小学数学五年级下学期思维训练卷

1、第一讲 最不利原则例 1. 盒子里有 5 支红笔， 3 支蓝笔， 10 支黑笔。现在随意抓一把笔要确保其中至少有1 支红笔，则一把必须不少于几支？分析： 抓得巧， 只要抓 1 支即可。 然而并不能保证实现这种情况。最不利的情况是抓了 13 支，都是不想要的黑笔与蓝笔。不过，只要 再多抓 1 支就必定包含红的了。解：10 + 3+1 = 14 （支）例 2. 一列 2 个小方格，每个方格中随意涂红黑两种颜色中的一种， 当涂毕第几列时， 至少有 2 列是相同的？ （有一列与另一列重复）分析： 不妨这样想： 要实现两列所用颜色一样， 涂的顺序也相同。然而， 由于是任意选的， 据最不利原则总是先考虑已

2、涂各列没有重复的。如：红红黑黑八、八、红黑黑红 八、八、实际上各不相同的列数总共只有4 列。 到第 5 列就必定重复前面涂过的 4种中的某一种。 如果并非遇到最不利情况， 那么在前 5 列中重复的列数就不止2 列。这与“至少 2 列”并不矛盾。解：4+1=5 （列）练习一1. 盒子里有 3支红笔， 6支蓝笔， 10支黑笔。 现在随意抓一把笔要确保其中至少有1 支红笔，则一把必须不少于几支？2. 鱼池中有 30条白鳞鱼， 50条黑鳞鱼， 50条金鳞鱼。 至少在多 少名钓鱼者中才可保证他们一次钓出的鱼中，必有金鳞鱼？3. 在一个口袋中有10 个黑球、 6 个白球、 4 个红球。问：至少从中取出多少

3、个球，才能保证其中有白球？4. 口袋中有三种颜色的筷子各10 根，问：至少取多少根才能保证三种颜色都取到？5. 在三个口袋中各有10 个黑球、 10 个白球、 10 个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？第二讲 抽屉原理专题简析：如果给你 5 盒饼干， 让你把它们放到 4 个抽屉里， 那么可以肯定有一个抽屉里至少有2 盒饼干。 如果把 4 封信投到 3 个邮箱中， 那么可以肯定有一个邮箱中至少有2 封信。 如果把 3 本联练习册分给两位同学， 那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册。 这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理” 。基本的抽屉原理有两条：(1)如果把x+k

4、 (k1)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2 个或 2 个以上的元素。 ( 2)如果把mxxk (xk1)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m 1 个或更多个元素。例 . 某校六年级有学生367 人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？分析与解： 把一年中的天数看成是抽屉， 把学生人数看成是元素。把 367个元素放到 366个抽屉中， 至少有一个抽屉中有2 个元素， 即至少有两个学生的生日是同一天。平年一年有365 天，闰年一年有366 天。把天数看做抽屉，共366 个抽屉。把367个人分别放入 366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生

5、日是同一天。练习二1. 某校有 370名 2002年出生的学生，其中至少有几个学生的生日是同一天？2. 某校有 30 名学生是 2 月份出生的，至少有几个学生生日是在同一天？3.15 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？4. 小明家有 5 口人， 小明妈妈至少要买几个苹果分给大家， 才能 保证至少有一人能得两个苹果？第三讲 巧算 24 点同学们， 看过王小丫主持的“开心辞典”节目吗？我记得上台答题者有 3 道必做题， 其中有一道有关数学的是： 用四个数， 通过加减乘除计算出 24。“巧算24 点”是一种数学游戏，正如象棋、围棋一样是人们喜闻乐见的娱乐活动。 它对于培养我们快捷的心算能力

6、和反应能力很有帮助。相信你会很快喜欢上它的！假如， 你手中就只有两张牌要算出 24， 你希望是哪两张？ 3 和 8 ， 4和 6， 12和2， 11和 13。1 .利用 3x8=24、4x6= 24 求解。现在我们有四张牌， 该怎么办呢？把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6,再相乘求解。如3、3、6、10可组成(10 6 + 3)= 24等。又如2、3、3、7可组成(7+ (3 2) x 3=24等。实践证明， 这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。2 . 利用 0、 1 的运算特性求解。同数相减得0， 0 加任何数的原数。 相同数相除的 1， 1 乘任何数得原数等。如3、4、4、8

7、可组成3x8+44=24等。又如4、5、j、 k 可组成 11x (5 4) +13 = 24 等。练习三3 3 5 64 2 4 81 4 4 56 8 8 95 7 12 122 2 6 93 6 9 91 4 4 72 2 5 7第四讲相遇问题例1.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西 两地相距多少千米？东西甲车i亍的乙车行的分析与解答：从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了 32x2 = 64 （千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行 64千 米呢？因为甲车每小时比乙车多行 56 48= 8

8、（千米）。64里包含8 个8,所以此时两车各行了 8小时，东、西两地的路程只要用（56 + 48） x 8就能得出。32x2+ （56 48） =8 （小时）（56+ 48） x 8=832 （千米）答：东、西两地相距832千米。练习四1. 小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发， 相向而行， 并在离中点 120 米处相遇。 学校到少年宫有多少米？2. 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、 乙两地相对开出， 汽车每小时行 40千米， 摩托车每小时行65千米， 当摩托车行到离两地中点处50 千米时和汽车相遇。甲、乙两地相距多少千米？3. 甲、乙二人同时从东、西村相向出发，

9、甲每分钟行120 米，乙每分钟行 100 米， 甲和乙在过中点 200 米处相遇。 东村到西村的路程是多少米？4. 两车同时从甲乙两地相对开出，甲每小时行48 千米，乙车每小时行 54千米， 相遇时两车离中点 36千米， 甲乙两地相距多少千米？第五讲 追及问题本周的主要问题是“追及问题” 。追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。追及问题的基本数量关系是：速度差x追及时间=追及路程解答追及问题， 一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体， 是因为两者之间存在着速度差。 抓住 “追及的路程必须用速度差来追”这一道理， 结合题中运动物体的地点、 运动方向等

10、特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题。例 . 中巴车每小时行60 千米，小轿车每小时行84 千米。两车同时从相距 60 千米的两地同方向开出，且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？分析与解：原来小轿车落后于中巴车60 千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小时比中巴车多行 84 60= 24千米，也就是每 小时小轿车能追中巴车 24千米。60+ 24=2.5小时，所以2.5小时 后小轿车能追上中巴车。练习五1. 一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65 千米。摩托车多长时间能够追上？2. 兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出

11、发， 沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120 米；哥哥在后，每分钟跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟？3. 小华从家里已走出 200 米，她的姐姐从家里骑自行车去追小华。已知小华每分钟走70 米，姐姐骑自行车每分钟行120 米。姐姐追上小华需要多少分钟？4. 甲骑自行车从a地到b地，每小时行16千米。1小时后，乙 也骑自行车从a地到b地，每小时行20千米，结果两人同时到达 b 地。 a、 b 两地相距多少千米？第六讲 过桥问题专题简析：有关火车过桥、 火车过隧道、 两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。 如果有些问题

12、不容易一下子看出运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解题。解答火车行程问题可记住以下几点：1 .火车过桥（或隧道）所用的时间=桥（隧道长）+火车车长 +火车的速度；2 .两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长 度和+两车速度和；3 .两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身 长度和+两车速度差。例 1. 甲火车长 210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13 米。乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？分析： 甲火车从追上到超过乙火车， 比乙火车多行了甲、 乙两火车车身长度的和，而两车速度的差是18-

13、 13= 5米，因此，甲火车从 追上到超过乙火车所用的时间是：（210+140） + （1813） =70秒。练习六1. 一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？2. 某人沿着铁路边的便道步行， 一列客车从身后开来， 在身旁通过的时间是15 秒，客车长105 米，每秒速度为 8 米，求步行人每秒多少米 ?3. 一人以每分钟 60 米的速度沿铁路步行，一列长144 米的客车对面开来，从他身边通过用了 8 秒钟，列车的速度是多少米/ 秒？4. 一列火车长700 米，以每分钟 400 米的速度通过一座长900米的大桥 . 从车头上桥到车

14、尾离要多少分钟？第七讲 流水行船问题当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。 当顺风时， 借着风力， 相对而言用里较 少。在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。解答这类题的要素有下列几点：水速、流速、划速、距离，解答这类题与和差问题相似。 划速相当于和差问题中的大数， 水速相当于 小数，顺流速相当于和数，逆流速相当于差速。顺流船速=划速+水速；逆流船速=划速-水速；划速=(顺流船速+逆流船速)+ 2;水速=(顺流船速逆流船速)+ 2;顺流船速=逆流船速+水速x 2;逆流船速=逆流船速-水速x 2。例：一条轮船往返于 a b两地之间，由a地到b地

15、是顺水航行， 由 b 地到 a 地是逆水航行。 已知船在静水中的速度是每小时20 千米，由 a 地到 b 地用了 6 小时，由 b 地到 a 地所用的时间是由 a 地到 b 地所用时间的 1.5 倍，求水流速度。解：设水流速度为每小时x千米，则船由a地到b地行驶的路程 为(20+ x) x6千米，船由b地到a地行驶的路程为(20x) x 6x1.5千米。列方程为(20+ x) x 6= (20 x) x 6x 1.5, x=4练习七1. 船行于 120千米一段长的江河中，逆流而上用 10小明，顺流6 小时，求水速和船速。2. 一只船逆流而上，水速2 千米，船速32 千米， 4 小时行多少（ 船

16、速，水速按每小时算）3. 一只船静水中每小时行8 千米，逆流行2 小时行 12 千米，求水速。4. 某船在静水中的速度是每小时 18 千米， 水速是每小时2 千米，这船从甲地到乙地逆水行驶需 15 小时， 则甲、 乙两地相距多少千米？第八讲 质数合数分解质因数专题简析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24= 2x2x2x3, 75=3x5x5。我们数学课本上介绍的分解质因数， 是为求最大公约数和最小公倍数服务的。 其实， 把一个数分解成质因数相乘的形式， 能启发我们 寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。例 1

17、. 把 18个苹果平均分成若干份，每份大于 1 个，小于 18个。一共有多少种不同的分法？分析：先把18分解质因数：18= 2x3x3,可以看出：18的约 数是 1、 2、 3、 6、 9、 18，除去1 和 18，还有 4个约数，所以，一共有 4 种不同的分法。练习八1. 有 60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于 6 人，不多于 15 人。有哪几种分法？2.195 个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于 1，共有几种排法？3. 甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。4. 有 168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于 10颗，也不能多于 50颗。

18、共有多少种分法？5. 把 462 名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组， 每小组人数在 10 至 25 人之间，求每组的人数及分成的组数。第九讲 数的整除特征1. 若一个整数的末位是0、 2、 4、 6 或 8，则这个数能被2 整除。2. 若一个整数的末位是0 或 5，则这个数能被5 整除。3. 若一个整数的数字和能被3 整除，则这个整数能被3 整除。4. 若一个整数的数字和能被9 整除，则这个整数能被9 整除。5. 若一个整数的末尾两位数能被4 整除，则这个数能被4 整除。6. 若一个整数的未尾三位数能被8 整除，则这个数能被8 整除。5. 若一个整数的末三位与前几位的差或反差是7

19、的倍数，这个数就是 7 的倍数。6. 若一个整数的末三位与前几位的差或反差是11 的倍数，这个数就是11 的倍数。7. 若一个整数的末三位与前几位的差或反差是13 的倍数，这个数就是13 的倍数。8. 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17 整除。9. 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19 整除。10. 若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23 整除。练习九1. 能被3整除的最小的两位数是,能被3整除的最大的两 位数是。2. 一个两位数， 既能被 3 整除， 又能被 5 整除， 它的十

20、位上的数是 4，个位上的数是整整整。3. 能同时被 2， 3， 5 整除的最小的两位数是整整整。4. 同时能被 3， 4， 5 整除的最小四位数是整整整。5. 从 0 ， l ， 2， 3 这四个数中任选三个，组成能同时被2， 3 ， 5整除的三位数，这样的三位数共有整整整个。6. 一个六位数12口 34口是88的倍数，那么这个数除以88所得 的商是。第十讲 最大公约数和最小公倍数常用的求最大公约数的方法是分解质因数法和短除法。 几个自然数公有的倍数， 叫做这几个自然数的公倍数。 公倍数中最小的一个大于零的公倍数， 叫这几个数的最小公倍数。 下面讨论几个与最大公约数和最小公倍数有关的问题。例

21、1. 将一块长 3.57 米、宽 1.05 米、高 0.84 米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块。 问当正方体的边长是多少时， 用料最省且小木块的体积总和最大？ (不计锯时的损耗， 锯完后木料不许有剩余)分析与解：假设锯完后小木块的边长为 a,那么把锯得的所有小 木块堆起来， 适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状。 这 就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数，反过来说a就 是 3.57 、 1.05 、 0.84 的公约数。另外还要求小木块体积最大，也就 是要求小木块的边长a 最大。所以 a 是 3.57 、 1.05 、 0.84 三个数的最大公约数。因为3

22、.57米=357厘米，1.05米=105厘米，0.84米=84厘米， 所以a = (357, 105, 84) =3x7=21。当小木块边长为21厘米时， 其体积最大。1. 把 1 米 3分米 5厘米长、 1 米 5厘米宽的长方形纸，裁成同样 大小的正方形，至少能裁多少块？2. 一块长 45 厘米、 宽 30 厘米的长方形木板， 把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3. 将一块长 80 米、 宽 60 米的长方形土地划分成面积相等的小正 方形，小正方形的面积最大是多少？4. 一个长方体木块，长2.7 米，宽 1.8 分米，高 1.5 分米。要把它切成大小相等的正方

23、体木块， 不许有剩余， 正方体的棱长最大是多少分米？第十一讲 分数和小数的互化学完循环小数以后，有同学会产生以下问题： 为解决这个问题就要研究分数与小数的互化问题。有限小数是十进分数的另一种表现形式，如0.9和1谁大谁小?所以一个分数只要能变成十进分数就能化成有限小数。 样的分数能化成十进分数呢？就是分母分解质因数后只含有 样质因数的最简分数。即一个最简分数，如果分母除了1351.35=。100那么什么2、5这2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数一定能化成有限小数，而且有限小数 中小数部分的位数等于分母中质因数 2、5个数中最大的那个数。那 么什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数？它的

24、不循环部分的 位数与循环节的最少位数与分母又有什么关系呢？下面就来研究这 一问题。2 3 5 4 8例1将分数化成小数一 3 1 1/ n a m f2分析与解用分子除以分母，使得3 = 0 666，因为6重复出现，2所以, 二 0 6万3+ 11=0,272727，因为27重复出现，所以力。.加4 = 4 + 33 = 0 1212 338一 二8+ 27 = 0 296296274 ,因为12重复出现，所以力=0 121 = 57 = 0.714285714285-,因为714285重复出现，所以?= 0.)142点q_ _ ；三 b0,那么a的平方b的平方；如果ab0,那么1 1, b0

25、,a b b那么a b等等。比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分 数，再根据被减数相等（都是 1）,减数越小，差越大的道理判断原 分数的大小。如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据 被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式 的特点将它作适当的变形后再进行判断。口 7 777773 *888884 , 例.比较777778和888889的大小。因为1 777773888884777778 = 777778 1 888889 = 88888955777778 888889777773888884

26、所以 777778 88888937o275练习十二1 .比较下面两个分数的大小：212752 .分数也包1011033 .如果a =里，b =旦,那么a与b中较小的分数是101654 .分数3与4中较大的一个是455 .分数9_6。17196 .把分数3,5,7,7,按照从大到小的顺序排列起来7 9 8 67 .把分数1,2,3,4,5,6按照从小到大的顺序排列起来:2 3 4 5 6 78 .分数2,9,旦，140中，最大的数是,最小的数是5 11 17 41 839 .把下列分数按从小到大的顺序排列起来：5 6 10 15一，13 17 23 3310 .比较大小：666665777776666667777778第十三讲裂项法专题简析：前面我们介