4-5用数学归纳法证明不等式课时提升作业

1、精品资源用数学归纳法证明不等式举例课时提升作业、选择题(每小题6分，共18分)欢迎下载111.用数学归纳法证明不等式 +n+1 n+21 13+ 2,n c n+)的过程中，由n=k递推到2n 14n=k+1时不等式左边()a.增加了一项2代+口b.增加了两项c.增加了 b中两项但减少了一项k+1d.以上各种情况均不对111+,n=k+1 时,左边=+2kk+2 k+311【解析】 选c.因为 n=k时，左边=+ +k+l k+2111+ +,2k 上k+l 2k+2,少了一项 k+l11所以增加了两项和2k+l 2k+22.(2016 淮南高二检测)用数学归纳法证明 2nn2+1对于nn0的

2、正整数n都成立时，第步证明中的起始值no应取()a.2b.3c.5d.6【解析】 选c.当nw4时,2n5 时,2nn2+1.于是no应取5.【补偿训练】 用数学归纳法证明2n n2(n 5,n nk)成立时第二步归纳假设的正确写法是a.假设n=k时命题成立b.假设n=k(k 6 m)时命题成立c.假设n=k(k 5)时命题成立d.假设n=k(k5)时命题成立【解析】 选c.由题意知n5,n n+,所以应假设n=k(k 5)时命题成立.*3 .（2016 长春局二检测）证明1+, +“（n c n）,假设当n=k时成立,当n=k+1时,2 3 2n-l 2左端增加的项数为（）a.1项c.k项b

3、.k-1 项k【解析】选d.当n=k时，不等式左端为1+1+-+2 3+ +,2k-l 2k+而匕左端增加了 n +1+ - 油1,当n=k+1时，不等式左端为-1，共2k项.1 11+-+-+2 3d.2项二、填空题（每小题6分，共12分）4 .用数学归纳法证明“2n+1 n2+n+2（n n+） ”时，第一步的验证为【解析】当n=1时,2 1+1 12+1+2,即4 4成立.答案：21+1a12+1+2n c n*都成5.(2016 南昌高二检测)已知 1+2x 3+3x 32+4x 33+, +n 3n-1 =3n(na-b)+c 对一切立，则a=,b=,c=【解析】当n=1时,3a-3

4、b+c=1,当 n=2 时,18a-9b+c=7,当 n=3 时,81a-27b+c=34,11解得,a= ,b=c=.1 1 1答案：-2 4 4三、解答题（每小题10分，共30分）1 11 3n6.（2016 广州高二检测）证明：1+1+=+,（n n）.22 32 n- 2n+l【证明】（1）当n=1时，不等式为11,显然成立.（2）假设当n=k时不等式成立，即1 +1 1那么,当 n=k+1 h,1 + +, +22 3-1 113k-t +-t +, +封22 第k22k4113k13k 13k+3k2 +k+lj2，k+i+fk+l 而2k+i+k+以 2k+33k(k+l)a2k

5、f34-(2k+l)(2k+3)-(3k+3)(2k+lmkh2二-j -1 -1.-二 0,3k 13k+3113(k+n+:-k2 (k+1” 2(k+l+l1 1所以1+ +22察即当n=k+1时不等式也成立综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.1 5+(n 2,n n-).3n 61117.(2016 济南高二检测)求证：+n+1 n+2 n+3【解题指南】 本题由n=k到n=k+1时的推证过程中11,n=k时，首项是一，尾项是一，分母是从k+13kk+1开始的连续正整数，因而当n=k+1时，首项应为面增加1叱，111尾项是,与n=k时比较，一后3(k+l)3k,3k+l 3

6、k+2 3k+3共三项，而不只是增加一项，且还减少了一项3(k+l)k+1411 1 1 57 5 _(1)当n=2时，左边+-+-+-=,不等式成立.3 4 5 6 60 6(2)假设n=k(k 2,k m)时，不等式成立，1+即 于k+1 k+2贝u 当 n=k+1 时,+-+w1 (k+i)+23k 3k+l 3k+2 3k+3 k+1 k+21+3k5 +65 +65=+6+不一一+ 3k+2 + 3k+3 (!+ + x3k+33k+33k+3315k+1) k+u 6所以当n=k+1时，不等式也成立.由(1)(2),知原不等式对一切n 2且nc z都成立.8.数列a n满足 sn=

7、2n-a n(n z).计算a1,a 2,a3,a 4,并由此猜想通项公式an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】由此猜想(1)a 1=1,a2n-l37f52=-,a 3=-,a 4=一,24ean=疝(n e z).(2)当n=1时,a 1=1,结论成立.2k-l假设n=k(k 1)时，结论成立，即ak=?k一 ,那么当n=k+1时,ak+i=s+i-sk=2(k+1)-a k+i-2k+a k=2+ak-a k+i.所以 2ak+i=2+ak,这表明当n=k+1时，结论成立.所以an=(n c n+).嗨颤）20分钟练/分值：40分一、选择题（每小题5分，共10分）1 111

8、.用数学归纳法证明 ：1+-+-+, +1）第一步验证 n=2时，左边的项为2 32n-l（）a.1b.1 +11 1c-d.1 + -+32 3111 1【解析】 选d.当n=2时，左边最后一项为 ，所以左边的项为1+-.2x2-1 32 32.（2016 济南高二检测）已知数列aj的前n项和为sn,且sn=2n-an（n c n*）,若已经算出a1=1,a2=-,则猜想 an=()22n1a.2n1c.33【解析】 选d.因为a1=1,a2=一，由23715s3=1+-+a3=6-a 3,所以 as=-,同理,a 4=.2482口 一 1猜想，得an= m 1 .2口一工n+1b.n*一1

9、d.ai二、填空题（每小题5分，共10分）11193.（2016 太原高二检测）在 abc中，不等式二+二+二一成立；在四边形 abcd中，不等式a b c 711111+abcd16蔡成立;在五边形11111 25abcd中,不等式一+成立.猜想在n边形aa2, a b c d ea中，类似成立的不等式为【解析】由题中已知不等式可猜想：11 i i 小：、+ +, +(n 3 且 n c n).ai a34n*、答案： +, +封 ；(n r 3 且 n c n)ai ae a3 an (n-2)n4.设a,b均为正实数,n n+,已知m=(a+b) n,n=an+nan-1b,则m,n的大

10、小关系为=(提利由丁 .努二丁二式lx j n【解析】 由贝努利不等式(1+x) 1+nx(x-1,且xw0,ni,n e n+),知当n1时，令x=,所以一，1+n -,即(a+b) nan+nan-1 b, a当 n=1 时,m=n，故 m n.答案：m n三、解答题(每小题10分，共20分)5 .(2016 苏州高二检测)已知函数f(x)= -x3-x,数列an满足条件：ae1,且an+f (an+1),3证明：a n 2n-1(n c n+).【证明】 由 f(x)= -x3-x,得 f (x)=x 2-1.3因此 an+1f (a n + 1) = (a n+1) -1=a n(a

11、n+2). 当n=1时,a 1 n 1=21-1,不等式 成立.(2)假设当n=k(k 1)时，不等式成立，即ak2k-1.当n=k+1时，ak+1 ak(a k+2) (2 k-1)(2 k-1+2)=2 2k-1.又 k1,所以 22ka 2k+1,所以当n=k+1时,a k+1 2k+1-1,即不等式成立.根据(1)和(2)知，对任意n”an升2n-1都成立.6 .在数列an中,a 1=2,a n+产an+2n+1(n c 6).(1)求证an-2n为等差数列.(2)设数列b n满足 bn=2log 2(a n+1-n).(n 6 m)证明:(1 + )(l+i)(l+ a) i? + k；)+l(n 2.【证明】（1）由an+产an+2n+1得(a n+i-2 )-(a、n-2 )=1,因此a n-2 n是等差数列.(2)a n-2 n=(a i-2)+(n-1)=n1,即 an=2n+n-1, bn=2log 2(a