北京市朝阳区第一学期期末测试卷(高三理科数学)含答案(word版)

1、北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1.已知平面向量a （3,1）,b （x,3）,且a，b,则实数x的值为（）a. 9b, 12.设集合 u= 1,2,3,4 , m= x为a.4b.4c.1d,92_. 一 、 u x 5x+ p=0 ,若cum = 2,3

2、 ,则实数p的值()c.6d. 63.设数列an是公差不为0的等差数列,a11且a1，a3,a6成等比数列，则 an的前n项和sn等于2 一2 一n7nn7na。 8 8442n 3nc.4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a. 1b.1c.2d. 05.已知函数 f (x) sin x j3cosx,设 af (-) , c f(-),贝u a,b,c 的 63大小关系是a. a b cb. c a bc. b ad. b c ac棱车b n amc的体积y f （x）的函数图象大致是（）6 .函数f（x）2x 2 a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（）xa. （1

3、,3）b. （1,2）c. （0,3）d.（0, 2）7 .已知正方形 abcd的边长为2亚,将 abc沿对角线ac折起，使平面 abc 平面acd ,得到如图所示的三棱锥b acd .若。为ac边的中点，m, n分别为线段dc, bo上的动点（不包括端点），且bn cm .设bn x ,则三2b (x, y) | x m, y 3m 12,m z 若存在实数a,b使得a。b频率8 .已知集合 a ( x, y) | x n, y na b,n z成立，称点（a,b）为“ ”点，则“ ”点在平面区域c (x,y)|x2 y2 108内的个数是()a. 0b. 1c. 2d.无数个第二部分（非选

4、择题 共110分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9 .已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间 60,70）上的汽车大约有 辆.10 .某几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的体积是.俯视图x y 0,11 .在平面直角坐标系中，不等式组 x y 4 0,所表示的平面区域的面积是9,则实数a的x a值为.12 .设直线x my 1 0与圆（x 1）2 （y 2）2 4相交于a , b两点，且弦 ab的长为2，3,则实数m的值是.13 .某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器

5、生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间 x （年数，x n ）的关系为yx2 18x 25 .则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14 .已知两个正数 a,b,可按规则c ab a b扩充为一个新数 c,在a,b, c三个数中取两个 较大的数，按上述规则扩充得到一 个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个 新数称为一次 操彳.（1）若a 1,b 3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2）若p q 0,经过6次操作后扩充所得的数为 （q 1）m（p 1）n 1 （m,n为正整数）， 则m,n的值分别为.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，

6、演算步骤或证明过程.15 .（本题满分13分）在锐角 abc中，a, b, c分别为内角a, b, c所对的边，且满足 73a 2bsin a 0 .(n)若 a c 5,且 a c的值.（i）求角b的大小;16 .(本题满分13分)如图，一个圆形游戏转盘被分成 6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头a所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头a指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)(

7、i )求某个家庭得分为 (5,3)的概率？(n)若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于 8的家庭可以获得一份奖品.请问某个家庭获奖的概率为多少？17.(本题满分13分)如图，在四棱锥sabcd中，平面sad平面 abcd .底面 abcd为矩形，(出)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动.在(n)的条件下，记获奖的家庭数为 x ,求x 的分布列及数学期望.ad 72a, ab 而a , sa sd a .(i )求证：cd sa；(n )求二面角 c sa d的大小.18 .(本题满分13分),一 一1 x已知函数f(x) ln(ax 1)(x 0, a为正实数)1 x(

8、i)若a 1,求曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(n)求函数 f(x)的单调区间;(m)若函数f (x)的最小值为1,求a的取值范围19.(本题满分14分).x2y21已知椭圆c:=上2 1(a b 0)的离心率为一，直线l过点a(4,0)b(0,2)且ab2与椭圆c相切于点p .(i)求椭圆c的方程;(n)是否存在过点 a(4,0)的直线m与椭圆c相交于不同的两点 m、n ,使得一一 _ 2 一36 ap 35 am an ?若存在，试求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由20.(本题满分14分)数列an, bn (n 1,2,3,|)由下列条件确定： 阚0,6 0 ；当k

9、 2时，ak 1 bk 1ak 与 bk满足：当ak1bk10 时，akak 1, bk ；当 ak ibki 0 时，2cak 1 bk 1ak, bk bk 1.2(i)若a11, b1 1,写出a2,a3,a4,并求数列an的通项公式；(n )在数列bn中，若b1 b2bs ( s 3 ,且s n * ),试用a1, b表示bk k 1,2, ,s;1(出)在(i)的条件下，设数列cn (n n*)满足g - , cn 0,2 m22cn 1cn g (其中m为给定的不小于2的整数)，求证：当n m时，恒有mamcn1 .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数

10、学试卷答案（理工类）2012.1、选择题：题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)答案cbadbcba、填空题:题号(9)(10)(11)(12 )(13 )(14)答案803展1百 3582558,13三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：(i)因为 j3a 2bsin a 0,所以、,3sina 2sin bsin a0,因为sin a 0 ,所以sin b,32(h)由(i )可知,7,根据余弦定理,2ac cos, 3整理，得（a c）2由已知 a c 5,贝u ac6.又a c ,可得 a 3 , c2.于是cosa b-22c a2bc7_4_4.71411分所以ab|

11、ac ab |accos a cb cos a 27一 1.1413分（16）（本小题满分13分）解：（i ）记事件a :某个家庭得分情况为（5,3） .p(a)所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为- 4分9(ii)记事件b:某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况.所以p(b)11111113 3 3 3 3 3 31所以某个家庭获奖的概率为1 .3(m)由(n)可知，每个家庭获奖的概率都是11l 所以 x b(5,-).33p(x0)cl?自32243p(x1)c5(1)1 (-)480243p(x2)2 1 2c5(3)80243p(

12、x3)_ 3 1 3c5(1)340243p(x4)4 1 4c5(3)10243p(x5)(守11分243所以x分布列为:x01234532808040101p243243243243243243l、，l 15所以 ex np 5 .3 3所以x的数学期望为-. 13分3(17)(本小题满分13分)证明：(i)因为平面 sad 平面abcd ,cd ad ,且面 sad 面 abcd ad ,所以cd 平面sad .又因为sa平面sad 所以cd sa.(n)由(i )可知， cd sa.在 sad 中，sa sd a , ad 及a , 所以sa sd , 所以sa平面sdc. 即 sa

13、sd , sa sc, 所以 csd为二面角c sa d的平面角.在 rt cds 中，tan csd cd 叵 石, sd a所以二面角c sa d的大小- 13分法二：取bc的中点e , ad的中点p .在 sad中，sa sd a , p为ad的中点，所以， sp ad .又因为平面 sad 平面abcd ,且平面 sad。平面abcd ad所以，sp 平面abcd ,显然，有 pe ad .如图，以p为坐标原点，pa为x轴，pe为y轴, 为z轴建立空间直角坐标系，则 s(0,0,孝a), a(*a,0,0),b(jla, .3a,0) , c(彳 a, .3a,0),2d(;a,0,0

14、).(i)易知 cd (0, %3a,0),s! (a,0, a)t11因为cd sa 0 ,所以cd sa.(n)设n (x,y,z)为平面csa的一个法向量，则有22即tax taz 0 ，所以n (瓜应宓) 7分.2ax a 3y 0显然，ep 平面sad,所以pe为平面sad的一个法向量，所以m所以(0,1,0)为平面sad的一个法向量.cos n, m13分所以二面角c sa d的大小为.(18)(本小题满分13分)解：(i)当a1 x1 时，f (x) ln(x 1)1 x则 f (x)2(1 x)2.所以f (1)0 .又f(1) in 2,因此所求的切线方程为y ln2.(n)

15、 f (x)ax_21 (1 x)2ax2 a 2(ax 1)(1 x)2 .(1)当 a 2即a 2时,因为x 0,所以f (x) 0,所以函数f (x)在0,上单调递增0,即 0 a 2 时，令 f (x) 0 ,r ,2则axx 0),2(2)当 a所以函数0 ,当x)时,(a),函数2 a(x) 0.f(x)的单调递增区间为(pa,f(x)的单调递减区间为2-a0, a).10(出)当a2时，函数f (x)在0, 上单调递增，则f (x)的最小值为f(0)满足题意.11当0 a 2时,由(n)知函数f( x)的单调递增区间为(),函数f (x)的单调递减区间为0, a ),则f (x)

16、的最小值为f，而 f (0) 1,不合题意.所以a的取值范围是2,13分(19)(本小题满分14分)解：(i)由题得过两点 a(4,0)b(0, 2)直线i的方程为x 2y 4 0.c 1因为一一，所以a 2c, b j3c. a 222x y设椭圆方程为1, 4c 3cx 2y 4 0,由 x2y2消去 x 得，4y2 12y 12 3c2 0.4c2 3cf 1,又因为直线l与椭圆c相切，所以122 4 4(12 3c2) 0,解得 c2 1.22所以椭圆方程为1.43(h)易知直线m的斜率存在，设直线的方程为y k(x 4),y由x24k(x2 y34),消去y ,整理得(31,4k2)

17、x2 32k2x 64k2 12 0.由题意知(32k2)2 4(3 4k2)(64k2 12) 0,解得k2设m (%，)n(x2, y2),则 xi x232k22 x1x23 4k2 1 264k2 123 4k2又直线l: x2yx24 0与椭圆c: 41相切,x 2y 4由x20,解得x1,1,y3,所以210分则ap45一.所以am4an3635454817又aman(4 k)2yi2,(4 x2)2y22(4 x1)2k2(4 x1)2(4 x2)2 k2(4 x2)2(k21)(4 %)(4x2)(k21)(xix2 4(xi x2)16)(k216)3 4k(k21)% 4k

18、2236所以(k2 1)23 4k281,解得k 7y2.经检验成立.413分所以直线m的方程为y冬x 4).414分6分(20)(本小题满分14分)a1 b1(i)解：因为 a1 b 0 ,所以 a2 a1b 0.2a9 b91因为 a2 b21 0,所以 a3 -,b3 b2 0.221 a。 b 1因为 a3 b3 0,所以 a4 3-,b4 b3 0.2 24,11所以a1,a21,a3-,a4-. 2分24由此猜想，当k 2时，a- bk 1 0,则ak ak 1 bk 1 曳； bk bk 1 0.3分 22下面用数学归纳法证明：当k 2时，已证成立.假设当k l (1n ,且1 2)猜想成立,即 ai 1 b 10, bbi 10, alai 10.当k 1 1时，由ai曳0 , 2a bi aiai 1 - 0.22综上所述，猜想成立.bibi 10 得 aibi0 ,则 bi1 ,*(n 2).n 2n 211所以ana21 一22故an1 n 1,h n 2.(n)解：当2k s时,假设akbk 10 ,根据已知条件则有bkbk 1,bs矛盾，因此ak 1 bk 10不成立,所以有ak1bk 10 ,从而有ak ak1 ,所以ak a1当ak 1bk0 时，akak1