关于选修教材中椭圆-双曲线-抛物线的错误定义的探究

1、关于选修教材中椭圆双曲线抛物线的错误定义的探究 一、关于椭圆的错误定义分析 探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（图2.11）（图略），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？ 把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数。 我们把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离

2、叫做椭圆的焦距。 反例：线段的垂直平分线上任意一点（除垂足之外）与两个定点，的距离之和都等于常数，并且，在中，显然。那么垂直平分线=椭圆？ 其实，除了线段（包括端点）上的点之外，平面内任意一点与两个定点，的距离之和都等于常数，并且，那么整个平面（除了线段（包括端点）上的点）=椭圆？ 常数是固定不变的数值，与之相反的是变量。这是常数不变的一面，但是常数也具有“变化的”一面。 二、关于双曲线的错误定义分析 思考我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆。那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 如图2.21（图略），取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开

3、的两边上各选择一点，分别固定在点，上，把笔尖放在点处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。这条曲线是满足下面条件的点的集合：。 如果使点到点的距离减去到点的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2.21中左边的曲线）。这条曲线是满足下面条件的点的集合： 。这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。 我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 这样定义双曲线是错误的。 反例：线段的垂直平分线上任意一点与两个定点，的距离的差的绝对值等于0（常数），并且显然。那么

4、垂直平分线=双曲线？ 其实，除了以，为端点（包括端点）的两条射线之外，平面内任意一点与两个定点、的距离的差的绝对值都等于常数，并且，那么整个平面（除了以，为端点（包括端点）的两条射线）=双曲线？ 值得一提的是：思考处有两个“非零”常数，第一个“非零”却是画蛇添足大于两个定点间的距离难道还可以等于零；第二个“非零”必不可少，定义双曲线时却“销声匿迹”，还有“昙花一现”的“同一个常数”。 三、关于抛物线的错误定义分析 我们把平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 这样定义抛物线也是错误的。 点与直线的位置关系有两种，既然定义中没有明确

5、说明点不在直线上，那就不能理所当然的认为点不在直线上。 四、椭圆、双曲线、抛物线的正确定义与理解 我们把平面内与两个定点，的距离之和等于同一个常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。 我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于同一个非零常数（小于)的点的轨迹叫做双曲线。 我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 同一个常数常数，前者更强调一种不变性、重复性。椭圆定义中的同一个常数也可以用常数、定值等代换，这里不仅表明是常数，还对常数进行了限制，即该常数是而不是1，2，3,；双曲线定义中的同一个非零常数也可以用同一个正（

6、常）数代换。在归纳出双曲线的定义时，常数，常数。两式中的常数不仅大于零而且还相等，即为同一个非零常数。进一步理解，既然你画出的图形已经是椭圆、双曲线，那么一定有、，即它们是“点的轨迹是椭圆、双曲线”的必要而不充分条件。 通过以上对椭圆、双曲线、抛物线的错误定义分析，加深了我们对椭圆、双曲线、抛物线的定义的深刻理解。 数学概念有些是从生产、生活实际问题中抽象出来的，有些是从数学自身的发展而产生的，许多数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生。我认为抽象出来一个新的数学概念需要注意归纳推理的正确应用。 五、归纳推理的正确应用 （1）谨防生搬硬套 归纳推理是由部分到整体、有个别到一般的推理

7、。这种特征决定了我们不能由个别结论生搬硬套得出一般结论。 例如：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数。这一段话是没有错误的，因为这里的常数等于绳长（实质上是动点到两定点的距离的和），而定义中我们把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。但此常数非彼常数。 （2）不容忽视的前提条件 上文已提及，。这两式中的常数不仅大于零而且还相等即实质为同一个非零常数。这是得出双曲线定义的前提条件。 其实，方程不一定无解，太阳不一定东升西落，骑白马的不一定是王子。 （3）不容忽视的特殊情况 我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于)的点的轨迹叫做双曲线。此时，该常数是一个非负数（等于零或者为正数）。通过对教材双曲线的定义分析知，此错误一方面就是忽略了对特殊情况该常数等于零的考虑。类似的，抛物线的定义也是忽略了对特殊情况经过点的考虑。又例如学习奇（偶）函数时，就不能忽视有一种函数既是奇函数又是偶函数。 虽然归纳推理的结论不一定正确，但是暇不掩瑜。高中数学的很多概念（函数