柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积汇编

1、 矩形面积公式：矩形面积公式：Sab 1 2 Sah 圆面积公式：圆面积公式： 2 Sr 圆周长公式：圆周长公式：2Cr 扇形面积公式：扇形面积公式： 1 2 Srl 梯形面积公式：梯形面积公式： 1 () 2 Sab h 扇环面积公式：扇环面积公式： 1 ()() 2 Sllrr 三角形面积公式：三角形面积公式： 在小学已经学过了正方体和长方体的表面积，在小学已经学过了正方体和长方体的表面积， 你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积 空间问题空间问题 平面问题平面问题 二、

2、课堂设问，任务驱动 正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体， 它们的表面积就是各个面的面积的和它们的表面积就是各个面的面积的和 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方法，求立体图形的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 一般地一般

3、地, ,多面体的表面积就是各个面的面积之和多面体的表面积就是各个面的面积之和 表面积表面积= =侧面积侧面积+ +底面积底面积 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？面积？ h 正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 (,)Sch ch 直直棱棱柱柱侧侧 为为底底面面周周长长为为高高 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？面积？ / h / h 正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 侧面展开 正棱锥的侧面展开图正棱锥

4、的侧面展开图 1 (,) 2 Sch ch 正正棱棱锥锥侧侧 为为底底面面周周长长为为斜斜高高 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 侧面展开 h h 正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 1 ()( ,) 2 Scc h c ch 正正棱棱台台侧侧 分分别别为为上上 下下底底面面周周长长为为斜斜高高 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，体，它们的侧面展开图还是平面图形， 其其表面积各个侧面面积和表面积各个侧面面积和+ +底面面积底面面积 h 例例1 已知

5、棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面 体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 B CD A S 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成组成 因为因为BC=a，aSBSD 2 3 60sin 所以所以 2 4 3 2 3 2 1 2 1 aaaSDBCS ABC 交交BC于点于点D 解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点D作作 ，ABCBCSD 因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积 2 4 3 a 变式变式 1.已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三，各面均为等边三 角形的四棱柱角形的四

6、棱柱S-ABCD，求它的，求它的 表面积表面积 2.已知正三棱台的上、下底面边长已知正三棱台的上、下底面边长 分别为分别为2，6，斜高为，斜高为2，求表面积。，求表面积。 2 3a 8310 练习练习 1.已知正三棱锥的高为已知正三棱锥的高为3，底面边长为，底面边长为2， 求侧面积。求侧面积。 2.已知正四棱锥的高为已知正四棱锥的高为3，底面边长为，底面边长为2， 求侧面积。求侧面积。 3.已知正三棱台的上、下底面边长分别已知正三棱台的上、下底面边长分别 为为2，6，高为，高为2，求全面积。，求全面积。 212 104 326 三、新知建构，交流展示 2 .典例分析：典例分析： 题型一题型一

7、求几何体的表面积求几何体的表面积 题型二题型二 与三视图有关的面积计算与三视图有关的面积计算 题型三题型三 实际应用问题实际应用问题 三、新知建构，交流展示 【 例例2 】 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的，各面均为等边三角形的 四面体四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D B C A S 思路点拨：四面体的展开图是由四个全等的正三思路点拨：四面体的展开图是由四个全等的正三 角形组成角形组成 三、新知建构，交流展示 2 3 4 3 4 . 4 3 2 3 2 1 2 1 , 2 3 ) 2 ( , 2 2 2222 aaS ABCS aaaSDBCS a a aBDSBS

8、D aBCDBCBCSDS SBC 表 的表面积为：因此，四面体 ，于点交作解：过点 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 根据圆柱、圆锥的几何结构特根据圆柱、圆锥的几何结构特 征，如何求它们的表面积？征，如何求它们的表面积？ O O r l l r S l r2 r S r l r2 O O O O r )(222 2 lrrrlrS 圆柱表面积 l r2 圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形 r为底面半径为底面半径,l为母线长为母线长 圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形 )( 2 lrrrlrS 圆锥表面积 r2 l O r r为底面半径

9、为底面半径,l为母线长为母线长 （1）联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象出圆）联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象出圆 台展开图的形状，并画出它吗？台展开图的形状，并画出它吗？ （2）如果圆台的上、下底面半径分别是）如果圆台的上、下底面半径分别是 ， ， 母线长为母线长为 ，你能计算出它的表面积吗？，你能计算出它的表面积吗？ r r r r lr 2 r 2 O O S rr rl rr lr 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么面展开图是什么 )( 22 rllrrrS 圆台表面积 r2 l O r O r 2 r 圆台的侧面展开图是

10、扇环圆台的侧面展开图是扇环 r, r为上为上,下底面半径下底面半径,l为母线长为母线长 l O r O r l O r l O O r )(2lrrS 柱 )(lrrS 锥 )( 22 rllrrrS 台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ rr 上底扩大上底扩大 r0 上底缩小上底缩小 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm20cm，盆底，盆底 直径为直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5cm1.5cm，盆壁长，盆壁长 15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方

11、厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取 3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？ 2 cm cm15 cm20 cm15 解：由圆台的表面积公式解：由圆台的表面积公式 得得 花盆的表面积花盆的表面积 22 2 5 . 1 15 2 20 15 2 15 2 15 S )(999 2 cm 答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 2 cm 练习练习 1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个已知一个圆柱的侧面展开图是一个 边长为边长为6的正方形，求这个圆柱的侧面的正方形，求这个圆柱的侧面 积。积。 2.已知圆锥的高为已知圆锥的高为2，母线长为，母线长为3，求，求 圆锥的侧

12、面积。圆锥的侧面积。 3.已知圆锥的全面积是底面积的已知圆锥的全面积是底面积的3倍，倍， 求圆锥侧面展开图的扇形的圆心角，求圆锥侧面展开图的扇形的圆心角， 圆锥轴截面的顶角。圆锥轴截面的顶角。 四、当堂训练，针对点评 四、当堂训练，针对点评 四、当堂训练，针对点评 变式训练变式训练4-1:4-1:已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为amam2 2, , 且它的侧面展开图是一个半圆，求这个且它的侧面展开图是一个半圆，求这个 圆锥的底面直径。圆锥的底面直径。 2r l B O s A 解：因为圆锥的侧面展开图是半圆, 所以, 2 11 2,2 . 22 lr llr 22 1 (2 ) 2 2 3

13、 2 3 rra a r 由得 直径： 四、当堂训练，针对点评 长方体体积：长方体体积： 正方体体积：正方体体积： 圆柱的体积：圆柱的体积： Vabc 3 Va 2 Vr h 圆锥的体积：圆锥的体积： VSh 1 3 VSh 思考：思考：取一些书堆放在桌面上取一些书堆放在桌面上( (如图所示如图所示) ) ， 并改变它们的放置方法，观察改变前后的体并改变它们的放置方法，观察改变前后的体 积是否发生变化？积是否发生变化？ 从以上事实中你得到什么启发？从以上事实中你得到什么启发？ 二、课堂设问，任务驱动 关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： （1 1）相同的几何体的体积相等；）相同的几

14、何体的体积相等； （2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和；体积之和； （3 3）等底面积等高的两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等；体积相等； （4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做等积体等积体. . 三、新知建构，交流展示 夹在两个平行平面之间的夹在两个平行平面之间的 两个几何体，被平行于这两个平面的两个几何体，被平行于这两个平面的 任意平面所截，如果截得的两个截面任意平面所截，如果截得的两个截面 的面积总相等，那么这两个几何体的的面积总相等，那么这两个几何体的 体积相等体积相等 问题：问题：两个底面积相

15、等、高也相等的两个底面积相等、高也相等的 柱体的体积如何？柱体的体积如何？ 三、新知建构，交流展示 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱 的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为： ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是： ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高 圆锥的体积公式：圆锥的体积公式： ShV 3 1 （其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 3 1

16、探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系 三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系 ShV 3 1 （其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 底面面积乘高的底面面积乘高的 3 1 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积 的的 即棱锥的体积：即棱锥的体积： 3 1 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是

17、由圆锥( (棱棱 锥锥) )截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台( (棱台棱台) )的的 体积公式体积公式( (过程略过程略) ) 根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ A B A B C D C D P S S h DCBAPABCDP VVV hSSSS)( 3 1 棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式 hSSSSV)( 3 1 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台 （棱台）的高（棱台）的高 S S 锥体、台体平行于底面的截面性质锥体、台体平行于底面的截面性质

18、P A1 B1 C1 D1 A B C D ., , 3121 111111111 k V V k S S k PC CP AC CA BC CB AB BA h h 相似比相似比 练习：棱台的上、下底面面积之比为4:9,求这个 棱台的高与原棱锥的高之比。 柱体、锥体、台体的体积公式间关系柱体、锥体、台体的体积公式间关系 hSSSSV)( 3 1 S为底面面积，为底面面积， h为柱体高为柱体高 ShV SS S、S分别为上、下分别为上、下 底面面积底面面积,h 为台体为台体 高高 ShV 3 1 0S S为底面面积，为底面面积， h为锥体高为锥体高 上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 一般棱柱体

19、积一般棱柱体积 ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高 锥体的体积公式锥体的体积公式 ShV 3 1 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 3 1 .圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱 的体积。的体积。 8 12 侧面展开图侧面展开图 直直 观观 图图 1 直观图直观图2 12 8 8) 2 12 ( 2 柱 V 288 8 36 12) 2 8 ( 2 柱 V 192 12 16 根据题目要求根据题目要求, 和相关条件和相关条件 ,求值求值. 10

20、h 6a ?V 6a 10h 31801066 4 3 3 1 2 V ?V 10h 16S 底底面面 64416V x 27V 正正方方体体 ?x 3 27x 3x 190V 40b 已知正四棱台两底面的边长和体积已知正四棱台两底面的边长和体积,求棱台的高求棱台的高. 60a 40b ?h 75h V=19000 19000)40406060( 3 1 22 hV 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 各面面积之和各面面积之和 rr 0 r 展开图展开图 )( 22 rllrrrS 圆台圆台 圆柱圆柱 )(2lrrS )(lrrS 圆锥圆锥 柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体

21、的体积 ShV 3 1 锥体锥体 hSSSSV)( 3 1 台体台体 柱体柱体 ShV SS 0 S 三、新知建构，交流展示 2 .典例分析：典例分析： 题型一题型一 求几何体的体积求几何体的体积 题型二题型二 与三视图有关的体积计算与三视图有关的体积计算 题型三题型三 实际应用问题实际应用问题 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示 例例4 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边 形，边长为形，边长为12mm，内

22、孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？ 3 /8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱解：六角螺帽的体积是六棱 柱的体积与圆柱体积之差，即柱的体积与圆柱体积之差，即: : 10) 2 10 (14. 310612 4 3 22 V )(2956 3 mm )(956. 2 3 cm 所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为 252)956. 28 . 7(10008 . 5（个）（个） 答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个 三、新知建构，交流展示 四、当堂训练，针对点评 四、当堂训练，针对点评 各面面

23、积之和各面面积之和 展开图展开图 22 ()Srrr lrl 圆台圆台 圆柱圆柱 )(2lrrS )(lrrS 圆锥圆锥 棱柱、棱锥、棱柱、棱锥、 棱台棱台 圆柱、圆锥、圆柱、圆锥、 圆台圆台 柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积 ShV 3 1 锥体锥体 hSSSSV)( 3 1 台体台体 柱体柱体ShV 柱体、锥体、柱体、锥体、 台体的体积台体的体积 五、课堂总结，布置作业 1.3.2 球的表面积和体积 球的体积球的体积 RSR 球面 3 1 3 4 3 3 3 4 RV 球 322 3 2 3 1 2 1 RRRRRV 球 2 4 RS 球面 R R 例例4如图，圆柱的底面直径与

24、高都等于球如图，圆柱的底面直径与高都等于球 的直径的直径.求证：求证： (1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；球的体积等于圆柱体积的三分之二； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. (3)(3)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. . 1.球的体积是球的体积是 ,则此球的表面积是则此球的表面积是_. 2.两个球的表面积之比为两个球的表面积之比为1:9,则此两球的体积则此两球的体积 之比为之比为_. 3.棱长为棱长为1的正方体其外接球的表面积为的正方体其外接球的表面积为_ , 体积为体积为_ . 32 3 16 1:27 6 1 例例3

25、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边 形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？ 3 /8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即 10) 2 10 (14. 310612 4 3 22 V )(2956 3 mm )(956. 2 3 cm 所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为 252)956. 28 .

26、7(10008 . 5 （个）（个） 答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252个个 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 展开图展开图 各面面积之和各面面积之和 rr 0 r 圆柱圆柱 )(2lrrS )( 22 rllrrrS 圆台圆台 )(lrrS 圆锥圆锥 hSSSSV)( 3 1 S为底面面积，为底面面积， h为柱体高为柱体高 ShV SS S分别为上、下分别为上、下底面面积，底面面积，h 为台体高为台体高 ShV 3 1 0 S S为底面面积，为底面面积， h为锥体高为锥体高 柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积 球体的表面积与体积球体的表面积与体积 练习练习

27、1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍，则半径变倍，则半径变 为原来的为原来的 倍。倍。 2.若球的半径变为原来的若球的半径变为原来的2倍，则表面积变倍，则表面积变 为原来的为原来的 倍。倍。 3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2,则奇体积之比为则奇体积之比为 4.若两球体积之比为若两球体积之比为1:2,则其表面积之比为则其表面积之比为 2 4 22:1 3 4:1 几何体与球的接切问题几何体与球的接切问题 1.长方体内接于球体：对角线长长方体内接于球体：对角线长l=2R 2.正方体内接于球体：对角线长正方体内接于球体：对角线长l=2R 3.球内切于正方体：棱长球内切于

28、正方体：棱长a=2R 练习：练习： 1.一个长方体各顶点均在同一个球的球面上，且一个长方体各顶点均在同一个球的球面上，且 一个顶点上的三条棱长分别是一个顶点上的三条棱长分别是1、2、3，则此球的，则此球的 表面积为表面积为 2.已知正方体的外接球的体积为已知正方体的外接球的体积为 ,则该正方形则该正方形 的表面积为的表面积为 14 3 32 32 (1)空间几何体的侧面积和表面积空间几何体的侧面积和表面积 多面体的表面积多面体的表面积: 因为多面体的各面都是平面因为多面体的各面都是平面,所以多面体的表面积就是所以多面体的表面积就是 各个面的各个面的_,即展开图的面积即展开图的面积,侧面积就是侧

29、侧面积就是侧 面展开图的面积面展开图的面积. 面积之和面积之和 1柱、锥、台和球的表面积和体积柱、锥、台和球的表面积和体积 一、知识回顾一、知识回顾 旋转体的侧面展开图及其表面积旋转体的侧面展开图及其表面积: 名称名称侧面展开图侧面展开图表面积表面积侧面积侧面积 圆柱圆柱 矩形矩形 S=_S=_ =_=_ S S侧 侧=_ =_ 圆锥圆锥 扇形扇形 S=_S=_ =_=_ S S侧 侧=_ =_ 2r2+2rl 2r(r+l) 2rl rl r2+rl r(r+l) 名称名称侧面展开图侧面展开图表面积表面积侧面积侧面积 圆台圆台 扇环扇环 S=_S=_ _ S S侧 侧= = _ 球球 S=_

30、S=_ (r(r为半径为半径) ) (r2+r2 +rl+rl)(r+r)l 4r2 (2)几何体的体积几何体的体积 柱体柱体:V=_(S为底面面积为底面面积,h为高为高), 特别地特别地,V圆柱 圆柱=_(r为底面半径 为底面半径,h为高为高); 锥体锥体:V=_(S为底面积为底面积,h为高为高), 特别地特别地,V圆锥 圆锥=_(r为底面半径 为底面半径,h为高为高); Sh r2h 1Sh 3 2 1 r h 3 台体台体:V=_(S,S分别为上、下底面面积分别为上、下底面面积,h为高为高), 特别地特别地,V圆台 圆台=_; 球球:V=_(R为半径为半径). 1 h(SSS S) 3 3 4 R 3 22 1 h(rrrr ) 3 O r 2 3 r O r 二、典例分析二、典例分析 A B C A1 B1 C1 P A1 B1C1 ABC