三维势阱的研究要点

1、三维8势阱的研究摘要：本文重点对一维、二维及三维势阱进行了较为详细的讨论。其中一维势阱包括无限深方势阱和一维 8势阱，二维情形则主要对方势阱进行了相关的讨论，三维势阱的讨论包括球方势阱以及三维 8势阱的一种特殊情况。 讨论的过程中，在深刻理解一维、 二维和三 维势阱的基础上，通过与自由粒子平面波的相类似的方式，在量子力学范畴内建立合适的球面波函数，进而重点讨论三维 8势阱具有球对称性的 s态，得出该问题的严格解析解。关键词：一维8势阱；三维8势阱；球面波12224668899错误！未定义书签。141515引言1 .相关量子力学知识2 . 一维势阱2.1. 一维无限深势阱 2.2. 一维6势阱3

2、 .二维势阱3.1. .势阱的波函数 3.2. 二维方势阱3.3. 几种特殊情况4 .三维势阱4.1. .无限深球方势阱4.2. 三维6势阱参考文献英文摘要致谢8引言势阱是量子力学的基本模型之一，近年来对于它的讨论在涉及以量子力学为 基础的各个领域中都取得了很大的成就1,2。正确理解势阱的概念，并对诸如由 一维到三维、由简单到复杂等情形作较为深入地探讨与推广，对于量子力学的学 习与理解具有非常重要的作用。本科阶段对量子力学的学习主要是侧重于对基本概念的理解与基本方法的把握，从这个层面来看，对于较为复杂势阱的研究有相当大的难度。本文在对量子力学中已有模型讨论方法进 行深刻理解的基础之上，来尝试对

3、较为复杂的势阱的特例一一三维6势阱具有球对称性的s态一一进行讨论，力图给出该模型势阱的解析解，为进一步普遍性地 求解三维6势阱，提供一定的理论基础。1 .相关量子力学知识一个微观粒子的量子态用波函数 中(r,t)来描述，当中(r,t)确定后，粒子的任 何一个力学量的平均值及其测值几率的分布都可以完全确 1,2。因此，量子力学 中最核心的问题就是要解决波函数 中(r,t)如何随时间演化，以及在各种具体情况 下找出描述体系状态的各种可能的波函数。在此基础上，引入薛定川方程-.2i 二甲(r,t)= 2 v(x) - (r,t)(1.1)ft2m它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。2 一维势阱2.

4、1 一维无限深势阱粒子在一维力场作用下运动，它的势能在一定区域 外势场被视为无限大，这种模型被称为一维无限深势阱 为e的粒子在一维无限深势阱内运动，它的势能表示为:(a,b )内为零，在此区域1设某质量为m、能量|x|； a|x| a(2.1)其定态薛定川方程为：k d2-丁7t - (x) u(x) (x) = e- (x)2m dx(2.2)考虑到u(x)的形式，方程(2.2)可化简为：/ (x) 2me-u x ：- (x)=0 dx(2.3)根据e的不同取值范围，方程(2.2)有不同的解(1) 0e u(x 附方程(2.1)可写为d2dx22 u dx2, (x) kj (x) =01

5、- (x) - k221- (x) =0|x|a时，u0t8, k2t吗为使波函数满足单值连续有限条件，只有当 v(x)=0, (2.4)中第二式成立，由(2.3)和上述条件知：asin kx+ bcoskzxw(x)=0|x| a|x| a(2.5)由v(x)的连续性,即5(a ) = 0得：asin ka bcoska =0-asin k1a bcoskw = 0(2.6)(2.7)由(2.6)、(2.7)得:asin k1a = 0(2.8)bcosk2a = 0(2.9)如果a, b同时为零，甲(x处处为零，无意义,所以a, b不能同时为零分为两种情况讨论;(1) a = 0 时，co

6、sk1a = 0,(2.10)(2) b=0 时，sin k1a = 0,(2.11)由(2.10)、(2.11)知k1a =0分别对应土的奇数倍和偶数倍。n = 0时对应波函2数5(x )=0处处为零，不可取。n为负整数时与取正整数时线性相关， 也不可取, 所以有, n(1) ka = f n =1,3,5，.(2.12)2(2) kia=m 二， m= 2,4,6.(2.13)由 ki=2me, (2.12) (2.13)知-22n2日=二，n为整数，(2.14)8ma再由(2.5) (2.10) (2.12),得：(2.15)bcosax,|x|a,n 为正奇数 - x = 2a 0|x

7、| a由(2.5) (2.11 ) (2.13),得：(2.16)asin - x, x a由(2.15) (2.16)得：f(2.17)csinn (x+a), x a, n为正整数， 肌(x )=4 2a0, x| a a2由归一化条件n wn(x|)dx=1,得： j_a/c=；,(2.18) a由(2.17) (2.18)得(2.19)tn(x,t)m(xbnt ,en由(2.14)式给出，其中，n为整数，可知粒子在一维无限深势阱中的能量为 一系列分离的值，由(2.19)给出t时刻能量为en的粒子出现在位置x处的概率: 忍(x,t/。2.2. 一维6势阱一维6势阱是指粒子位于x=%处，

8、势能不为零，为某一常数，而在其他的位置时，粒子的势能为零。考虑在该势阱中可能存在的束缚态，假设质量为 的粒子处在一维s势阱中运动，势能函数表示为：v(x) =m、.(x)(2.20)在该势场中，粒子的schrodinger方程为2 d212-vo6(x) p(x) = e(x),e 0(2.21)i 2m dx2在离开原点处，薛定川方程变为2 d2、 d 2 v(x) = e(x),e0(2.24)2m dx )当ea0时，粒子处于游离态，能量可取任意正实数，能量连续。当e 0时，体系有可能存在束缚态，由于势能函数满足v(x)=v(x),且要 求束缚态，波函数必有确定宇称。(1)偶宇称通过求解

9、式(2.24)可得弘=aekx匕=ae上x : 0x 0(2.25)在原点附近的范围内对式(2.24)进行积分，并取极限 3 0(2.27)(2.28)(2.29)(2.30)(2.31),/ j- 2,2lim q：+v08(x) ” (x)dx = lim f _ e (x)dx (2.26)于是得叽(；)(-；什竽二二。 r plim | - ake ake4： im/0 a = 0得k _ mv0k 一 2进而可以得到mv0e022 2即一维6势阱中运动的粒子的束缚能。由归一化条件野n(x) dx = 1 得：a=jmr ,考虑(2.25) (2.30) (2.31 )得:pn x,t

10、 =(2.32)其中e0由(2.30)给出,(2)奇宇称波函数为：(2.33) 1 = aekxx 0j由波函数的连续性条件知 a = 0,不存在束缚态，当e0时，在x0,处v(x)=0, 为游离态。3二维势阱3.1势阱的波函数二维方势阱与一维有限深势阱相类似3，4。在二维有限宽度内，势能为零，在此区域外势能函数为有限值，如图 3.1所示，其中v。是势阱的深度，势阱的长、 宽分别为2a、2b,势场函数为v0|x| a,|y 卜:b|x| a,|y| b(3.1)图3.1二维方势阱取x、y坐标对应的能量、势能分别为 e1、e2、和v1、v2.这样e = e1 + e2,势场函数(3.1)式写作m

11、 +v2v =，0|x| a,|y| b|x| a,|y|；b3.2 )设势阱中粒子的质量为 r e1 v1,e2 v2。则描述粒子的定态薛定川方程为d21-土dx2dy22-记(v1 v2-e-e2)- =0(|x| a,|y| b)(3. 3)(3.4 )3.5 )3.6 )3.7 )3.8 )3.9 )(3.10)(3.11)(3.12)d21-d21-2 % x-尸(ei e2)： =0(|x|：ay|：b) dxdy力对x、y进行分离变量，可将上式变形为1-(x)-ki -(x) =0|x| a：-(y)-k2-(y)=0|y| b,(x)-k1 -(x) =0|x| a(y)-k2

12、-(y)=0|y|；b式中2ei2(m-ei)k1= 力2, k11-2，12华4这样，描述粒子在此势阱中运动的波函数为(xv) = (x) (y)粒子的能量力222e =ei e2k；)在这里，我们仅讨论(3.5),(3.6) 式的偶字称解aex -a中(x)=bicos(kix)|x| a入ek2yy -b中(y) = b2 cos&y)| y |bae*yyb由(3.9)式可知，每一个区域的波函数如下a1ek1xa2e2yb1 cos(k1x) a2ek2 ya2e2ya2e1xa1exb2 cos(k2 y)$(x) = m1ej1xa2ek2yb1 cos(k1x) a2ek2 ya

13、1ek1xa2ek2hya2ek2yb2 cos(k2y)b1 cos( k1 x) b2 cos( k2 y)由于概率密度与波函数的关系x ： -a, y b|x 二 a,y b |x a, y bx a,| y |：二 bx a, y ： -b| x |： a, y ： -bx : - a, y : -bx -a,| y | b|x |：二 a,| y 卜：b(3.13)2(x,y)可以得出粒子在以上9个区域出现的概率。(3.14)3.2二维方势阱根据波函数白连续条件，可以得到如下结果k, =k,tg(ka), k2 =k2tg化功(3.15)由于(3.15 )式是超越方程，没有解析解，可

14、采用图解法求解。令1 二 k a, = ka;2 = k2b, 2 = k2b(3.16)则阱口刚好出现束缚能级的条件为n =1,2,3, n(3.17)2 =k2b =m： m =1,2,3, m由(3.15)与(3.16)式，有(3.18)1 = 1tg( 1), 12 - 222%a2 _ r2力2一 r1(3.19)(3.20)2 = 2tg( 2), :以与“为坐标轴，可作出如图4.1所示的曲线 以上每组方程式所对应的图线交点可得到(3.15)式的解。图4.1超越方程的图解法再由图4.1交点的数值和波函数的归一化条件，可得a、b1、a2、b2的值，进 而可得势阱中粒子的能量本征值(3

15、.21)ll l22. 2、en,m = e1e2 = 2-y (k1k2 )式中n =1,2,3, n(3.22)m =1,2,3, m(3.23)不同的en,m值对应不同的波形，各能级对应不同的简并态.3.3几种特殊情况(a) at 0时，二维方势阱变成了一个狭长的槽形.这时粒子在狭长的势阱中 运动，波函数对应的波形在一个平面上，其形状是一种驻波；(b) v1 t v0,v2t 0时，二维方势阱就变成了 一维有限深方势阱；v1 t叱v2 t 0时，就是一维无限深势阱；(c) a t 0, b t 0时，这时势阱变成一个狭小的深洞，粒子对应的波形变成了 一条竖线。4.三维势阱三维势阱无论是在

16、计算复杂程度上还是在对其物理意义的诠释上，都比一维势阱难度变大。以下我们主要讨论无限深球方势阱和三维$势阱5-10。4.1. 无限深球方势阱无限深球方势阱是三维势阱典型特例之一，我们现取无限深方球对称势阱的半径为a ,狄拉克势也具有球对称性，且位于r =1 ka处。则势场表为2(4.1)v0、(r -1a)v(r) =0 2考虑质量为m的粒子、能量为e的粒子在该势阱内运动，可得定态薛定川方 程2- 2- v(r)u - e-(4.2)2m由于是能函数具有球对称性，可设 中(r&w) = r(r)y(e,中)，代入上式进行分离变量,得到径向方程18(4.3)id 2 dr 2ml(l 1)r2王

17、(r / jf(e-v) 一丁 r=0，l n令k =2me，上式简化得1 d , 2 dr(rr dr dr)+ k2r2(1，1 、v0、(r -不a)e)-i(i i)r =0,l n(4.4)2mv0 a-2，有d , 2 dr (x - dx dx2)+ |x (1i,、(x - - ak)r2-)-l(l 1)akr =0(4.5)由于波函数应满足有限边界条件，即在 v(r)tg处波函数中t 0,所以有齐次边 界条件r(ka)=0(4.6)由于r =0为径向方程(4.3)的奇点，在该点波函数必须有界，所以有自然边界条 件r(0) ”(4.7)泛定方程(4.5)与边界条件(4.6)和

18、(4.7)构成了确定能级的定解问题。显然，在x # 1 ka处，泛定方程(4.5)成为m(x2dr)+x2 一1(1 1) r=0(4.8)dx dx -这是一个l阶球贝塞尔方程，其通解为r = aji (x) bq (x)(4.9)l阶球诺依曼函数。将(4.9)式代入其中ji(x)和ni(x)分别为l阶球贝塞尔函数和边界条件(4.6)和(4.7)两式，得到r(x) =aji(x)口 (ka) ji (x) ji(ka)n(x)10 _ x ：二 一 ka21 :二 x 士 ka2(4.10)由于势阱中存在狄拉克势，在该处波函数的导数不连续，其跃变条件可以通 过对方程(4.5)的邻域积分12.

19、1. 112,1(-ka) r(-ka 0) -r(-ka -0) -(-ka) r(-ka) =0 2222 ka 2得到(4.11)11口 _ 1、r(-ka 0) -r(-ka -0) = r(ka) 22ka 21波函数应在x = -ka处连续，考虑上述给出的跃变条件式(4.11)有1111，一、ajl( ka) = nl (ka) jl ( ka) - jl (ka)nl( ka)=r(-ka)(4.12)2222由(4.10)和(4.11)两式可以确定波数k和振幅a ,代入公式(4.9) 波函数。当r(；ka) #0时，将(4.13)式两边除以r(；ka),并利用(4.11) 11

20、1n(ka)jl (2ka) - jl(ka)n (2ka) jl (2 ka) nl(ka)jlc1ka) - jl(ka)n(2ka) j(1ka) ka即得到对应的式，得到(4.14)上式给出了一个由参数n和a确定k的方程，由此可以进一步计算出能量e =田e (2 m)(4.15)为了简化计算，我们把方程（4.14）变形nl (ka) jl (2ka) _jl(ka)nl(2ka) jlgka)jlgkamgka)jl(2 ka) knl (ka) _ jl(ka)11nl(2ka)jl(2ka)1 ka jl (- ka)(4.16)由此得到jl (ka)1jl (-ka)jl(ka)

21、nl(2ka)11jl(-ka)nl (- ka) n(ka) _ jl(ka)ka11nl (- ka)jl (2 ka)(4.17)上式可以进一步简化为他国一 n(x)t r一一二一(4.18)小)ji(2ka) 1 kajl (ka) nl(1 ka) -1给出了参数n和角量子数l后，由上式求出一系列的ka值，代入(4.15)可以确定1对应的能级，它们组成了能谱的一个分支。当 r(ka) = 0时,(4.10)式成为111ajl(2ka)=ni(ka)jl(2ka)-jl(ka)ni(2ka)=0(4.19)于是得到1jl(gka) = jl(ka)=0(4.20)这样，我们又可以得到相

22、应能谱的另一个分支。将球贝塞尔函数和球诺依曼函数的具体形式代入能级的计算公式(4.18)和(4.20),再进行数值计算，就可以得到能谱。下面，我们以l =0的情况为例，来进行 具体的计算。当l =0时，球贝塞尔函数和球诺依曼函数的具体形式为.,、sinx ,、 cosxj0 (x),n(x)=- (4.21)xx代入(4.18)式后得到,1-_jtan-ka-2ka(4.22)由上式可以发现，无量纲波数ka随着势垒高度的增加而增加，但是增加的速度在 变慢，当n等于零时，第n个能级的无量纲波数为(2n-1)n；当n趋向于无穷大时， 第n个能级的无量纲波数趋向于2nn。通过上面的分析与计算，可以清

23、楚地看出狄拉克势对球对称无限深方势阱中 能级的影响。当不存在狄拉克势垒的时候，角量子数l =0的s态的无量纲波数为； 在附加狄拉克势垒之后，偶数能级的无量纲波数仍然保持不变，奇数能级的无量 纲波数随着势垒高度的增加，从(2n -1)n逐渐增大到2nn。4.2三维6势阱三维6势阱时粒子位于某一位置r =r0处的势能不为零，而是某一负值 -v , 在其他位置时，粒子的势能函数为零。设某质量为m能量为e的粒子在三维6势 阱中运动，其势能函数可表示为：(4.23)v（r尸发（r _r0卜考虑在该势阱中的具有球对称性的，s态。由定态薛定川方程得:力2 2-v（r）+v（rh = e ,（4.24）2m由

24、(4.23) (4.24)得,产t 2 会. . x - a e ：、0（4.25）考虑e 0的情况，在r #r0处，方程（4.25）化为：-k2,- =0(4.26)其中k =.-2me1t由于考虑的是具有球对称性的s态，所以波函数中（儿仇中）可ekrbear ,0 _ r : r0以可取r = r rd kr-e , r0 r,r(4.27)对于（4.27）式在rt 0时，也r尸始发散，故可以把中（r ）取摸方再乘以4叮2 ,w：4二e,4二 b2ekr,0 r 二 r0r =2 2kr,0r r r ixl4 二 d e ,r0 ： r由波函数在r =r0处连续得：(4.28),2k“2

25、 -2kin2 2ka4二e 0 4二 b e 0 =4二 d e(4.34)a对（4.26）式积分取极限即lfjk却）所得跃变条件:始( ；),(-；)2mv0if(x) =0(4.35)由(4.35)得：一. 一 一. 一.2 2kr2kr2 -2炸2 m2 2krn8kb e 0 -8ke 0+8ea e =-4nbe ,(4.36)由(4.34)(4.36)得反射系数：18k , k k 4 -kro=e(4.37)透射系数:(4.48)2中(r)的物理意义是t时刻，能量为e的粒子出现在半径为r的球面上的概率。 结论本文在对几个典型的一维、二维和三维势阱中微观粒子运动规律进行求解的 基

26、础上，重点讨论了三维8势阱中微观粒子的运动规律。利用其与一维势阱的 内在联系，对三维无限深方势阱中的能量及波函数进行了讨论，并详细分析了能级的简并度；计算了狄拉克势对球对称无限深方势阱中能级的影响，并得到： 当不存在狄拉克势垒的时候，角量子数1=0的s态的无量纲波数为 ka=nn,nwz +;在附加狄拉克势垒之后，偶数能级的无量纲波数仍然保持不变， 奇数能级的无量纲波数随着势垒高度的增加 ，从(2n -1)n逐渐增大到2nn。通 过改造球面波，进而讨论了三维6势阱中具有球对称性的s态波函数、透射系数、 反射系数及改造之后波函数的物理意义。参考文献1周世勋.量子力学教程m.北京：高等教育出版社，

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