a+厂可以看作由”/向 平移 个单位形成的0（2）y=t）2的开口向,对称轴是直线，顶点 坐标是，图象有最点，即戈二 时，）有最值是； 在对称轴的左侧，即x时，）随工的增大而；在 对称轴的右侧，即x 时）随1的增大而 o丁 = +1）2可以看作由尸向平移 个单位形成的。三、知识梳理（一）抛物线）=心一犷特点：1 .当。时，开口向;当v。时，开口;2 .顶点坐标是； 3.对称轴是直线 o（二）抛物线产心一厅与形状相同，位置不同，y = -）2 是由,平移得到的。（填上下或左右）结合学

16、案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右，上 下 o（三）。的正负决定开口的；同决定开口的，即时不变， 则抛物线的形状 o因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线。值 o四、课堂训练1 .抛物线） = 2（x+3的开口；顶点坐标为；对称 轴是直线；当x 时，随x的增大而减小；当x时，）随的增大而增大。2 .抛物线1尸的开口；顶点坐标为；对 称轴是直线;当x 时，丁随的增大而减小；当x时，随的增大而增大。3 .抛物线的开口；顶点坐标为;对称轴是;4 .抛物线）”5/向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为5 .抛物线=-4/向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达

17、式为y = -（x-2y6 .将抛物线.,向右平移1个单位后，得到的抛物线解析 式为.7 .抛物线y = 4（x-2）2与y轴的交点坐标是,与x轴的交点 坐标为.8 .写出一个顶点是（5, 0）,形状、开口方向与抛物线）=-2/都 相同的二次函数解析式.26.1.3二次函数（”一4+七的图象（三）【学习目标】l会画二次函数的顶点式 =十攵的图象；2.掌握二次函数的性质；【学习过程】一、知识链接：1 .将二次函数 = -5/的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 o2.将抛物线的图象向左平移3个单线 o2 .抛物线 =（xt2和），=/的形状,位置 o（填“相同”或“不同”）3 .抛物线是由

18、k/如何平移得到的？答：三、合作交流平移前后的两条抛物线。值变化吗？为什么？答： 四、知识梳理结合上图和课本第9页例3归纳：(-)抛物线1心一力)*的特点:1 .当。时，开口向;当。时，开口；2 .顶点坐标是； 3.对称轴是直线 o(二)抛物线产(“一疗+攵与尸形状,位置不同， 、一4+%是由y=。父平移得到的。二次函数图象的平移规律：左右，上下 o(三)平移前后的两条抛物线。值 o五、跟踪训练y = (x-1)2 +2y = - a21.二次函数.2 的图象可由,2的图象()a.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到b.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到c.向右平移1个单位，再向下平

19、移2个单位得到d.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y = (x6) +52 .抛物线一开口，顶点坐标是，对称轴是，当才=时，y有最 值为 o3 .填表:y = 3x2y = -x2 - 3y = 2(x + 3)2y = -4(x-5)2 - 3开口方向顶点对称轴4 .函数y = 2（x-3）2-1的图象可由函数y = 2x?的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。5 .若把函数y = 5（x-2+3的图象分别向下、向左移动2个单位，则 得到的函数解析式为.v = x6.顶点坐标为（一2,3）,开口方向和大小与抛物线.2相同的解析式为（）.、2a. +3y = l(

20、x+2)2-3 d. 乙c y=*+2)?+3d. =42+37. 一条抛物线的形状、开口方向与抛物线）二2/相同，对称轴和抛物线），= （x-2相同，且顶点纵坐标为0,求此抛物线的解析式.26.1.3二次函数）=小一4+%的图象（四）【学习目标】会用二次函数）仆4+攵的性质解决问题；【学习过程】一、知识链接：1 .抛物线=-2*+1）二3开口向，顶点坐标是,对 称轴是，当才=时，y有最 值为。 当戈 时，丁随的增大而增大.2 .抛物线=一2*+1）:3是由），= -2/如何平移得到的？答： o 二、自主学习1 .抛物线的顶点坐标为（2, -3）,且经过点（3,2）求该函数的解 析式？分析：如

21、何设函数解析式？写出完整的解题过程。2 .仔细阅读课本第10页例4：y b3, /tx分析：由题意可知：池中心是，水管 y 是，点 是喷头，线段 的 1.长度是1米，线段 的长度是3米。17 1 2 3 -1由已知条件可设抛物线的解析式为抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定一个点的坐标即可，这个点是 o求水管的长就是通过求点的 坐标。二、跟踪练习：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米.ao3米，现以。点为原点，om a ,所在直线为x轴建立直角坐标系.f(1)直接写出点力及抛物线顶点尸的坐标；(2)求出这条抛物线的

22、函数解析式；三、能力拓展vp二m(111111111|11/1111f山1.知识准备如图抛物线） =（1一4与戈轴交于a,b两点，交）轴于点d,抛物 线的顶点为点c（1）求aabd的面积。求aabc的面积。（2）点p是抛物线上一动点，当aabp的面积为4时，求所有符 合条件的点p的坐标。（3）点p是抛物线上一动点，当aabp的面积为8时，求所有符合条件的点p的坐标。（4）点p是抛物线上一动点，当aabp的面积为10时，求所有符 合条件的点p的坐标。26.1. 4二次函数）=/+法+。的图象【学习目标】1 .能通过配方把二次函数） = *+以+ c化成）口心一）*的形式， 从而确定开口方向、对称

23、轴和顶点坐标。2 .熟记二次函数y =+ c的顶点坐标公式；3 .会画二次函数一般式=2+法+。的图象.【学习过程】一、知识链接：1 .抛物线尸2。+3-1的顶点坐标是；对称轴是直 线;当x二时有最 值是;当x 时,随、的增大而增大；当x 时，随x的增大而减小。2 .二次函数解析式， =（、一+中，很容易确定抛物线的顶点坐标 为，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数y = /+2x + 2的图像的对称 轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：），= /+2x + 2的顶点坐标是,对称轴是（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用

24、 的方法转 化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：y = lx2+2x + 5.2 y = ax2 +bx + c（5）归纳：二次函数的一般形式尸可以用配方法转化成顶点式：,因此抛物线y =+ c的9顶点坐标是（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 y = 2x2 -3x + 4v = x + 2x 1（二）、用描点法画出. 2 的图像.（1）顶点坐标为;（2）列表：顶点坐标填在;（列表时一般以对称轴为中心，对称取值.）x j 1 v = a ，22 +xt

25、.jrrj/i10（3）描点，并连线:oj1x院3（4）观察：图象7-6-5 44-3-2-if), j、-1 o日取只、，即八-一乙c-o4-时，）有最值是；x时，）随x的增大而增大；戈 时随x的增大而减小。该抛物线与轴交于点 o该抛物线与工轴有 个交点.三、合作交流1 ,y = _ 厂 + 2x _ 1求出.2顶点的横坐标穴=-2后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。26.1. 5用待定系数法求二次函数的解析式【学习目标】1 .能根据己知条件选择合适的二次函数解析式;2 .会用待定系数法求二次函数的解析式。【学习过程】一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为（-1, 2）,且经过点（

26、0,4）求该函数的 解析式.解：二、自主学习1 .一次函数=入+经过点a（-l,2）和点b（2,5）,求该一次函数的 解析式。分析：要求出函数解析式，需求出匕的值，因为有两个待定系数, 所以需要知道两个点的坐标，列出关于丸”的二元一次方程组即可。 解：2 .已知一个二次函数的图象过（1, 5）、（tt）、（2, 11）三点, 求这个二次函数的解析式。分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？ 答：;所设解析式中有一个待定系数， 它们分别是，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解:三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式 y = 4。一4 + k和一般

27、式y =6 +bx + c o1 .已知抛物线过三点，通常设函数解析式为;2 .己知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为。四、跟踪练习：1.己知二次函数的图象的顶点坐标为（-2, 3）,且图像过点（一3, - 1）,求这个二次函数的解析式.2 .己知二次函数）的图象过点（1, 2）,则，的值为3 .一个二次函数的图象过（0, 1）、（1,0）、（2, 3）三点，求这个二次函数的解析式。_ k4 .己知双曲线=噎与抛物线公+c交于a3）、b（叫2）、c（ 一3, ）三点.求双曲线与抛物线的解析式;在平面直角坐标系中描出点a、点b、点c,并求出aabc的面积,95 .如图，直线 = 3x

28、+ 3交工轴于点八，交y轴于点b,过a,b两点的抛物线交x轴于另一点c（3,0）,（1）求该抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上是否存在点q,使aabq是等腰三角形？若存在，求出符合条件的q点坐标；若不存在，请说明理由.26. 2用函数观点看一元二次方程(一)【学习目标】1、 体会二次函数与方程之间的联系。2、 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，【学习过程】一、知识链接：1 .直线) = 2x-4与)，轴交于点,与4轴交于点 o2 .一元二次方程，二+。=。，当时，方程有两个不相等 的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；二、自主学习1

29、.解下列方程(1) x2 -2x-3 = 0(2) x2 -6x + 9 = 0(3)-2x + 3 = 02 .观察二次函数的图象，写出它们与、轴的交点坐标:y = x2 -2工一3y = x2 -6x + 9y = x2 - 2x + 3与x轴交点坐标是与x轴交点坐标是与二轴交点坐标是3 .对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识梳理: 一元二次方程，浸+以+。=。的实数根就是对应的二次函数y = 2 +hx + c与x轴交点的 （即把尸。代入y = ax2 + bx + c）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为再、）二次函数y=*+-+c叮一元二次方程ax2

30、+bx + c = 0与x轴有一个交点 -4*0 ,方程有的实数根1（一.-）.x、与轴有一个交点； 这个交点是一点/一4而_0,方程有实数根yjx、*、1与x轴有一个交点b4ac 0 ,方程实数根.二次函数k6+w + c与v轴交点坐标是.四、跟踪练习1.二次函数 y = /-3x + 2,当 1=1 时，y=.当 y=o 时，x2 .抛物线了 = /- + 3与不轴的交点坐标是,与v轴的交点坐标是;3 .二次函数） =4x + 6,当工=时，y=3.(5)4 .如图，一元二次方程a/+/w + c = （）的解为。5 .如图，一元二次方程，y+以+。= 3的解为。6 .已知抛物线=一-2-+9的顶点在x轴上，则k=.7 .已知抛物线）攵/+2x-1与戈轴有两个交点，贝必的取值范围是26. 2