一元线性回归预测法讲述

1、回归分析回归分析 2 从从2004中国国际旅游交易会上获悉，到中国国际旅游交易会上获悉，到2020年，中国旅游年，中国旅游 业总收入将超过业总收入将超过3000亿美元，相当于国内生产总值的亿美元，相当于国内生产总值的8% 至至11%。（资料来源：国际金融报。（资料来源：国际金融报2004年年11月月25日第二版）日第二版） 是什么决定性的因素能使中国旅游业总收入到是什么决定性的因素能使中国旅游业总收入到2020年达到年达到 3000亿美元？亿美元？ 旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？ 怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量

2、关系怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系? 引子引子: 中国旅游业总收入将超过中国旅游业总收入将超过30003000 亿美元吗？亿美元吗？ 3 简单线性回归模型简单线性回归模型 回归分析与回归函数回归分析与回归函数 简单线性回归模型参数的估计简单线性回归模型参数的估计 拟合优度的度量拟合优度的度量 回归系数的区间估计和假设检验回归系数的区间估计和假设检验 简单线性回归模型检验简单线性回归模型检验 回归模型预测回归模型预测 公共管理中经常会遇到两个问题之间存在某种关联关公共管理中经常会遇到两个问题之间存在某种关联关 系。系。 例：例： l失业和当地治安失业和当地治安 l农业税收政策和

3、农民收入农业税收政策和农民收入 lGDP与消费结构与消费结构 l开发性投资与地方经济开发性投资与地方经济 l利率和商品房价格利率和商品房价格 l气温和旅游人数气温和旅游人数 l城市绿化面积和暴雨积水城市绿化面积和暴雨积水 l商品价格和销售量商品价格和销售量 l年收入与信用卡消费金额年收入与信用卡消费金额 l 建立两个变量建立两个变量X和和Y间的关系模型，推断变量间的关系模型，推断变量Y如何依如何依 赖于变量赖于变量X, 从而可以用从而可以用X预测预测Y. 5 回归分析是衡量研究对象之间是否存在某种关回归分析是衡量研究对象之间是否存在某种关 系的技术之一。系的技术之一。 在回归分析中，某个变量（

4、自变量，在回归分析中，某个变量（自变量，X表示）表示） 按照某种规律，随其他变量（应变量，按照某种规律，随其他变量（应变量，Y表示）表示） 变化而变化。变化而变化。 如自变量只有一个，称为一元回归，否则称为如自变量只有一个，称为一元回归，否则称为 多元回归。多元回归。 6 第一节 回归分析与回归方程 本节基本内容本节基本内容: : 回归与相关回归与相关 总体回归函数总体回归函数 随机扰动项随机扰动项 样本回归函数样本回归函数 非线性模型线性化非线性模型线性化 7 1. 经济变量间的相互关系经济变量间的相互关系 确定性的函数关系确定性的函数关系 不确定性的统计关系不确定性的统计关系相关关系相关关

5、系 (为随机变量为随机变量) 没有关系没有关系 一、回归与相关一、回归与相关 （对统计学的回顾）（对统计学的回顾） ()Yf X ()Yf X 2 ,rrfs半径圆面积 施肥量阳光降雨量气温农作物产量,f 8 对变量间统计依赖关系的考察主要是通过对变量间统计依赖关系的考察主要是通过 相关分析相关分析(correlation analysis)或或回归分回归分 析析(regression analysis)来完成的：来完成的： 正相关 线性相关 不相关 相关系数： 统计依赖关系 负相关 11 XY 有因果关系 回回归归分分析析 正相关 无因果关系 相相关关分分析析 非线性相关 不相关 负相关 9

6、 2.2.相关关系相关关系 相关关系的描述相关关系的描述 相关关系最直观的描述方式相关关系最直观的描述方式坐标图坐标图（散布图）散布图） Y X 10 相关关系的类型相关关系的类型 从涉及的变量数量看从涉及的变量数量看 简单相关简单相关 多重相关（复相关）多重相关（复相关） 从变量相关关系的表现形式看从变量相关关系的表现形式看 线性相关线性相关散布图接近一条直线散布图接近一条直线 非线性相关非线性相关散布图接近一条曲线散布图接近一条曲线 从变量相关关系变化的方向看从变量相关关系变化的方向看 正相关正相关变量同方向变化，同增同减变量同方向变化，同增同减 负相关负相关变量反方向变化，一增一减变量反

7、方向变化，一增一减 不相关不相关 11 12 注意注意 不线性相关并不意味着不相关； 有相关关系并不意味着一定有因果关系； 回归分析回归分析/相关分析相关分析研究一个变量对另一个（些） 变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定 有因果关系。 相关分析相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个 变量都被看作是随机的。回归分析回归分析对变量的处 理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释 变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变 量，后者不是。 13 3.3.相关程度的度量相关程度的度量相关系数相关系数 总体线性相关系数总体线性相关系数： 其中：其中： X 的方差；的方差； Y的方差的方差 X和和Y的

8、协方差的协方差 样本线性相关系数样本线性相关系数： 其中：其中： 和和 分别是变量分别是变量 和和 的样本观测值的样本观测值 和和 分别是变量分别是变量 和和 样本值的平均值样本值的平均值 Cov(,) Var()Var() X Y XY Var()XVar( )Y Cov(, )X Y _ _ 22 ()() ()() ii XY ii XXYY XXYY _ Y i X i Y X XY XY 14 相关系数的取值范围 图 1 图 2 15 和和 都是相互对称的随机变量，都是相互对称的随机变量，x与与y和和y与与x的的 相关系数相等。相关系数相等。 线性线性相关系数只反映变量间的线性相关程

9、度，不相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。能说明非线性相关关系。 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，由样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，由 于抽样波动，样本相关系数是个随机变量，其统于抽样波动，样本相关系数是个随机变量，其统 计显著性有待检验。计显著性有待检验。 相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因果相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因果 关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线 变量间的因果关系及隐藏在随机性后面的统计规律变量间的因果关系及隐藏在随机性后面的统计规律 性，这有赖于回归分析方法性，这有赖于回归分析

10、方法 使用相关系数时应注意使用相关系数时应注意 XY 16 简单相关系数的检验 (1) 直接检验（查相关系数临界值表） H0： = 0； H1： 0 用 xt和 yt的样本计算相关系数 r，以自由度 f = T - 2 查临界值表。检验规则是， 若 r r (T-2) （临界值） ，则 xt和 yt相关； 若 r t (T-2) ，则 xt和 yt相关； 若 t t/2 ，拒绝H0，Xi 对Y有显著影响； 若|t|t/2 ，接受H0，认为Xi 对Y影响不 显著，应考虑将Xi 从模型中剔除，重新建模。 （4）拟合优度检验 2 2 2 2 2 2 )( )( )( ) ( YY XX YY YY

11、r i i i i 83 （5）总体线性关系的检验 1F检验 对于 若原假设H0： 成立，则 给定显著水平，查表得临界值F（单侧检验） 若F F，拒绝H0，模型的线性关系是显著的； 若F 说明说明“城镇人均可支配收入城镇人均可支配收入”对对“城镇人均消费支出城镇人均消费支出”有有 显著显著 影响。影响。 3. 用用P值检验值检验 p=0.0000 模型检验模型检验 0.05= 0.025(29) = 2.045 t =0.935685 2 r 0.025(29) 2.045t 0.05= 118 4. 4. 经济意义检验：经济意义检验： 估计的解释变量的系数为估计的解释变量的系数为075851

12、1，说明城镇，说明城镇 居民人均可支配收入每增加居民人均可支配收入每增加1元，人均年消费元，人均年消费 支出平均将增加支出平均将增加0758511元。这符合经济理论元。这符合经济理论 对边际消费倾向的界定。对边际消费倾向的界定。 119 点预测：点预测： 西部地区的城市居民人均年可支配收入第一步争西部地区的城市居民人均年可支配收入第一步争 取达到取达到1000美元美元(按现有汇率即人民币按现有汇率即人民币8270元元)， 代入估计的模型得代入估计的模型得 第二步再争取达到第二步再争取达到1500美元美元(即人民币即人民币12405 元元)，利用所估计的模型可预测这时城市居民可，利用所估计的模型

13、可预测这时城市居民可 能达到的人均年消费支出水平能达到的人均年消费支出水平 f1 282.24340.758511 82706555.132Y f2 282.24340.758511 124059691.577Y 经济预测经济预测 120 2 F F F 2 2 i (X- X )1 Y =Yt+ nx 平均值区间预测上下限平均值区间预测上下限： 区间预测区间预测 8270 f1 X时 1569985.74 6555.13 2.045 413.1593 31 125176492.59 f1 Y 6555.13 162.10 2 12405时 f X 2 123911845.72 9691.58

14、 2.045 413.1593 31 125176492.59 f Y 9691.58499.25 121 8270时, f1 X 即是说即是说： 平均值置信度平均值置信度95%的预测区间为（的预测区间为（6393.03，6717.23）元）元。 12405时, f2 X 平均值置信度平均值置信度95%的预测区间为（的预测区间为（9292.33，10090.83）元）元。 个别值区间预测（略）个别值区间预测（略） 122 多元线性回归 多元线性回归涉及多个独立变量，是简 单回归的拓展。 它可用于估算多个自变量对因变量的影 响，或控制其他的变量而单独估算某一 变量对因变量的影响. 例：在给定价格的条件下，广告支出对 销售额的影响 123 1.1.简叙你一学期学习管理运筹学的简叙你一学期学习管理运筹学的 体会，并对以后的教学提出改进的体会，并对以后的教学提出改进的 意见。意见。 2.2.从实际或文章介绍中选一个运用从实际或文章介绍中选一个运用 定量分析